Головна

наведена система

  1.  A) збігається решеточная система б) Взаємно протилежна решеточная
  2.  I. Система граматичних часів в пасивному стані
  3.  II. Богословська система
  4.  II. Глобальна система.
  5.  II. Поселення в Іспанії. Взаємовідносини вестготів і римлян. Королівська влада. Система управління. Церковна політика.
  6.  III. КУЛЬТУРА ЯК СИСТЕМА ЦІННОСТЕЙ
  7.  III. Система лінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку з постійними коефіцієнтами.

Вирішуючи систему (5) щодо матриці Y (це можливо в силу умови (3)) отримуємо:

Y = QX + Y, (10)

де Q = (I - A)-1B

(11)

Y = (I - A)-1E

Рівняння (10) відповідає еквівалентну (наведене) (2) рівняння вихідної системи:

 (12)

де  - Вектори вихідних координат, входів і перешкод відповідно.

Рівняння (12) відповідає структурна схема, в якій кожен з входів xi надходить в кожну підсистему і жодна з підсистем не має ендогенних входів. Для системи на Рис. 1. відповідна еквівалентна (приведена) (в сенсі входить-вихідних співвідношень) структура має вигляд Рис. 2.

Система типу (12) вивчалася нами вище.

 Для неї знаходження невідомих параметрів qij - Елементів матриці Q виробляється звичайним МНК для кожної підсистеми окремо.

Однак ми не можемо обмежиться рішенням завдання визначення «найкращих» значень коефіцієнтів qij матриці Q. Пояснюється це тим, що коефіцієнти ajk, bjl, Матриці А і В системи (2) (на відміну від коефіцієнтів qij матриці Q) мають ясний фізичний зміст.

Побудована за допомогою ajk і bjl регресійна модель добре наближає реальну систему на наявному експериментальному матеріалі. І її можна використовувати для прогнозування реальної системи не тільки при зміні вхідних сигналів, але і при зміні в певній мірі конструктивних параметрів системи. Тому сформульована вище екстремальна задача має сенс.

Наведемо один наближений спосіб її вирішення.

Двокроковий метод найменших квадратів

Розглянемо j - е з рівнянь (1)

 (13)

На першому кроці для кожної ендогенної змінної yk, Що стояла в правій частині рівняння (13), виписується рівняння наведеної системи (12):

 (14)

Використовуючи матриці експериментальних даних Y, X (див. 4), знаходимо за допомогою МНК-оцінки  невідомих параметрів qkj.

Утворити n нових змінних (розрахункових змінних):

 (15)

тут nj - Число елементів множини Аj.

Цим завершується перший крок.

На другому кроці обчислені розрахункові змінні (15) підставляються замість відповідних ендогенних змінних yk в праву частину (13). отримуємо:

 (16)

рівняння (16) розглядається як звичайне рівняння регресії зі змінними (факторами)  , xl .

Воно вирішується, (тобто знаходяться ajk, bjl) За допомогою МНК і знайдені значення ajk і bjl приймаються за вирішення завдання.

Можна строго довести, що значення параметрів структурних рівнянь (1), знайдені двухшаговим методом найменших квадратів, з ростом числа спостережень сходяться по ймовірності до істинних значень цих параметрів.

зауваження: При застосуванні МНК на другому кроці, значення розрахункових змінних  обчислюються за допомогою (16) з використанням експериментальних даних Х з (4).

приклад. Розглянемо систему зі структурною схемою.

 Для цієї схеми рівняння реальної системи мають вигляд:

.

Перший крок. Для першого рівняння представляємо ендогенну змінну y2 у вигляді: y2 = q21x1 + q22x2 + y2

Відповідна регресійна модель

Матриця експериментальних даних



 Структурні рівняння лінійної регресії |  Для розглянутого випадку
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати