На головну

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ Обчислення ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЮ

  1.  A) Ділянка змінної б) вутів елемент в) вутів ділянку
  2.  З'єднання в вільної частини верхньої кінцівки
  3.  I. дисфункції бюрократії як організації
  4.  I. Знайти межі функції.
  5.  II Етап. Графічне зображення ряду і емпіричної функції розподілу.
  6.  II. Обчислення похідних ФУНКЦІЇ одного аргументу
  7.  II. Дисфункції бюрократії як соціальної групи

Визначення похідної.нехай функція  визначена в точці xі в деякій її околиці  . дамо аргументу xприріст  , Причому таке, що  належить околиці  . функція  отримає при цьому приріст .

Границя відношення приросту функції  до викликав його приросту аргументу  при прагненні  до 0, т. е.

називається похідною функції  по незалежній змінній x в даній точці x.

Позначається похідна функції  по різному.

Найбільш часто вживаються такі позначення:

 (Читається: ігрек штрих),  (Еф штрих від ікс),

 (Де ігрек по де ікс),  (Де еф по де ікс).

Якщо може виникнути сумнів щодо змінної, по якій взята похідна, то ця змінна вказується у вигляді нижнього індексу: , .

Зауважимо, що при даному значенні x похідна існує кілька. Якщо ж похідна існує при всіх значеннях x з деякого проміжку, то вона є функцією від x.

Обчислення похідних, вивчення і використання їх властивостей складають предмет диференційованого обчислення.

Приклад. Користуючись визначенням, знайти похідну функції .

Рішення. За визначенням

.

Для заданої функції ; ;

тоді

відповідь: .

Фізичний зміст похідної. нехай точка М рухається прямолінійно за законом  , де S - Шлях, пройдений точкою за час t. У момент часу  точка пройде шлях  . Таким чином, за проміжок часу  точка пройде шлях  із середньою швидкістю .

Миттєву швидкість точки або швидкість точки в момент часу t визначають як межа середньої швидкості при .

.

Таким чином, похідна функції  по t є швидкість прямолінійного руху точки в момент часу t.

У загальному випадку можна сказати, що похідна функції  по x є швидкість зміни величини y при даному x.

Геометричний зміст похідної. Нехай задана функція  . Розглянемо на її графіку точку  і точку

дотичній до кривої  в точці М називається граничне положення МК січною  , Коли точка  переміщаючись по кривій, необмежено наближається до точки М.

Знайдемо тангенс кута між дотичною МК і віссю Ох, Який називається кутовим коефіцієнтом дотичної.

Очевидно, що

.

Таким чином, похідна функції  в будь-якій точці х являє собою кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці .

З визначення похідною слід, що приріст функції в точці  можна представити у вигляді

,

де  при .

З цього твердження випливає: якщо функція  в точці  має похідну, то в цій точці функція необхідно неперервна, так як з  слід .

Похідна складної функції.Похідна складної функції  по змінній  дорівнює похідною заданої функції з проміжного аргументу  , Помноженої на похідну проміжного аргументу по незалежній змінній : .

Похідна оберненої функції.нехай и  взаємно зворотні функції, причому функція  монотонна і неперервна. У цьому випадку її зворотна функція  однозначна і неперервна функція. Нехай, крім того, функція  має похідну в точці  відмінну від нуля:  Тоді зворотна функція  має похідну в точці  рівну одиниці, поділеній на похідну  прямоїфункції в точці :

Основні правила диференціювання функцій.Похідна алгебраїчної суми кінцевого числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних доданків, якщо похідні доданків існують, т. Е.

.

Доведення. нехай  і існують .

тоді,

що й потрібно було довести.

Аналогічно доводяться наступні твердження.Похідна добутку двох функцій дорівнює сумі творів похідною першої функції на другу і похідною другий функції на першу, т. Е.  , Якщо похідні сомножителей існують.

Це правило узагальнюється на випадок будь-якого кінцевого числа співмножників. наприклад,

.

Слідство.Постійний множник можна виносити за знак похідної:  , де .

Похідна частки двох функцій.Похідна частки двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює похідною чисельника, помноженої на знаменник, мінус чисельник, помножений на похідну знаменника, а знаменник дробу дорівнює квадрату знаменника вихідної дробу, якщо похідні чисельника і знаменника функції існують.

; .

В окремому випадку, коли  , де  , отримаємо

.

при  матимемо .

У разі, коли  , де  маємо .

Похідна статечної функції.Похідна складної статечної функції дорівнює добутку трьох множників: перший - показник ступеня, другий - сама статечна функція з показником, на одиницю меншим, третій - похідна підстави функції: .

В окремому випадку  , Отримуємо: .

Таблиця похідних.Користуючись визначенням похідної і правилом диференціювання складної функції отримаємо наступну таблицю похідних елементарних функцій:

1. ,

2. ,

3. ,

4. , ,

5. ,

,

.

6. ,

,

7. ,

,

,

,

8. ,

,

,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. ,

17. ,

18. ,

19. ,

20. ,

21. ,

22. ,

Приклад 1. .

Цей результат слід запам'ятати, так як досить часто доводиться знаходити похідні від квадратних коренів з різних функцій.

Приклад 2.

.

Приклад 3.

Похідна показовою функції. Похідна складної показовою функції дорівнює добутку самої функції, натурального логарифма її заснування і похідною показника ступеня:

 В окремому випадку  , отримуємо  і звідси .

Приклад 1.

.

Приклад 2. .

Похідна логарифмічної функції. Похідна складної логарифмічною функції дорівнює відношенню похідною проміжного аргументу до твору проміжного аргументу на натуральний логарифм підстави логарифмічною функції

В окремих випадках:

 , Оскільки підстава .

 , Оскільки підстава .

Приклад 1.

Приклад 2.

Похідна статечно-показовою функції.Похідна статечно-показовою функції  дорівнює сумі похідних, взятих від неї як від статечної і як від показовою функції:

Приклад 1.

.

Приклад 2.

.

Наведемо додаткові приклади на обчислення похідної функції, застосовуючи таблицю похідних.

Приклад 1.

(Нагадаємо, що  ).

Приклад 2.

Приклад 3.

Приклад 4.

Приклад 5.

Приклад 6.

Приклад 7.

Приклад 8.

Приклад 11. Знайти  , якщо

Диференціюючи ліву і праву частини цього рівняння отримаємо:

Приклад 10. Знайти  , якщо

Похідні вищих порядків. якщо функція  має кінцеву похідну  в деякому інтервалі, то ця похідна сама є деякою функцією від  . Похідна від похідної називається похідною другого порядку або другої похідної функції  і позначається одним із символів:  (Читається: ігрек два штриха),  (Еф два штриха від ікс),  (Де двічі ігрек по де ікс в квадраті).

Аналогічно, якщо функція  має кінцеву другу похідну в деякому інтервалі, то її похідна називається похідною третього порядку функції  і позначається  або  , або  , або .

У загальному випадку похідною  -го порядку функції  називається похідна від її похідної  -го порядку  . позначається вона  або  , або  , або .

Приклад. Знайти похідні вищих порядків функції

Рішення.

.

Очевидно, що всі інші похідні вищого порядку рівні 0.

Зверніть увагу, порядок похідних четвертого і більш високого порядків часто позначається римськими числами.

Приклад. Знайти похідні третього порядку функції

Рішення:

Розглянемо похідні вищих порядків параметричних заданих функції , .

Як відомо,

 . (А)

оскільки  також можна розглядати як параметрически задану функцію, то застосувавши формулу (а), отримуємо:

 або .

аналогічно отримуємо ,

.

Аналогічно можуть бути знайдені похідні і більш високих порядків.

Приклад. знайти  якщо

Рішення. ,

.

;

Визначення диференціала функції.нехай функція  неперервна в точці  . тоді збільшенню  аргументу відповідає приріст функції  нескінченно мале разом з .

функція  називається диференційованою в точці  , Якщо її приріст  в цій точці можна представити у вигляді: .

лінійна щодо  частина приросту функції  називається диференціалом функції в точці  і позначається через  або .

Таким чином, за визначенням .

Приклад. Знайти диференціал функції  в точці .

Рішення: .

отже, .

Таким чином, функція  диференційована в будь-якій точці  , Її диференціал в цій точці дорівнює .

Зв'язок між диференціалом і похідною функції. Для того щоб функція  в точці  була диференційована, необхідно і достатньо, щоб для неї в цій точці існувала кінцева похідна  . В цьому випадку и .

Ордината дотичній одержить збільшення рівне  . Отже,  є приростом ординати дотичної, відповідної збільшенню  ординати кривої. чим менше  , Тим менше відрізняються між собою ординати кривої і дотичній.

Диференціал незалежної змінної.Диференціалом незалежної змінної  називається її приріст  , Т. Е.  . Тому диференціал функції  записується у вигляді .

Основні правила обчислення диференціала функції.Так як диференціал  лише множником  відрізняється від похідної  , То правила диференціювання легко виходять з правил знаходження похідної. Наведемо основні з них:

,

,

оскільки .

Приклад. Знайти диференціал функції .

Рішення: .

Інваріантність форми диференціала.Правило диференціювання складної функції призводить до одного чудового і важливого властивості диференціала. нехай ,  такі, що з них можна скласти складну функцію  . Знайдемо диференціал цієї складної функції:

.

Як бачимо, форма диференціала не змінилася, хоча  не є незалежною змінною. Різниця лише в тому, що  Тобто не довільне збільшення  , А диференціал  як функція від .

Це властивість зберігати форму і називається инвариантностью форми диференціала. Властивість грає важливу роль в інтегральному численні.




 Властивості неперервних функцій на відрізку. |  ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОБЧИСЛЕННЯ

 Поняття функції та способи її завдання |  Поняття границі функції |  Нескінченно малі і нескінченно великі величини |  Основні теореми теорії меж |  Еквівалентні нескінченно малі і нескінченно великі величини. |  поняття невизначеностей |  Приклад. |  Перший і другий чудовий межі |  БЕЗПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЙ І ТОЧКИ РОЗРИВУ |  Зазначимо основні властивості неперервних в точці функцій. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати