На головну

Способи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, які мають сталі коефіцієнти

  1. II. Один на Земле род человеческий приспособился ко всем существующим климатам
  2. А Василий Великий не путал и указал в 11 главе своих бесед на Шестоднев, что один Шестоднев суть прообраз другого.
  3. Алгоритм розв'язання і розв'язання задачі про призначення
  4. Взаємодія електронів з коливаннями кристалічної решітки
  5. Визначте пункти, ЩО НЕ мають відношення до завдання.
  6. Визначте пункти, які НЕ мають відношення до завдання
  7. Визначте пункти, які НЕ мають відношення до завдання.

Звичайні диференціальні неоднорідні рівняння другого порядку, які мають сталі коефіцієнти, мають вигляд

,

де p, q − дійсні числа.

Якщо в цьому поданні диференціальних рівнянь , то маємо диференціальні однорідні рівняння другого порядку, які мають сталі коефіцієнти.

Розглянемо однорідне диференціальне рівняння другого порядку, в якого коефіцієнти є сталі, а саме:

.

Загальний інтеграл такого рівняння має вигляд

,

де та - лінійно незалежні частинні інтеграли цього рівняння, вигляд яких визначається в залежності від коренів відповідного характеристичного рівняння.

Характеристичне рівняння, яке відповідає однорідному диференціальному рівнянню, має вигляд

і складається виходячи з заданого однорідного диференціального рівняння за таким правилом: другій похідній відповідає квадрат деякої невідомої , першій похідній відповідає змінна в першому степені , а функції відповідає змінна в нульовому степені, а коефіцієнти переносяться без змін.

Якщо характеристичне рівняння має дійсні різні корені та , то частинні інтеграли мають вигляд

,

та загальний інтеграл такого однорідного диференціального рівняння є

.

Якщо характеристичне рівняння має кратні дійсні корені , то загальний інтеграл однорідного диференціального рівняння є

.

Якщо характеристичне рівняння має комплексно сполучені корені

, , то

.

Задача 9.11. Визначити загальний інтеграл рівняння

.

Розв'язання. Складемо характеристичне рівняння та визначимо його корені. Маємо

,

що видно з теореми Вієта.

Тоді розв'язок диференціального рівняння, яке подано до розгляду, має вигляд

.

Задача 9.12. Визначити загальний інтеграл рівняння

.

Розв'язання. Маємо характеристичне рівняння

, та ; .

Тоді загальний інтеграл зазначеного диференціального однорідного рівняння другого порядку, яке має сталі коефіцієнти, має вигляд

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку, яке має сталі коефіцієнти, тобто

.

Загальний інтеграл такого рівняння має вигляд , де Y - загальний інтеграл (загальне розв'язання) відповідного однорідного диференціального рівняння, а - частинний інтеграл (частинне розв'язання) неоднорідного диференціального рівняння.

Частинний розв'язок визначається в залежності від вигляду правої частини неоднорідного диференціального рівняння.

1. Якщо , де - довільний многочлен та не збігається з коренями та характеристичного рівняння, то

,

де - многочлен, степінь якого збігається із степенем многочлена та має невідомі коефіцієнти, які визначаються за методом невизначених коефіцієнтів.

2. Якщо та - простий корінь характеристичного рівняння, то

.

3. Якщо та - кратний корінь характеристичного рівняння, то

.

Задача 9.13. Визначити загальний інтеграл диференціального рівняння .

Розв'язання. Подане до розв'язання диференціальне рівняння є неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку, яке має сталі коефіцієнти та праву частину спеціального вигляду, а сама права частина складається із многочлена та степеневої функції.

Характеристичне рівняння відповідного однорідного рівняння є

,

тоді ; ,

тобто корінь характеристичного рівняння є кратним, тому загальне розв'язання однорідного рівняння має вигляд

.

При визначенні частинного розв'язку неоднорідного диференціального рівняння звернемо увагу на те, що якщо , як уже відзначалось, є сума многочлена та добутку многочлена на степеневу функцію , то частинний розв'язок буде також складатись із суми двох відповідних частинних розв'язків: , де ; , де та не є коренем характеристичного рівняння, тобто . Визначимо коефіцієнти А, В, С.

Маємо ; , тоді після підстановки в рівняння маємо

;

;

.

Порівнюємо коефіцієнти та будемо мати , , .

Тому

,

а загальний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння має вигляд

.

У загальному випадку права частина неоднорідного диференціального рівняння другого порядку, коефіцієнтами якого є сталі, може мати вигляд

.

Частинний розв'язок диференціального рівняння визначається в залежності від того, чи є комплексне число коренем характеристичного рівняння, чи ні, а саме:

1. Якщо не є коренем характеристичного рівняння, то
частинний розв'язок має вигляд

.

2. Якщо є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв'язок має вигляд

.

Зауваження:

1. Многочлени та , які записуються з невизначеними коефіцієнтами, мають степені, які визначаються більшим степенем многочленів та .

2. Якщо або , то частинний розв'язок слід визначати у відповідності до загальних виразів, які зазначені вище в п. 1 та 2.

3. Якщо , то за умови, що не є коренем характеристичного рівняння,

,

а за умови, що є коренем характеристичного рівняння,

.

Задача 9.14. Визначити загальний розв'язок диференціального рівняння .

Розв'язання. Загальний розв'язок , де Y - загальний розв'язок відповідного однорідного диференціального рівняння, а - частинний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння.

Маємо, що однорідне рівняння , якому відповідає характеристичне рівняння , що має корені , має загальний розв'язок

.

Права частина диференціального рівняння, яке розглядається, , дає підстави частинний розв'язок визначати як , де - частинний розв'язок, який визначається , а - частинний розв'язок, який визначається . Маємо , оскільки та не є коренем характеристичного рівняння, , оскільки не є коренем характеристичного рівняння.

Тоді .

Визначимо загальний розв'язок диференціального рівняння, яке розглядається. Маємо

.

Для визначення коефіцієнтів А, В та С розглянемо такі похідні та систему рівнянь:

;

;

;

Маємо ; ; .

Тоді загальний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння другого порядку, яке має сталі коефіцієнти, має вигляд

.

Доцільно відзначити, що за необхідності розв'язання диференціального рівняння послідовність формування міркувань щодо його розв'язання може відповідати такій послідовності. Перш за все слід визначити, яке диференціальне рівняння розглядається. Якщо воно є звичайним диференціальним рівнянням першого порядку, то в подальшому необхідно з'ясувати: чи воно є рівнянням, яке допускає відокремлення змінних; чи є однорідним; чи воно є лінійним; чи воно є рівнянням Бернуллі. Після визначення, до якого типу належить диференціальне рівняння, потрібно застосувати відповідні способи визначення його розв'язку. Якщо задане диференціальне рівняння є звичайним диференціальним рівнянням другого порядку, коефіцієнти якого є сталими, то перш за все необхідно з'ясувати, чи воно є однорідним, чи неоднорідним. У залежності від такого визначення слід застосувати способи визначення загального розв'язку рівняння, яке для однорідного диференціального рівняння відповідає змісту коренів характеристичного рівняння, а для неоднорідного відповідає змісту коренів характеристичного рівняння та змісту виразу його правої частини.



Способи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків, які допускають пониження порядку | Варіанти контрольних робіт

Означення диференціального рівняння та його розв'язання | Спосіб розв'язання звичайного диференціального рівняння першого порядку, яке допускає відокремлення змінних | Спосіб розв'язання однорідного звичайного диференціального рівняння першого порядку | Спосіб розв'язання лінійного звичайного диференціального рівняння першого порядку |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати