Головна

 1 сторінка

  1.  1 сторінка
  2.  1 сторінка
  3.  1 сторінка
  4.  1 сторінка
  5.  1 сторінка
  6.  1 сторінка
  7.  1 сторінка

Федеральне агентство з освіти

Державна освітня установа

Вищої професійної освіти

Пермського державного технічного університету

Диференціальне й інтегральне числення функції однієї змінної

індивідуальні завдання

 Посібник розроблено ст. преп. Смишляєва Т. В.Одобрено методичною комісією кафедри «Вища математика» © 2007, каф. «Вища математика» ПДТУ

Перм 2007


Варіант рішення завдань

I. Виходячи з визначення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

Рішення:

  1. надаємо аргументу  довільне збільшення  і, підставляючи в даний вираз функції замість  розширене значення  , Знаходимо розширене значення функції

В даному випадку

  1. Знаходимо приріст функції

  1. Ділимо приріст функції на приріст аргументу, т. Е. Складемо відношення

  1. Шукаємо межа цього відношення при  . Ця межа і дасть шукану похідну  від функції ;

II. Похідна складної функції

Похідна складної функції дорівнює добутку її похідної по проміжному аргументу на похідну цього аргументу по незалежній змінній.

Знайти похідні наступних функцій:

Рішення:

III. а) Похідна неявної функції

знайти  для даної неявної функції

Рішення:

диференціюючи по  обидві частини рівності, де  є функція від  , отримаємо .

Враховуючи що  , отримуємо

б) Логарифмічні диференціювання

Логарифмічні диференціювання корисно застосовувати для знаходження похідної від показово - статечної функції  , де  - Функції від  і коли задана функція містить логаріфмірующіеся операції (множення, ділення, піднесення до степеня, добування кореня).

Знайти похідні наступних функцій:

Рішення:

Застосовується логарифмічна диференціювання, послідовно знаходимо:

в) Похідна від функції, заданої параметрично

похідна

знайти похідну  для функції, заданої параметрично

Рішення:

знайдемо  . отже,

IV. Показати, що функція  звертає рівняння  в тотожність.

Рішення:

висловимо  в явному вигляді  . знайдемо

підставляємо и  в ліву частину рівняння, отримуємо

підставляємо  в праву частину рівності, отримуємо

 , що й потрібно було довести.

V. Похідні вищих порядків

а) Похідна явною функції

Рішення:

диференціюючи функцію  , отримаємо .

диференціюючи похідну  , отримаємо

б) Похідна неявної функції

Для даної неявної функції знайти .

Рішення:

диференціюючи по  обидві частини рівності, де  є функція від  , отримуємо

Звідси знайдемо .

знайдемо :

Підставляємо в ліву частину знайдену похідну  , Отримуємо:

.

Враховуючи що  , отримаємо  або

VI. Похідна від функції, заданої параметрично

Для функції, заданої параметрично, знайти .

Рішення:

знаходимо похідні  по параметру .

Далі знаходимо похідну від  , А потім шукану другу похідну від  як відношення похідних від  і от .

  1. Дотична і нормаль до кривої

Якщо плоска крива віднесена до прямокутної системі координат, то рівняння дотичної та нормалі до неї в точці  мають вигляд:

 , де  - Значення в точці  похідною  з рівняння кривої.

Знайти рівняння дотичної та нормалі до еліпса  в точці, де .

Рішення:

при ,  , Отримуємо точку

знайдемо

при  , отримуємо .

Рівняння дотичної:

Рівняння нормалі:

  1. Теорема Ролля, Лагранжа і Коші.

теорема Ролля

якщо функція :

  1. неперервна на відрізку [a, b]
  2. має кінцеву похідну в кожній точці інтервалу (a, b)
  3. приймає рівні значення на кінцях відрізка,  , То в інтервалі (a, b) Існує принаймні одна точка с, В якій похідна функції звертається в нуль: .

функція  на кінцях відрізка [0, 4] приймає рівні значення .

Чи справедливим є для цієї функції теорема Ролля на відрізку [0, 4]?

Рішення:

знайдемо  . при ,  не існує. Порушено друга умова теореми Ролля.

Теорема Лагранжа.

якщо функція :

  1. неперервна на відрізку [a, b]
  2. має кінцеву похідну в кожній точці інтервалу (a, b), То знайдеться принаймні одна внутрішня точка с інтервалу (a, b),  , для котрої .

Перевірити виконання умов теореми Лагранжа для функції  і знайти відповідне проміжне значення с.

Рішення:

функція  неперервна і диференційована для всіх значень  , причому  . Звідси за формулами Лагранжа маємо

отже,  ; годиться тільки значення  , Для якого справедливо нерівність .

Теорема Коші.

нехай функції  задовольняють наступним умовам:

  1. неперервна на відрізку [a, b]
  2. мають кінцеві похідні у всіх точках інтервалу (a, b)
  3.  для будь-якого  , То всередині відрізка [a, b] Знайдеться така точка ,  , що

Перевірити справедливість формули Коші для функцій  на відрізку [1; 2].

Рішення:

функції  безупинні і мають похідні при всіх значеннях  . Похідні даних функцій рівні відповідно  . На відрізку [1, 2], .

Тоді між двома значеннями и  існує значення  , Яке задовольняє рівності

.


Варіант 1

1. Виходячи з визначення похідної (не користуючись формулами диференціювання), знайти похідну функції

2. Знайти похідну складної функції



3. Знайти



4. Показати, що функція  задовольняє рівняння

5. Знайти

а)  в)

б)

6. Знайдіть координати точки перетину двох дотичних, проведених до графіка функції  : Перша в точці з абсцисою  , Друга з абсцисою

7. Чи буде виконуватися теорема Ролля для функції  на відрізку [0, 8]. Якщо так, то знайти відповідне значення x.

Варіант 2

  1. Виходячи з визначення похідної (не користуючись формулами диференціювання), Знайти похідну функції
  2. Знайти похідну складної функції


  1. знайти


  1. Показати, що функція  задовольняє рівняння
  2. знайти

а)  в)

б)

  1. До параболі  в точці на ній з абсцисою  проведена дотична. Знайдіть точку перетину цієї дотичної з віссю X.

7. Записавши формулу Лагранжа для функції  на відрізку [0, 1], знайти на інтервалі (0, 1) відповідне значення x.

варіант 3

  1. Виходячи з визначення похідної (не користуючись формулами диференціювання), Знайти похідну функції
  2. Знайти похідну складної функції


  1. знайти


4. Показати, що функція  задовольняє рівняння

5. Знайти

а)

б)  в)

  1. Знайдіть координати точки перетину двох дотичних, проведених до графіка функції  : Перша в точці на графіку з абсцисою  , А друга в точці з абсцисою .
  2. Записавши формулу Коші для функцій  і на відрізку [0, 2], знайти відповідне значення x.

варіант 4

  1. Виходячи з визначення похідної (не користуючись формулами диференціювання), Знайти похідну функції
  2. Знайти похідну складної функції



 Фонетична зарядка. |  2 сторінка
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати