Головна

Лабораторна робота № 14

  1.  C4. Уміння працювати зі статистичними даними, представленими в табличній формі
  2.  I. Самостійна практична робота
  3.  II. Робота з вікнами, файлами і папками.
  4.  II. Самостійна робота.
  5.  II. Самостійна робота.
  6.  IX. НАВЧАЛЬНО-ДОСЛІДНИЦЬКА РОБОТА СТУДЕНТІВ
  7.  XI. НАВЧАЛЬНО-ДОСЛІДНИЦЬКА РОБОТА СТУДЕНТІВ

Перехідні процеси в лінійних електричних ланцюгах

Мета роботи: Дослідження перехідних процесів в лінійних електричних ланцюгах при наявності одного і двох накопичувачів енергії, встановлення впливу параметрів досліджуваної ланцюга на характер перехідного процесу, придбання навичок застосування електронного осцилографа для дослідження і вимірювання швидкоплинних періодичних несинусоїдних електричних величин.

Основні поняття

Поряд з усталеними режимами роботи в лінійних електричних ланцюгах мають місце електромагнітні перехідні процеси, що відбуваються в цих ланцюгах при переході від одного сталого режиму до іншого.

Під дією періодичних або постійних ЕРС і напруг перехідні процеси в електричних ланцюгах виникають при включенні і виключенні ланцюга, а також при зміні одного або декількох її параметрів.

Перехідні процеси в електричних ланцюгах не можуть протікати миттєво, так як в сталому режимі будь-яка електрична ланцюг характеризується певним запасом енергії електричних або магнітних полів елементів ланцюга. Тому в реальних електричних ланцюгах струми і напруги на окремих дільницях не можуть миттєво змінювати свої значення.

Однак при нехтуванні магнітним або електричним полем на тій чи іншій ділянці електричного кола, з огляду на їх незначності, можна вважати, що струм або напруга на відповідній ділянці ланцюга змінюється практично миттєво. Відповідно до законів комутації електричних ланцюгів не можуть миттєво змінюватися на кінцеве значення струми в котушках індуктивності (перший закон комутації), однак напруги на затискачах подібних котушок можна прийняти змінюються миттєво, якщо знехтувати їх електричної ємністю.

У той же час не може миттєво змінюватися на кінцеве значення напруга на обкладинках конденсаторів (другий закон комутації), хоча, якщо знехтувати індуктивністю конденсаторів, теоретично можливі миттєві зміни струмів в їх колах.

Перехідні процеси в лінійних електричних ланцюгах описуються лінійними диференціальними рівняннями, складеними за першим та другим законами Кірхгофа, які можуть бути зведені до одного рівняння для будь-якого перехідного струму або напруги в ланцюзі.

Рішення неоднорідного диференціального уравненіяклассіческім методом можливо в результаті підсумовування приватного рішення даного неоднорідного рівняння і його загального рішення при рівності нулю вільного члена, т. Е. Однорідного диференціального рівняння.

При цьому рішення однорідної рівняння без вільного члена описує процеси, що відбуваються в електричному ланцюзі при відсутності зовнішніх джерел живлення, коли вони відбуваються під дією енергії, накопиченої в електричному і магнітному полях елементів.

У реальних електричних ланцюгах відбувається розсіювання енергії, в результаті чого запас накопиченої в відповідних елементах ланцюга енергії з часом буде вичерпаний і, отже, всі електромагнітні процеси в ланцюзі через певний проміжок часу припиняться.

З огляду на це можна стверджувати, що перехідні або вільні складові i "і і " струму і напруги, які визначаються спільним рішенням диференціального однорідного рівняння, прагнуть к нулю.

В результаті приватного рішення неоднорідного диференціального рівняння представляється можливим отримати встановилися або примушені складові струму і напруги i "і і " мають місце при сталому режимі, т. е. при закінченому перехідному процесі.

При протіканні перехідного процесу в електричному ланцюзі струм і напруга можна записати як суми: i = i '+ i' 'і = і' + і ". При інтегруванні диференціальних рівнянь з'являються постійні інтегрування, число яких визначається порядком відповідного рівняння. При визначенні постійних інтегрування приймаються початкові умови, що характеризують стан електричного кола в відповідний момент часу. При цьому число початкових умов дорівнює числу постійних інтегрування.

Перехідні процеси в неразветвленной електричного кола з параметрами R, L і С описуються диференціальним рівнянням для миттєвих значень напруг, складеним за другим законом Кірхгофа для відповідного кола:

Ri + L +

після диференціювання

L =

Для визначення вимушеної (усталеною) складової перехідного струму, коли впливає функція u (t) постійна або є періодичною, необхідно знайти його значення в сталому режимі.

Для визначення переходить (вільної) складової струму перехідного процесу знаходять рішення диференціального рівняння без вільного члена:

L = 0

При цьому відповідне характеристичне рівняння має вигляд:

Lp2+ Rp + 1 / C = 0

Коріння цього рівняння:

p1,2= ±

Вільна складова струму перехідного процесу:

i '' (t) = A1  + A2

де е - Основа натуральних логарифмів.

Постійні інтегрування А1 і А2, Що входять в рівняння, визначають, виходячи з початкових умов

Струм перехідного процесу:

i (t) = i '(t) + i' '(t)

Аналогічно можна визначити напругу та інші електричні і магнітні величини на будь-якій ділянці лінійного електричного кола в перехідному режимі.

При включенні електричного кола з R і L під постійну напругу (рис. 4.1)

 Ріс.14.1. Схема включення електричної цепіRL під постійну напругу

перехідний процес описується диференціальним рівнянням, записаним за другим законом Кірхгофа (при перемиканні вимикача В з положення 1 в положення 2):

 = U (i) = U

Характеристичне рівняння, відповідне отриманому диференціальних рівнянь, має вигляд

 , Де р = -R / L - корінь характеристичного рівняння.

Оскільки дане диференціальне рівняння є рівнянням першого порядку, то воно характеризується єдиним коренем.

З урахуванням цього вираз для вільної складової струму перехідного процесу приводять до вигляду:

i '' (t) = A  = A

Так як впливає на електричний ланцюг напруга u (f) постійно, значення вимушеної складової струму ланцюга в перехідному режимі виявляється рівним його сталого значення: i '= U / R.

Струм в ланцюзі при перехідному процесі:

i (t) = i '(t) + i' '(t) = U / R + A

постійну інтегрування А визначають з початкових умов. Так як в ланцюзі з індуктивністю струм не може змінитися стрибком, то при t = 0 струм в ній дорівнює нулю:

i (0) = U / R + А = 0

Звідси А = - U / R, тоді

i '' (t) =

З урахуванням цього вираз для струму перехідного процесу набуває вигляду:

i (t) = i '(t) + i' '(t) = -

Де ? = L / R - постійна часу електричного кола, що дорівнює проміжку часу, після закінчення якого вільна складова струму в ланцюзі змінюється в e разів у порівнянні зі своїм вихідним значенням.

Напруга перехідного процесу на індуктивності, що врівноважують ЕРС самоіндукції, можна визначити за рівнянням:

uL(T) = L

.

 Ріс.14.2. Тимчасові залежності струму в електричному ланцюзі інапряженія на індуктивності при перехідному процесі

Під час перехідного процесу струм в ланцюзі поступово зростає від нуля, асимптотично наближаючись до свого сталого значення, рівному U / R, в той час як напруга на індуктивності, дорівнює напрузі, U при t = 0, убуває, асимптотично наближаючись до нуля.

Постійна часу електричного кола може бути визначена графічно як довжина подкасательной, проведеної в будь-якій точці до кривої, що відповідає даній показовою функції часу (рис. 14.2).

При короткому замиканні RL-ланцюга, приєднаної до джерела постійної напруги U

(Див. Рис. 14.1) вимикач В з положення 2 перекидається в стан 3, В ланцюзі виникає перехідний процес, обумовлений наявністю запасу енергії в магнітному полі тушки з індуктивністю L.

Відбувається в короткозамкненим контурі R - L процес характеризується вільним струмом, так як змушений (сталий) струм при цьому надає рівним нулю (i '= 0).

В результаті струм перехідного процесу в даному випадку визначається його вільної складової:

i (t) = i '' (t) = A A

Постійну інтегрування визначають, виходячи з умови, що до моменту короткого замикання струм в ланцюзі:

i (0) = I = U / R = A

З урахуванням цього ток перехідного процесу:

i (t) = i '' (t) =

З тимчасової залежності струму в перехідному процесі (рис. 14.3) випливає, що струм в електричному ланцюзі зменшується по експоненційної залежності від значення, рівного U / R в момент короткого замикання при t = 0, до нуля - в кінці перехідного процесу.

 Ріс.14.3. Тимчасові залежності струму в електричної цепіі напруги на індуктивності при перехідному процесі

За аналогічною залежності змінюється в даному колі і напругу на індуктивності:

uL(T) = )  = -U

При включенні RС-ланцюга (рис. 14.4) під постійну напругу u (t) = U (вимикач В встановлюється при цьому з положення 1 в положення 2) прийнято, що до моменту включення (t = 0) конденсатор ні заряджений (uс = 0).

 Ріс.14.4. Схема включення електричної цепіRC під постійну напругу

Відповідно до цього, виходячи з рівняння електричної рівноваги для миттєвих напруг, записаного за другим законом Кірхгофа для даної RС-ланцюга при t ? 0, маємо Ri + ис = u (t) = U. Струм в розглянутій ланцюга можна уявити через ємність конденсатора С і зміна напруги на його обкладках:

i = C

В результаті диференціальне рівняння ланцюга приводять до вигляду:

R C

Даному диференціальних рівнянь відповідає характеристичне рівняння

RCp + 1 = 0, де р- Корінь характеристичного рівняння р = -1 / RC.

Рішення диференціального рівняння без вільного члена щодо напруги на конденсаторі дозволяє визначити вільну складову цієї напруги:

 (T) = A

У свою чергу, напруга і 'сна обкладинках конденсатора в сталому режимі визначають в результаті приватного рішення відповідного диференціального рівняння електричного кола. У сталому режимі струм в ланцюзі i '(t) = 0, отже,

u'c (f) = u (t) = U

Напруга на конденсаторі під час перехідного процесу:

uc(T) =  (T) +  (T) = U +

Постійна інтегрування А знаходиться з початкових умов. Напруга на конденсаторі до включення дорівнювало нулю ис(0) = 0, так як до моменту включення ланцюга конденсатор ні заряджений. тоді ис(0) = U + А = 0, звідки

A = -U і  (T) = - U

Tаким чином, тимчасова залежність напруги на обкладках конденсатора під час перехідного процесу визначається рівнянням:

uc(T) = U-U  = U (1  ) = U (1 )

де ? = RC - Постійна часу, що дорівнює проміжку часу, після закінчення якого напруга в ланцюзі змінюється в е разів у порівнянні зі своїм вихідним значенням.

Струм в ланцюзі при перехідному процесі:

i (t) = i '(t) + i' '(t) = C  + C  = 0 +

де i '(t) = 0, i' '(t) =  і i (t) =

Аналіз отриманих часових залежностей напруги на конденсаторі і струму в RС-ланцюга під час перехідного процесу (рис. 14.5) показує, що з плином часу напруга на конденсаторі зростає, прагнучи до сталого своїм значенням, рівному U, а струм убуває від значення, рівного U / R до нуля.

При цьому зміна напруги на конденсаторі і струму в ланцюзі при перехідному режимі відбувається тим i швидше, чим менше постійна часу ланцюга ? = RC.

Коротке замикання неразветвленной RС-ланцюга, раніше перебувала під постійною напругою U = Const, здійснюється перемиканням вимикача В з положення 2 (В момент часу t = 0) в положення 3 (Рис. 14.4).

 Ріс.14.5. Тимчасові залежності напруги наконденсаторе і струму в RC-ланцюга під час перехідного процесу

Електромагнітні процеси в розглянутій електричного кола з моменту її замикання відбуваються за рахунок енергії, зосередженої на часі t = 0 в електричному полі конденсатора. Ця енергія, рівна C  протягом перехідного процесу перетворюється в теплоту, що розсіюється резистором R.

Для сталих значень струму в RС-ланцюга і напруги на обкладках конденсатора при перехідному режимі i (t) = 0, u 'c(T) = 0.

При цьому вільні складові струму в ланцюзі і напруги на конденсаторі:

i '' (t) = =

Струм в колі і напругу на обкладках конденсатора в перехідному режимі виражаються рівняннями:

i (t) = i '(t) + i' '(t) =

=

Постійна інтегрування А знаходиться з початкових умов, так як при t = 0 напруга на обкладинках конденсатора одно U, т. е. ис(0) =U = A.

Тоді для перехідних значень струму і напруги на конденсаторі справедливі рівняння:

i (t) = и  = U

Тимчасові залежності для струму і напруги на обкладках конденсатора під час перехідного процесу представлені на рис. 14.6, з якого видно, що напруга і струм при короткому замиканні RС-ланцюга зменшуються по експоненціальним залежностям відповідно до постійної часу ? = RC -ланцюга.

При розрахунку перехідних процесів в лінійних розгалужених електричних ланцюгах для визначення струмів в окремих гілках і напруг на ділянках ланцюга записується відповідне число рівнянь, складених за першим та другим законами Кірхгофа.

2 LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAAD4BQAAAAA = "stroked =" f ">
 Ріс.14.6. Тимчасові залежності для струму і напруги наобкладках конденсатора під час перехідного процесу

При цьому при складанні характеристичного рівняння не обов'язково приводити систему рівнянь до одного рівняння щодо однієї невідомої функції.

Система однорідних диференціальних рівнянь, записаних для вільних складових струмів в гілках розгалуженої ланцюга, записується у вигляді відповідної системи алгебраїчних рівнянь і на відміну від вихідної системи не містить похідних і інтегралів. У цій системі рівнянь похідні вільні складової струму di "/ dt замінюються символом рi ".

Інтеграл від цього струму ?i "dt- символом i "/ p (p - Корінь характеристичного рівняння - показник загасання, однаковий для всіх вільних складових струмів ланцюга).

Дійсно, якщо i " = аер t то похідна від вільного струму di "/ dt = d (AЕpt) / Dt = райpt = pi "

а інтеграл ?i "dt = ?Aeptdt = Aept/ p = i "/ p. Постійна інтегрування при цьому виявляється рівною нулю, так вільні складові не містять не залежать часу доданків. Подібний перехід від системи лінійних диференціальних рівнянь до системи алгебраїчних рівнянь, званий алгебраізація системи диференціальних рівнянь, для вільних струмів значно спрощує складання характеристичного рівняння. З отриманої системи алгебраїчних рівнянь складають потім визначник ?(Р), який повинен дорівнювати нулю, так як дана система рівнянь має рішення, відмінне від нульового, якщо визначник системи дорівнює нулю.

вираз ?(Р) = 0 і буде характеристичним рівнянням, в якому єдиним невідомим є його корінь р. Для складання характеристично го рівняння системи однорідних диференціальних рівнянь (рівнянь без вільного члена) може бути використаний і інший прийом. Записується вираз вхідного комплексного опору Z(Ј?) для відповідного кола, в якому ј? замінюють символом p. Отримане узагальнене комплексне опір Z(P) прирівнюють нулю. рівняння Z(P) = 0 і буде характеристичним рівнянням розглянутої ланцюга.

Число коренів характеристичного рівняння визначається його ступенем.

Для характеристичного рівняння другого ступеня число коренів дорівнює двом. При цьому вони можуть бути: дійсними, нерівними, негативними, дійсними, рівними, негативними комплексними, сполученими, з негативною дійсною частиною.

Таким чином, якщо характеристичне рівняння! має n коренів, загальне рішення системи однорідних диференціальних рівнянь має вигляд:

i '' (t) =

де рк - Коріння характеристичного рівняння; Ак постоянно інтегрування.

При двох дійсних нерівних коренях:

i '' (t) = A1  + A2

Для знаходження постійних інтегрування необхідно вирішити систему рівнянь для шуканого вільного струму i "(t), відповідних моменту часу t = 0. Як відсутніх (п - 1) рівнянь використовують рівняння, отримані шляхом (п - 1) -кратного диференціювання рівняння для вільного струму i "(f).

Спільне рішення цих рівнянь дозволяє визначити всі вхідні в вираз вільного струму постійні інтегрування. Для характеристичного рівняння другого порядку, коріння якого дійсні і нерівні, вираз вільного струму:

i '' (t) = A1  + A2

Перша похідна від вільного струму:

di '' / dt = p1A1  + p2A2

при t = 0 маємо систему рівнянь, з яких визначають постійні інтегрування А1 и А2:

i '' (0) = A1+ A2 di '' / dt (0) = p1A1 + p2A2

В отриманій системі рівнянь i '' (0), di '' / dt (0) і коріння р1 и р2 відомі, їх можна визначити для будь-якої електричного кола, використовуючи закони Кірхгофа і закони комутації. Спільне рішення рівнянь дозволяє отримати значення постійних інтегрування

A1=

A2= I '' (0) - A1

Якщо характеристичне рівняння має два дійсних негативних рівних кореня

р1= р2= -а, То рішення рівняння приводять до вигляду:

i '' (t) = A1  + A2  = (A1+ A2

Якщо корені характеристичного рівняння комплексні пов'язані р1 = - а + jb і р2 = -а - jb, то i "(t) = Ae-atsin (bt-?)

Отриманий вираз для вільної складової струму перехідного процесу розглянутої ланцюга відповідає загасаючого гармонійного коливання (рис. 14.7) з кутовою частотою ?o = b = 2? / T і початковою фазою, що дорівнює ?.

 Ріс.14.7 загасає вільна складова струму.

Що огинає затухаючого коливального процесу визначається кривою виду Ae-at. Величини А і ? визначаються значеннями параметрів даної ланцюга, початковими умовами і значенням напруг джерела живлення.

При цьому значення кутовий частоти вільних коливань ?o = b і коефіцієнт загасання

а = ? залежать тільки від параметрів ланцюга після комутації. Їх визначають з виразів для коренів характеристичного рівняння.

відповідно А і ? знаходять по значенням i "(0) і di "(0) / dt, Т. Е. З рівнянь:

i '' (0) = Asin? di "(0) / dt = -A ?sin? + A ?ocos ?

Перехідні процеси широко використовуються в електронній та імпульсної техніки для генерування синусоїдальних електричних коливань (генератори типу RC и LC) і отримання електричних коливань спеціальної форми (генератори прямокутних, пилкоподібних і інших коливань).

 Порядок виконання роботи |  Порядок виконання роботи


 Взаімоіндуктівное опір |  Порядок виконання роботи |  Розрахункові формули |  Розкладання несинусоїдної функції в ряд Фур'є |  Порядок виконання роботи |  Розкладання першої гармоніки |  Разложеіе шостий гармоніки |  Лабораторна робота № 12 |  Порядок виконання роботи |  Лабораторна робота № 13 |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати