Головна |
Повернемося до важливого нагоди, коли вектори є ортогональними. Нагадую: вектори и ортогональні тоді і тільки тоді, коли . У координатах даний факт запишеться наступним чином:
(Для векторів площини);
(Для векторів простору).
приклад 9
а) Перевірити ортогональность векторів: и
б) З'ясувати, чи будуть перпендикулярними відрізки и , якщо
Рішення:
а) З'ясуємо, чи будуть ортогональні просторові вектори. Обчислимо їх скалярний добуток:
, Отже,
б) Тут мова йде про звичайних відрізках площині (в чому подібність і відмінності вектора і відрізка, я дуже докладно роз'яснив на першому уроці). Йдеться про звичайні відрізках, а завдання все одно вирішується через вектори. Знайдемо вектори:
Обчислимо їх скалярний добуток:
, Значить, відрізки и не перпендикулярно.
Зверніть увагу на два істотні моменти:
- В даному випадку нас не цікавить конкретне значення скалярного твори, важливо, що вона не дорівнює нулю.
- В остаточному виведенні «між рядків» мається на увазі: «якщо вектори НЕ ортогональні, значить, відповідні відрізки теж не будуть перпендикулярними». Геометрично це очевидно, тому можна відразу записувати висновок про відрізки: «значить,відрізки и не перпендикулярно ».
відповідь:а) , Б) відрізки не перпендикулярно.
приклад 10
Дано чотири точки простору . З'ясувати чи будуть перпендикулярними наступні прямі:
а) ;
б) .
Це завдання для самостійного рішення. В умови потрібно перевірити перпендикулярність прямих. А вирішується завдання знову через вектори по повній аналогії з попереднім прикладом. Геометрично теж все очевидно - якщо вдасться довести перпендикулярність векторів, то з цього автоматично буде слідувати перпендикулярність відповідних прямих. Чотири вектора, які ви знайдете, називають напрямними векторами прямих.
Повне рішення і відповідь в кінці уроку.
Міць аналітичної геометрії - в векторах. Так, в розглянутих прикладах, за допомогою скалярного твори можна встановити не тільки ортогональность векторів самих по собі, а й перпендикулярність відрізків, прямих. І це прочинилися тільки мала частина краси предмета.
Завершуючи розмову про ортогональності, розберу ще одну невелику задачу, яка час від часу зустрічається на практиці:
приклад 11
При якому значенні вектори будуть ортогональні?
Рішення:За умовою потрібно знайти таке значення параметра , Щоб дані вектори були ортогональні. Два вектора простору ортогональні тоді і тільки тоді, коли .
Справа за малим, складемо рівняння:
Розкриваємо дужки і наводимо подібні доданки:
Вирішуємо найпростіше лінійне рівняння:
відповідь: при
У розглянутій задачі легко виконати перевірку, в вихідні вектори підставляємо отримане значення параметра :
І знаходимо скалярний твір:
- Да, дійсно, при вектори ортогональні, що і було потрібно перевірити.
приклад 12
При якому значенні скалярний добуток векторів дорівнюватиме -2?
Це простенький приклад з векторами площині. Для самостійного вирішення.
Трохи ускладнити завдання:
Скалярний твір в координатах | Скалярний твір в координатах, якщо вектори задані сумами векторів
Скалярний добуток векторів | Поняття скалярного твори | Кут між векторами і значення скалярного твори | Скалярний квадрат вектора Властивості скалярного твори | Кут між векторами | Формула косинуса кута між векторами, які задані координатами | Проекція вектора на вектор. Проекція вектора на координатні осі. Направляючі косинуси вектора | Очевидно, що при переміщенні вектора його проекція не змінюється | Проекція вектора на координатні осі. Направляючі косинуси вектора |