Головна

Достатні умови екстремуму. Перше правило.

  1.  III. Розвиток радянського права в умовах НЕПу
  2.  IV. Почуття і потягу людей всюди погодяться з їх життєвими умовами і органічним будовою, але повсюдно управляють ними думки і звички
  3.  Nbsp; Приклад 7.3 / Змінивши умови прикладу 7.1: відсотки нараховуються 3 рази в рік за ставкою 15% річних і платежі по ренті здійснюються 3 рази в рік.
  4.  Rule # 1Чтоби задати питання в англійській мові допоміжне дієслово потрібно поставити на перше місце
  5.  V. Умови проведення
  6.  А ось після кількох років життя в незмінних умовах,
  7.  Припинення адміністративних правопорушень в умовах надзвичайного стану.

Щоб визначити, чи є у критичній точці екстремум, застосовують достатні умови екстремуму.

Припустимо, що в деякій  -окрестності критичної точки  існує похідна  і як зліва від  , Так і праворуч від  зберігає певний знак. Тоді можливі наступні три випадки:

1.  при и  при  , Тобто похідна  при переході через точку  змінює знак «+» на «-». У цьому випадку в проміжку  функція  зростає, а в проміжку  убуває, так що значення  буде найбільшим в проміжку  , Тобто в точці  функція має локальний максимум.

2.  при и  при  , Тобто похідна  при переході через точку  змінює знак «-» на «+». В цьому випадку аналогічно переконуємося в тому, що в точці  функція має локальний мінімум.

3.  як при  , Так і при  , Або ж  і зліва і праворуч від  , Тобто при переході через точку  не має знак. Тоді функція або весь час зростає, або весь час зменшується, так що в точці  екстремуму немає.

Отже, ми отримуємо перше правило для визначення екстремуму в критичній точці  : Підставляємо в похідну  спочатку  , а потім  , Встановлюємо знак похідної поблизу від точки  зліва і праворуч від неї, якщо при цьому похідна  змінює знак «+» на «-», то на обличчя максимум, якщо  змінює знак «-» на «+», то -мінімум; якщо ж  знак не змінює, то екстремуму зовсім немає.

Приклад. Знайти екстремуми функції

.

Функція визначена і неперервна на всій числовій осі.

Рішення. її похідна

існує і кінцева при всіх .

Знайдемо критичні точки. Для цього прирівняємо похідну до нуля.

; ;

Критичні точки: .

Цими точками область визначення функції  розбивається на наступні інтервали:

.

Оскільки похідна існує, то інших критичних точок у функції немає.

Для визначення знака похідної в цих інтервалах можна встановити його для конкретних значень, наприклад,  . Отримуємо наступні знаки:

в інтервалі ,

в інтервалі ,

в інтервалі ,

в інтервалі .

+
+
+
-
 -2

Відповідно до достатньою умовою при  екстремуму немає (похідна не поміняла знак при переході через точку  ), При  функція має максимум (похідна змінила знак з «+» на «-»), а при  - Мінімум (похідна змінила знак з «-» на «+»).

знаючи точки  , Що доставляють нашої функції екстремальні значення, легко обчислити тепер і самі ці значення: ,  . Графік цієї функції має вигляд

Достатні умови екстремуму. Друге правило.нехай функція  не тільки має похідну  в околиці точки  , Але і другу похідну в самій точці :  . Крапка  - Стаціонарна, тобто  . якщо  , То функція  в точці  має мінімум. якщо  , То в точці  функція має максимум.

Звідси випливає друге правило для перевірки екстремуму в точці  : підставляємо  в другу похідну  ; якщо  , То функція має мінімум, якщо ж  , То - максимум в точці .

Це правило має, взагалі кажучи, більш вузьке коло застосування. Воно явно не застосовується до тих точках, де не існує перша похідна. У тих випадках, коли друга похідна звертається в нуль, правило також відповіді не дає. Вирішення питання залежить від поведінки вищих похідних вищих порядків.

Приклад. Повернемося до розглянутої вище задачі:

.

Для неї .

Стаціонарні точки: .

.

Для відшукання похідної другого порядку скористалися формулою .

,

,

.

Таким чином, в точці  - Максимум,  - Мінімум, для точки  питання залишається не вирішеним і для його вирішення необхідно скористатися першим правилом.

Порядок перебування інтервалів монотонності функції і екстремуму і точок. При дослідженні функції інтервали монотонності і точки екстремуму знаходяться одночасно. Порядок їх знаходження може бути наступним:

1. Знайти область визначення функції.

2. Дослідити функцію на парність. Якщо функція парна або непарна, то її можна досліджувати тільки на половині області визначення.

3. Дослідити функцію на періодичність. Якщо функція періодична, то її можна досліджувати тільки на одному періоді.

4. Знайти критичні точки функції, тобто точки, в яких її похідна дорівнює нулю або не існує. Ці точки розіб'ють область визначення функції на інтервали, в яких похідна зберігає знак.

5. Визначити знак похідної в кожному інтервалі. Для цього достатньо обчислити значення похідної в одній з внутрішніх точок кожного інтервалу.

6. В інтервалах, де похідна позитивна, функція зростає, в інтервалах, де похідна негативна, функція спадає; в критичних точках, при переході через які похідна змінює знак з мінуса на плюс, функція має мінімум, в критичних точках, при переході через які похідна змінює знак з плюса на мінус, функція має максимум. Якщо при переході через критичну точку похідна не змінює знак, то в цій точці функція не має екстремуму.

7. Обчислити екстремальні значення функції.

Приклад. Знайти інтервали монотонності і екстремуми функції

Рішення.

1) Функція визначена на всій числовій осі:  або D (f) = R.

2) Перевіримо, чи не є функція парною, або непарною:

f (-x) = = = ;  , Отже функція не є ні парною, ні непарною.

3) функції не періодична, так як вона алгебраїчна.

4) Знайдемо похідну даної функції

Знайдемо критичні точки функції, тобто точки, де похідна дорівнює нулю або не існує:

.

Похідна не існує в точках, де  , Тобто в точках  . Таким чином маємо три критичних точки, які розбивають область визначення функції на чотири інтервалу.

+
+
-
+

Отримані результати оформимо у вигляді таблиці.

 не існує  не існує
 нетекстре-мума

З таблиці видно, що в інтервалах ,  функція монотонно зростає, а в інтервалі (0,4 / 3) монотонно убуває ,  , при  екстремуму немає.

Знаходження найбільшого і найменшого значень функції. нехай функція  визначена і неперервна на відрізку  . Розглянемо питання про знаходження найбільшого і найменшого значень функції в цьому проміжку.

Зупинимося спочатку на найбільшому значенні. Якщо воно досягається в певній точці між и  , То це один з максимумів (очевидно найбільший). Але найбільше значення може досягатися і на одному з кінців відрізка  або  . Таким чином, для знаходження найбільшого значення функції треба порівняти між собою всі максимуми функції  і її граничні значення и  . Найбільше з них і буде найбільшим значенням функції в .

Аналогічно знаходимо і найменше значення.

Практично для знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку досить знайти критичні точки функції, що лежать всередині відрізка, обчислити значення функції в цих точках і на кінцях відрізка, і з усіх знайдених значень вибрати найбільше і найменше. Це і будуть найбільше та найменше значення функції на даному відрізку.

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції  на відрізку .

Рішення. У попередньому прикладі було встановлено, що на відрізку  функція має одну критичну точку  . Тому для вирішення завдання досить обчислити значення функції в цій точці і на кінцях відрізка:

,

,

.

Серед них найменше  і найбільше .

Отже, найменше значення функції одно  , А найбільше значення функції одно .

Опуклість і увігнутість кривої. Точки перегину. Кожен з вас інтуїтивно уявляє собі опуклу поверхню. Наприклад, зовнішня поверхня сфери. Будь-яка плоска крівая на такій поверхні є опуклою. Можна також говорити про опуклості вниз і опуклості вгору кривої.

 

Мал. 11 Рис. 12

нехай функція  визначена і неперервна в деякому проміжку  . Кажуть, що крива  опукла вниз (увігнута), якщо її графік лежить не нижче будь дотичній, проведеної до неї на цьому проміжку (рис. 11). Якщо ж графік функції лежить не вище будь-якої своєї дотичній, то крива  називається опуклою вгору (опуклою) (рис. 12).

 Часто функція опукла вгору в одних частинах її області визначення і опукла вниз в інших. Точки графіка функції, при переході через які змінюється напрямок опуклості, називаються точками перегину.

Мал. 13

Слід мати на увазі, що напрям опуклості може змінитися і в точках розриву функції (рис. 3).

 ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ЗА ДОПОМОГОЮ ПОХІДНИХ |  Знаходження інтервалів опуклості вниз, опуклості вгору і точок перегину функції.


 Основні теореми теорії меж |  Еквівалентні нескінченно малі і нескінченно великі величини. |  поняття невизначеностей |  Приклад. |  Перший і другий чудовий межі |  БЕЗПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЙ І ТОЧКИ РОЗРИВУ |  Зазначимо основні властивості неперервних в точці функцій. |  Властивості неперервних функцій на відрізку. |  ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ Обчислення ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЮ |  ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОБЧИСЛЕННЯ |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати