На головну

З постійнімі коефіцієнтамі

  1. III. Система лінійніх диференціальних рівнянь 1-го порядку з постійнімі коефіцієнтамі.
  2. Алгоритм побудова загально Лодро 2-го порядку з постійнімі коефіцієнтамі.
  3. Б) Загальне решение ДУ 2-го порядку з постійнімі коефіцієнтамі и правою частинами спеціального виду (з точністю до невідоміх постійніх в приватному вірішенні) :.
  4. Обчислення матриці переходу в разі системи з постійнімі параметрами.
  5. Диференціальних рівнянь з постійнімі коефіцієнтамі и безперервної правою частинами
  6. Если це продукція прідатна для вживання, но НЕ Підходить по ГОСТам, вона все одно пріймається у виробника, но зі зниженя коефіцієнтамі.
  7. Як бачим, у всех ціх формулах Використовують одні й ті ж вихідні дані, но в різніх комбінаціях и з різнімі коефіцієнтамі приведення ренти.

I. Лінійне одноріднедіференціальне Рівняння з постійнімі коефіцієнтамі має вигляд

(11)

де p и q Дійсний числа.

Щоб вірішіті данє Рівняння, треба Скласти и вірішіті типова Рівняння

(12)

Если корені типова Рівняння дійсна и Різні, , То Загальний розв'язок Рівняння (11) віражається формулою

(13)

Если ж коріння дійсна и однакові , То загальне решение має вигляд

(14)

Нарешті, в разі комплексних коренів СПІЛЬНЕ решение має вигляд

(15)

Приклад 8.Вірішіті Рівняння

Рішення.Складаємо и розв'язуємо типова Рівняння

Так як коріння квадратного Рівняння є дійснімі и різнімі, загальне решение має вигляд

Приклад 9. Найти частное решение Рівняння

задовольняє завдань умів

Рішення. типова Рівняння має коріння . Тому СПІЛЬНЕ решение має вигляд

Для знаходження приватного решение продифференцируем y.

Підставівші вирази для y и y ? в Початкові умови, отрімаємо систему лінійніх алгебраїчніх рівнянь относительно З 1 і S2 .

Вірішівші ее, Знайдемо

Приклад 10.Напруга в електричних ланцюзі во время перехідного процесса опісується рівнянням

де r, L, C - Постійні величини, что характеризують Опір, індуктівність и Ємність ланцюга. Найти функцію U (t), если

Рішення. типова Рівняння

має комплексні корені ( ), Де У загально випадка решение має вигляд

Перетворімо его, прийнять и . тоді

Звідсі

Остання формула опісує затухаючі сінусоїдальні коливання з частотою и амплітудою , Зменшується з Пліній годині.

II. Загальне решение лінійного неоднорідногоРівняння з постійнімі коефіцієнтамі

дорівнює сумі Загальне решение y0.0. відповідного однорідного Рівняння и которого-небудь приватного вирішенню віхідного неоднорідного Рівняння yч. н.

y=y0.0. + yч. н.

.

Если права частина Рівняння складається з сум и творів функцій частное решение можна шукати методом підбору або методом невизначенності коефіцієнтів. Для перерахованого функцій частное решение неоднорідного Рівняння має схожий з правою частинами Рівняння вигляд (див. Таблицю 1).

Таблиця 1.

Структура приватного решение лінійного неоднорідного

діференціального Рівняння з постійнімі коефіцієнтамі

в залежності від виду правої части Рівняння

Відправи части Рівняння Корніхарактерістіческого Рівняння Відчастного решение
a = 0, b = 0, a + ib = 0, k?0 k = 0 yч. н.= yч. н=
b = 0, a + ib = a, k1?a и k2?a a = k1або a = k2k1= k2= a yч. н.   yч. н.   yч. н.
a = 0, a + ib = ib, k1? ib и k2? ib k1= ib або k2=ib   yч. н. yч. н.=
де Рn(X) -многочлен n-го ступенів, Lm(x) - Многочлен m-го ступенів від x и   або yч. н.= де l- Найбільше з чисел m и n,yч. н.=
    yч. н де yi -частное решение Рівняння з тієї ж лівою Частина І правою частинами, рівної fi(X) (i = 1,2, ... n).

невізначені КОЕФІЦІЄНТИ А0, а1, ..., Аm, А, в,... Визначаються Наступний чином: знаходять Похідні и підставляють yч. н.y ?ч. н., І y ??ч. н.в ліву часть Рівняння. Потім, прірівнюючі КОЕФІЦІЄНТИ при однаково щаблях незалежної змінної и синусах и косінусів в лівій и правій Частина діференціального Рівняння, складають систему алгебраїчніх рівнянь для знаходження значень невизначенності коефіцієнтів.

Приклад 11. Вірішіті Рівняння

Рішення. Завдань Рівняння є лінійнім неодноріднім діференціальнім рівнянням іншого порядку з постійнімі коефіцієнтамі. Відповідне однорідне Рівняння -

Его типова Рівняння має коріння k1= 4, k2= -1.

Звідсі

Тепер Знайдемо частное решение даного неоднорідного Рівняння. Так як права частина НЕ містіть множніків Вважаємо рівнімі нулю ( ). Тоді a +ib = 0,0 НЕ є коренем типова Рівняння. Права частина Рівняння представляет собою поліном іншого ступенів (хоча и неповний), тому решение будемо шукати у виде

yч. н.= А2x2+ A1x+ A0.

Знаходімо Похідні и підставляємо в данє Рівняння:

y ?ч. н.= 2А2x+ A1.

y ??ч. н.= 2А2,

Щоб Останню Рівність стало тотожністю, прірівнюємо КОЕФІЦІЄНТИ при однаково щаблях x.

Вірішівші систему, Знайдемо

Таким чином, частное решение неоднорідного Рівняння

yч. н.

а загальне решение має вигляд

 



Диференціальні рівняння порядку вищє первого | Системи диференціальних рівнянь первого порядку
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати