На головну

Функції двох змінніх. Локальний (безумовна) екстремум.

  1. I. дисфункції бюрократії як организации
  2. I. знайте Межі Функції.
  3. II Етап. Графічне зображення ряду и емпірічної Функції розподілу.
  4. II. Обчислення похідніх ФУНКЦІЇ одного аргументу
  5. II. Дисфункції бюрократії як соціальної групи
  6. II. Межа и неперервність Функції
  7. II. Функції герундія в реченні

Нагадуємо, что змінна zназівається функцією двох змінніх x и у, Если Кожній Парі їх значень (х, у) З безлічі Dставитися у відповідність певне значення z = f (x, y). безліч Dназівається область визначенняФункції, а множини всех можливий значень змінної z - областю значеньФункції.

Геометрично області визначення Функції двох змінніх є площинах або частина ее. Например, область визначення Функції z = x2+ y2є площинах х0у, А для Функції z= lnxyобласть визначення перший и третій квадрант площіні х0у, Віключаючі осі координат, т. Е там де ху> 0.

Графіком Функції двох змінніх є поверхню в трівімірному пространстве. Например, графіком Функції z = 5x + 4y-1є площинах (5х + 4у-z-1 = 0), А графіком Функції - Півсферу ( ) радіусу R= 5.

З аналітичного завдання Функції ясно, что дана функція має максимум в точці 0 (0,0). У загально випадка питання про Існування и знаходженні локального екстремум Функції багатьох змінніх, так само як и в випадка Функції однієї змінної, вірішується методами діференціального обчислення.

Нагадаємо Поняття приватних похідніх Функції двох змінніх. Нехай дана функція f (x, y).Повна приростом Функції f (x, y)в точці м (х, у)назівається різніця

де - Збільшення аргументів, что віклікалі данє Приріст Функції. Если одна з змінніх НЕ отрімує Збільшення, то відповідна різніця візначає частное Приріст по Інший змінної

, .

Границя відношення приватного приросту Функції до відповідного приросту аргументу при прагненні последнего до нуля назівається пріватної похідною по даній змінної

.

Повний Диференціал Функції двох змінніх дорівнює сумі приватних діференціалів

Практично при обчісленні приватних похідніх керуються тимі ж правилами, что и в разі Функції однієї змінної, причому, если похідна обчіслюється за змінної х, То змінна увважається постійною величиною и навпаки.

приклад 31. найти ПРИВАТНІ Похідні и обчісліті повний Диференціал Функції в точці М(1; 4) при dx= 0,01; dy= 0,02.

маємо ,

так что

и

Для Функції багатьох змінніх, як и в випадка однієї змінної, вводяться Похідні старших порядків. Так, для Функції двох змінніх існують Чотири Похідні іншого порядку:

.

Похідні и назіваються змішанімі. У нашому курсі будут зустрічатіся только Функції, для якіх = , Хоча для Деяк функцій це Рівність не справедливо.

приклад 32. Найти всі ПРИВАТНІ Похідні іншого порядку для Функції

.

ПРИВАТНІ Похідні первого порядку дорівнюють:

, .

Діференціюючі їх, отрімаємо

, , , .

Нагадаємо визначення локального екстремум неперервної Функції двох змінніх и методику его знаходження. Крапка назівається точкою локального максимуму (мінімуму)безперервної Функції f(x, y), Если існує така околиця точки , Що Належить ООФ, что для всіх точок м (х, у)з цієї околиці, відмінніх від , Віконується нерівність

, .

Согласно необхідній умові, координати точки, підозрілої на екстремум (стаціонарної точки), є рішенням системи рівнянь

Щоб з'ясувати, чи є в стаціонарній точці екстремум и которого типу, та патенти, застосуваті Достатньо Умова екстремум. Складемо матрицю з похідніх іншого порядку

.

Обчіслімо два ее Кутовий мінору в стаціонарній точці .

Тоді, если D2<0, то в точці екстремум немає, если D2> 0, то в точці екстремум є, причому, если D1<0, то максимум, если D1> 0, то мінімум.

Приклад 33.Найти екстремум Функції z = 2x3-xy2+ 5x2+ y2

(I) Вікорістовуючі необхідні умови екстремумів, складемо систему рівнянь и вірішімо ее.

.

Отже, Можливі два випадки:

а) у = 0. Тоді з первого Рівняння системи маємо

6х2+10х =0, 2х(3х +5)=0, х =0, Х = -5/3,

что дает координати двох стаціонарних точок М1(0,0); М2(-5 / 3,0).

б) х = 1. У цьом випадка з первого Рівняння системи отрімаємо

16 - у2= 0, у = ± 4.

В результате маємо координати ще двох точок, підозріліх на екстремум: М3(1,4); М2(1, 4).

(II) Перевірімо виконан достатньої умови екстремумів. побудуємо матрицю

Обчіслімо значення ее Кутовий мінорів в точці М1

,
Отже, точка М1(0,0) є точкою мінімуму .

Легко перевіріті, что в других стаціонарних точках екстремумів немає. Например, в точці М2маємо:

.

оскількі D2<0, то екстремумів немає.

 



Обчислення площади плоскої фігурі | Виробнича функція.

Матеріал в Цій Книзі:

Основні Властивості між | обчислення між | Похідна и Диференціал. | Правила діференціювання | Дослідження Функції та побудова ее графіка. | невизначенності інтеграл | Основні Властивості невизначенності інтеграла. | Основні Способи та методи інтегрування | визначення інтеграл | Обчислення визначеного інтеграла |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати