Головна |
визначення 1. система векторів з К (де m - Звичайно), називається лінійно залежною, А вектора лінійно залежними, Якщо в поле Р знайдеться хоча б одна сукупність l1, l2,. . ., lm, Таких чисел, не всі з яких дорівнюють нулю, що (4.7)
визначення 2. система векторів , називається лінійно незалежної, А вектора лінійно незалежними, Якщо лінійна комбінація з цих векторів дорівнює нуль вектору тільки в тому випадку, коли .
зауваження. один вектор лінійно незалежний, якщо , І навпаки, вектор - Лінійно залежна.
Надамо наочності лінійної залежності і незалежності векторів. Розглянемо систему з вільних векторів.
теорема 1. Для того щоб два вільних вектора и були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були колінеарні.
Доведення. необхідність . вектори и лінійно залежні. отже , де l1 и l2 нерівні нулю одночасно. Нехай, наприклад, l1 ? 0, тоді ; звідси слідує що и колінеарні.
Достатність. вектори и колінеарні. отже , звідси , але так як l1 = 1 ? 0, значить вектори и лінійно залежні.
Зауваження. Якщо два вектори лінійно незалежні, то вони не колінеарні і навпаки.
теорема 2. Для того щоб три вільних вектора , и були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були компланарність.
Доказ цієї теореми см. Книга 2, гл.4, §3, п.3.2.
Зауваження. Якщо три вектори лінійно незалежні, то вони не компланарність. Справедливо і зворотне твердження.
Підпростір, породжене лінійною комбінацією векторів | Теореми про лінійно залежних і лінійно незалежних векторах
ВПРАВИ | ВЕКТОРНІ ПРОСТОРУ | Векторні простори Багаточленні НАД ПОЛЕМ P КОЕФІЦІЄНТІВ | ВЕКТОРНІ ПРОСТОРУ Р n НАД ПОЛЕМ Р | ВЕКТОРИ У геометричному просторі | Типи векторів в геометричному просторі | З подоби трикутників АВС і АВ'С 'слід (як у випадку l> 0, так і в разі l <0), що. | Завдання вільних векторів за допомогою декартової системи координат і відповідність їх з векторами з векторного | Скалярний добуток двох вільних векторів | ВПРАВИ |