Головна

Загальне поняття інформації. Способи подання інформації, що підлягає шифрування. Дискретизація безперервних сигналів

  1.  Cуществованіе і єдиність подання (теорема Жегалкина)
  2.  I § ??1. Поняття державної інформаційної політики
  3.  I. Поняття про біологічному окисленні. Сутність окислювально-відновних реакцій в організмі
  4.  I. Поняття про постановку наголоси в російській мові (загальновживані слова).
  5.  I. Поняття про мови і її функціях
  6.  I. загальний стан
  7.  III.1.1 Загальний опис банківської системи

теорема Котельникова.Об'єктом криптографії є ??інформація (зміст повідомлень) в процесі її передачі по каналу зв'язку. Тому, як правило, вивчення криптографії як науки починають з вивчення властивостей відкритої інформації. Криптографи дають таке визначення відкритої інформації: «незасекреченим (незашифрованому) інформація, призначена для передачі по каналу зв'язку». Відкрита інформація обов'язково повинна бути зафіксована на будь-якому матеріальному носії (на папері, фотоплівці, перфоленте і т. Д.) Відкриту інформацію, зафіксовану на деякому матеріальному носії, прийнято називати відкритим повідомленням.

Відкрита інформація має властивість інваріантності щодо матеріального носія і заздалегідь обумовленої форми її подання (наприклад, в природному стані - у вигляді тексту на будь-якій мові, або в штучної формі, наприклад, у вигляді двійковій послідовності, послідовності фізичних сигналів і т. Д.).

Загальновідомо, що є можливість подання безперервних сигналів обмеженого спектра у вигляді послідовності дискретних сигналів без втрати
 інформації.

ТЕОРЕМА Котельникова В. а. Безперервна функція S (t), спектральна щільність якої відмінна від нуля тільки в інтервалі (-F, F), повністю визначається своїми значеннями, відліченими в дискретних точках через інтервал Dt =  , Де F - максимальна частота спектра (що дорівнює ширині спектра в разі, якщо він починається від нуля). Значення функції S (t) в будь-якій точці t висловлюється формулою

S (t) = ,

де S (кDt) - відліки неперервної функції в дискретних точках t = кDt.

Зазвичай реальні безперервні повідомлення і сигнали приблизно можна розглядати як функції з обмеженим спектром. Тому чинності теореми Котельникова замість безперервних повідомлень можна розглядати відповідні їм дискретні сигнали (без втрати інформації).

Класифікація сигналів.Фізично сигнал реалізується в вигляді деякого модулированного коливання. Якщо значення сигналу можна точно передбачити в будь-який момент часу, то він називається детермінованим. Прикладом безперервних детермінованих сигналів є імпульси або пачки імпульсів, форма, амплітуда і положення в часі яких точно відомі.

Все детерміновані процеси можна розділити на два класи: періодичні і неперіодичні. процес S(t) Вважається періодичним, якщо його значення точно повторюються через однакові відрізки часу T, Величина яких називається періодом:

Якщо такого відрізка часу не можна вказати, то процес є неперіодичним. Періодичні процеси діляться на гармонічні і Полігармонічні. Клас неперіодичних процесів складається з майже періодичних процесів і перехідних процесів. Реально можуть існувати будь-які комбінації цих процесів. Розглянемо методи представлення сигналів цих класів.

В якості носія сигналів часто розглядається гармонійнеколивання, змінюється відповідно до вираження  , Де: Sm - Амплітуда; w - Кругова частота; w = 2pf; f - Частота в герцах; j - Початкова фаза. Це коливання є періодичною функцією з періодом T= f -1. Окремим випадком гармонійного сигналу (при частоті w = 0) є постійний рівень. Гармонійні коливання - це найпростіший вид безперервних періодичних процесів. Сам по собі нескінченний в часі гармонійний процес не є сигналом і не несе інформації. Носієм інформації він стає після модуляції одного або декількох його параметрів іншим процесом, пов'язаним з повідомленням.

Полігармонічні сигнали утворюються будь-якими періодичними процесами, відмінними від гармонійних. Якщо певний процес S(t) З періодом T задовольняє умовам Даламбера, т. е. є безперервним всюди, крім, може бути, рахункового безлічі точок розриву 1 роду, і має кінцеве число екстремумів, то він може бути представлений на інтервалі періоду [0,T] Сукупністю базисних функцій у вигляді суми

 , (1)

де: jk(t) - k-я базисна функція, Сk - Вагові коефіцієнти. При цьому мається на увазі, що

,

т. е. ніяка з функцій базисної системи не дорівнює тотожно нулю на інтервалі періоду [0,T]. Система функцій {jk(t)} Називається ортогональної, якщо для будь-якої пари k и l, виключаючи k = l, Виконується рівність

 . (2)

Якщо, при l = k

 , (3)

то величина  називається нормою функції jk(t) І позначається  . Якщо норма функцій ортогональної системи дорівнює 1, то така система функцій називається ортонормованій. Для визначення коефіцієнтів Сk в розкладанні функції S(t) В ортогональному базисі розглянемо вираз

.

Представивши в подинтегрального вираженні S(t) У вигляді його розкладання (1) і з огляду на (2) і (3), отримаємо:

.

З останнього виразу знаходимо значення коефіцієнта Сk:

 . (4)

Сума (1) з коефіцієнтами, які визначаються по (4) називається узагальненим рядом Фур'є за цією системою базисних функцій {jk(t)}. Узагальнений ряд Фур'є має важливу властивість: при заданої системі базисних функцій і фіксованому числі N його доданків він забезпечує найкращу апроксимацію (в сенсі среднеквадратической помилки) заданої функції S(t). При заданій системі базисних функцій {jk(t)} Сигнал S(t) Повністю залежать від вагових коефіцієнтів Ck. Цей набір називається дискретним спектром сигналу.

Для будь-якої ортогональної системи справедлива нерівність Бесселя

.

Ортогональна система називається повною, якщо збільшенням числа N членів ряду среднеквадратическую помилку апроксимації можна зробити як завгодно малою. Умова повноти може бути представлено у вигляді виразу

.

величину  називають енергією сигналу. Для енергії сигналу отримуємо

 (5)

або для ортонормованій системи базисних функцій

.

Пояснення до висновку теореми Котельникова.Як зазначалося вище в теорії аналізу сигналів і техніці зв'язку широке застосування знаходить теорема Котельникова (теорема відліків), відповідно до якої функція S(t) Повністю визначається послідовністю своїх значень в моменти часу, взяті з інтервалами не більше тривалими, ніж 1/2fв, Якщо найбільша частота в спектрі цієї функції менше fв. У цьому випадку функція S(t) Може бути представлена ??виразом

 , (6)

де  - Інтервал часу між двома сусідніми відліками сигналу S(t), А S(kDt) - Відліки функції S(t) В моменти часу ,

.

функції виду  зустрічаються при дослідженні спектра одиночного прямокутного імпульсу. Ці функції утворюють систему ортогональних функцій з інтервалом ортогональности, рівним нескінченності, і нормою

.

Покажемо, що розкладання сигналу S(t) В цьому базисі дає спектр, дійсно складається з відліків сигналу S(kDt). Попередньо домовимося, що енергія сигналу конечна, т. Е. S(t) Є квадратично-інтегрованої функцією. Крім того, відзначимо, що ,  при n?k.

Нагадаємо, що поняття спектральної щільності сигналу S (t) визначають за допомогою перетворення Фур'є S(W) =  , Де е-iwt= Coswt-isinwt. S(W) називають спектральною щільністю сигналу S (t) (в загальному випадку це копплексное число). Спектральна щільність одиночного імпульсу S1(T) на частоті w = кW1 дорівнює S1(W) =  = =  , Де [t1, t2] - Інтервал існування імпульсу. Вираз S (t) =  називають зворотним перетворенням Фур'є.

Спектральна щільність функції  дорівнює

Звідси випливає, що модуль спектральної щільності будь-базисної функції  в смузі частот  має постійне значення, рівне .

Визначимо значення коефіцієнтів розкладання, застосовуючи формулу (4): періоди гами в шифрі гамування по заданому шіфртекступеріода гами в шифрі гамування по заданому шифртексту

 . (7)

Для обчислення інтеграла в цьому виразі скористаємося відомим співвідношенням, що встановлює зв'язок між твором двох функцій f(t) і g(t) І твором їх спектрів щільності F(w) і G(w)

,

де  - Функція комплексно-сполучена до G(w). Відповідно до цього властивістю

,

де межі інтегрування беруться рівними граничній частоті wв спектра сигналу і базисних функцій. Підставляючи отримане значення інтеграла в (7), маємо остаточне вираження для коефіцієнта розкладання

,

т. е. коефіцієнтами ряду Котельникова є відліки сигналу в моменти часу  , Як це було визначено в (6). Ряд (6) сходиться до функції S(t) При будь-яких значеннях часу t, Т. К. Внаслідок обмеженості верхньої частоти сигналу він є
 безперервним.

Якщо відліки сигналу S(t) Беруться з інтервалами  , То ширина спектра базисних функцій  збігається з шириною спектра сигналу і подання сигналу відповідає (6). Якщо взяти інтервал між відліками рівним  , То ширина спектра відповідних базисних функцій буде перевищувати спектр сигналу S(t), Що підвищує точність представлення цього сигналу. При цьому виключається можливість відкидання «хвостів» спектра S(w) Поза граничних частот. якщо інтервал  , То спектр відповідної базисної функції стає вже спектра сигналу S(t) І коефіцієнти Ck в натуральному вираженні (7) стають отсчетами чи не цього сигналу S(t), А деякого іншого сигналу, спектр якого обмежений інший частотою .

Рішення реальних завдань пов'язано з сигналами, одночасно обмеженими і по частоті і по часу. Теоретично ці умови є несумісними. Практично ці обмежень визначають таким чином, щоб основна частина енергії сигналу була укладена в межах обраної тривалості цього сигналу і ширини його спектру, а на частку «хвостів» припадала б тільки незначна її частина. При такому підході для сигналу тривалістю T і верхньої частотою смуги пропускання fв число незалежних відліків, необхідне для повного завдання сигналу, так само

.

У цьому випадку ряд (6) може бути представлений таким чином

.

число N називають базою сигналу або числом ступенів свободи сигналу. Зважаючи (5), можна уявити енергію і середню силу сигналу черезпослідовність його відліків

,

.

Останній вираз показує, що середня потужність безперервного сигналу на інтервалі T дорівнює середньому квадрату відліків, що вміщується на цьому інтервалі через проміжки 1/2fв.

Процедура подання безперервного повідомлення в дискретну форму називається квантуванням сигналу в часі (дискретизацией). У зв'язку зі сказаним вище особливого значення набуває вивчення властивостей дискретних повідомлень. Далі основна увага буде приділена саме їм. При цьому основна увага буде зосереджена на вивченні властивостей так званого відкритих текстів.


Глава 9.

 P (s - 1), P (s'-1), P (s * -1). |  Відкриті повідомлення і їх характеристики


 Схема цифрового підпису з використанням односпрямованої функції |  Відкрите розподіл ключів Діффі-Хеллмана |  Недоліки моделі шифру К. Шеннона. Узагальнена модель шифру |  Класична модель криптографічного системи. |  Дешифрування найпростіших шифрів |  Дешифрування шифру перестановки |  Дешифрування шифру гамування при неякісної гамі |  Про дешифрування фототелеграфних зображень |  Дешифрування шифру гамування при перекриттях |  Дешифрування шифру Віженера |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати