На головну

Дискретні випадкові величини.

  1.  В) неадаптовані, транзитні або випадкові (паразити не завершують цикл розвитку в організмі господаря, але мають високу патогенностью).
  2.  Питання 80. Поняття випадкової величини. Імовірність події. Математичне сподівання і дисперсія випадкової велечіни.
  3.  дискретні
  4.  Дискретні моделі в просторі стану
  5.  Дискретних ЗА ЧАСОМ ФУНКЦІЇ І різницевих рівнянь
  6.  Дискретні перетворення Лапласа
  7.  Дискретні випадкові величини

Для завдання дискретної випадкової величини потрібно знати її можливі значення і ймовірності, з якими приймаються ці значення. Відповідність між ними називається законом розподілувипадкової величини. Він може мати вигляд таблиці, формули або графіка.

Таблиця, в якій перераховані можливі значення дискретної випадкової величини і відповідні їм ймовірності, називається поруч розподілу:

xi x1 x2  ... xn  ...
pi p1 p2  ... pn  ...

Зауважимо, що подія, що полягає в тому, що випадкова величина прийме одне зі своїх можливих значень, є достовірним, тому

9. Функція розподілу. Її властивості.

Визначення 4.4. функцією розподілу F(x)випадкової величини Х називається ймовірність того, що випадкова величина набуде значення, меншого х:

F (x) = p (X ). (4.1)

Властивості функції розподілу.

1) 0 ? F(x) ? 1. Дійсно, так як функція розподілу є ймовірність, вона може приймати тільки ті значення, які приймає ймовірність.

2) Функція розподілу є неубивающей функцією, тобто F(x2) ? F(x1) при х2 > x1. Це випливає з того, що F(x2) = p(X 2) = p(X 1) + p(x1 ? X 2) ? F(x1).

3)  Зокрема, якщо всі можливі значення Х лежать на інтервалі [a, b], То F(x) = 0 при х ? а и F(x) = 1 при х ? b. дійсно, X - Подія неможливе, а X достовірне.

4) Імовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалу [a, b], Дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях інтервалу:

p ( a ) = F(b) - F(a).

Справедливість цього твердження випливає з визначення функції розподілу (див. Властивість 2).

Для дискретної випадкової величини значення F(x) В кожній точці є сумою ймовірностей тих її можливих значень, які менше аргументу функції.

10. біномінальної розподіл.

Біноміальний розподіл.

Повернемося до схеми незалежних випробувань і знайдемо закон розподілу випадкової величини Х - Числа появ події А в серії з п випробувань. Можливі значення А: 0, 1, ..., п. Відповідні їм ймовірності можна обчислити за формулою Бернуллі:

 (4.2)

( p - Ймовірність появи А в кожному випробуванні).

Такий закон розподілу називають біноміальним, Оскільки праву частину рівності (4.2) можна розглядати як загальний член розкладання бінома Ньютона:

Приклад. Складемо ряд розподілу випадкової величини Х - Числа влучень при 5 пострілах, якщо ймовірність попадання при одному пострілі дорівнює 0,8.

р(Х= 0) = 1 · (0,2)5 = 0,00032; р(Х =1) = 5 · 0,8 · (0,2)4 = 0,0064; р(Х= 2) = 10 · (0,8)2· (0,2)3 = 0,0512; р(Х= 3) = 10 · (0,8)3· (0,2)2 = 0,2048; р(Х= 4) = 5 · (0,8)4· 0,2 = 0,4096; р(Х= 5) = 1 · (0,8)5 = 0,32768. Таким чином, ряд розподілу має вигляд:

х
р  0.00032  0.0064  0.0512  0.2048  0.4096  0.32728

11. розподіл Пуассона.

Розглянемо дискретну випадкову величину Х, Приймаючу тільки цілі невід'ємні значення (0, 1, 2, ..., т, ...), Послідовність яких не обмежена. Така випадкова величина називається розподіленою за законом Пуассона, Якщо ймовірність того, що вона прийме значення т, Виражається формулою:

 , (4.3)

де  - Деяка позитивна величина, яка називається параметром закону Пуассона.

Покажемо, що сума всіх ймовірностей дорівнює 1:

(Використано розкладання в ряд Тейлора функції ех).

Розглянемо типову задачу, що приводить до розподілу Пуассона. Нехай на осі абсцис випадковим чином розподіляються точки, причому їх розподіл удовлет-Воря таким умовам:

1) ймовірність попадання деякої кількості точок на відрізок довжини l залежить тільки від довжини відрізка і не залежить від його розташування на осі (тобто точки розподілені з однаковою середньою щільністю);

2) точки розподіляються незалежно один від одного (ймовірність попадання будь-якого числа точок на даний відрізок не залежить від кількості точок, що потрапив на будь-який інший відрізок);

3) практична неможливість збігу двох або більше точок.

Тоді випадкова величина Х - Число точок, що потрапляють на відрізок довжини l - розпо-делена за законом Пуассона, де  - Середнє число точок, що припадає на відрізок довжини l.

12. функція розподілу і щільність розподілу неперервної випадкової величини. Їх взаємозв'язок і властивості.

Визначення та властивості функції розподілу зберігаються і для безперервної випадкової величини, для якої функцію розподілу можна вважати одним з видів завдання закону розподілу. Але для неперервної випадкової величини ймовірність кожного окремого її значення дорівнює 0. Це випливає з властивості 4 функції розподілу: р(Х = а) = F(a) - F(a) = 0. Тому для такої випадкової величини має сенс говорити тільки про ймовірність її попадання в певний інтервал.

Другим способом завдання закону розподілу неперервної випадкової величини є так звана щільність розподілу (щільність ймовірності, диференціальна функція).

Визначення. функція f(x), Звана щільністю розподілунеперервної випадкової величини, визначається за формулою:

f (x) = F '(x),

тобто є похідною функції розподілу.

Властивості щільності розподілу.

1) f(x) ? 0, так як функція розподілу є неубивающей.

2)  , Що випливає з визначення щільності розподілу.

3) Ймовірність влучення випадкової величини в інтервал (а, b) Визначається формулою  дійсно,

4)  (Умова нормування). Його справедливість випливає з того, що а

5)  так як  при

Таким чином, графік щільності розподілу являє собою криву, розташовану вище осі Прох, Причому ця вісь є її горизонтальної асимптотой при  (Останнє справедливо тільки для випадкових величин, безліччю можливих значень яких є все безліч дійсних чисел). Площа криволінійної трапеції, обмеженою графіком цієї функції, дорівнює одиниці.

Зауваження. Якщо всі можливі значення неперервної випадкової величини зосередитися-ни на інтервалі [a, b], То все інтеграли обчислюються в цих межах, а поза інтервалу [a, b] f(x) ? 0.

13. рівномірний закон розподілу ймовірностей.

Визначення. Закон розподілу неперервної випадкової величини називається рівномірним, Якщо на інтервалі, якому належать всі можливі значення випадкової величини, щільність розподілу зберігає постійне значення ( f(x) = Const при a ? x ? b, f(x) = 0 при x b.

Знайдемо значення, яке приймає f(x) при  З умови нормування слід, що

 звідки .

Ймовірність влучення рівномірно розподіленої випадкової величини на інтервал  дорівнює при цьому

Вид функції розподілу для нормального закону:

14. нормальний закон розподілу ймовірностей.

Визначення. Безперервна випадкова величина називається розподіленою по нормальному закону, Якщо її щільність розподілу має вигляд:

Зауваження. Таким чином, нормальний розподіл визначається двома параметрами: а и ?.

Графік щільності нормального розподілу називають нормальної кривої (кривої Гаусса). З'ясуємо, який вигляд має ця крива, для чого досліджуємо функцію f(x).

1) Область визначення цієї функції: (-?, + ?).

2) f(x)> 0 при будь-якому х (Отже, весь графік розташований вище осі Прох).

3)  тобто вісь Прох служить горизонтальної асимптотой графіка при

4)  при х = а;  при x> a,  при x . отже,  - Точка максимуму.

5) F(x - a) = f(a - x), Тобто графік симетричний відносно прямої х = а.

6)  при  , Тобто точки  є точками перегину.

Знайдемо вид функції розподілу для нормального закону:

Перед нами так званий «не береться» інтеграл, який неможливо виразити через елементарні функції. Тому для обчислення значень F(x) Доводиться користуватися таблицями. Вони складені для випадку, коли а = 0, а ? = 1.

Визначення. Нормальний розподіл з параметрами а = 0, ? = 1 називається нормованим, А його функція розподілу

15. показовий розподіл ймовірностей.

Визначення. Показовим (експоненціальним)називають розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини Х, Яке описується щільністю

На відміну від нормального розподілу, показовий закон визначається тільки одним параметром ?. У цьому його перевага, так як зазвичай параметри розподілу заздалегідь не відомі і їх доводиться оцінювати наближено. Зрозуміло, що оцінити один параметр простіше, ніж кілька.

Знайдемо функцію розподілу показового закону:

 отже,

Тепер можна знайти ймовірність попадання показово розподіленої випадкової величини в інтервал (а, b):

.

значення функції е можна знайти з таблиць.

16. математичне сподівання випадкової величини. Його властивості.

Визначення 5.1. математичним очікуваннямдискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень на їх імовірності.

Нехай випадкова величина  може приймати тільки значення  , Ймовірності яких відповідно рівні  . Тоді математичне очікування  випадкової величини  визначається рівністю

Зауваження. З визначення випливає, що математичне сподівання дискретної величини є невипадкова (постійна) випадкова величина.

Приклад 1. Знайти математичне сподівання випадкової величини  , Знаючи закон її розподілу

X
p  0,1  0,6  0,3

Рішення. Шукане математичне сподівання дорівнює сумі творів всіх можливих значень випадкової величини на їх ймовірності:

 Властивості математичного очікування

Властивість 1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійної

Властивість 2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування

17. Дисперсія випадкової величини. Його властивості.

Дисперсія випадкової величини - міра розкиду даної випадкової величини, тобто її відхилення від математичного очікування ... Квадратний корінь з дисперсії, рівний, називається середньоквадратичним відхиленням, стандартним відхиленням або стандартним розкидом. Стандартне відхилення вимірюється в тих же одиницях, що і сама випадкова величина, а дисперсія вимірюється в квадратах цієї одиниці виміру.

Нехай - випадкова величина, визначена на деякому імовірнісному просторі. тоді

де символ позначає математичне очікування

властивості

Дисперсія будь випадкової величини неотрицательна:

Якщо дисперсія випадкової величини конечна, то звичайно і її математичне сподівання;

Якщо випадкова величина дорівнює константі, то її дисперсія дорівнює нулю: Вірно і зворотнє: якщо то майже всюди;

Дисперсія суми двох випадкових величин дорівнює:

, Де - їх коваріація;

Для дисперсії довільної лінійної комбінації декількох випадкових величин має місце рівність:

, Де;

Зокрема, для будь-яких незалежних або некоррелірованних випадкових величин, так як їх коваріації дорівнюють нулю;

18. Генеральна сукупність і вибірка. Варіаційний ряд, статистичний ряд. Групувати вибірка. Групувати статистичний ряд.

Генеральна сукупність- Все безліч наявних об'єктів.

вибірка - Набір об'єктів, випадково відібраних з генеральної сукупності.

Обсяг генеральної сукупності N і обсяг вибірки n - Число об'єктів в розглянутій сукупності.

Види вибірки:

повторна - Кожен відібраний об'єкт перед вибором наступного повертається в генеральну сукупність;

бесповторная - Відібраний об'єкт в генеральну сукупність не повертається.

Зауваження. Для того, щоб по дослідженню вибірки можна було зробити висновки про поведінку, яка нас цікавить ознаки генеральної сукупності, потрібно, щоб вибірка правильно представляла пропорції генеральної сукупності, тобто була репрезентативною(Представницької).

Первинна обробка результатів.

Нехай нас цікавить випадкова величина Х приймає в вибірці значення х1 п1 раз, х2 - п2 раз, ..., хк - пк раз, причому  де п - Обсяг вибірки. Тоді спостережувані значення випадкової величини х1, х2, ..., хк називають варіантами, а п1, п2, ..., пк - частотами. Якщо розділити кожну частоту на обсяг вибірки, то отримаємо відносні частоти Послідовність варіант, записаних в порядку зростання, називають варіаційнимпоруч, а перелік варіант і відповідних їм частот або відносних частот - статистичним рядом:

19. Полігон частот. Вибіркова функція розподілу і гістограма.

Для наочного уявлення про поведінку досліджуваної випадкової величини у вибірці можна будувати різні графіки. Один з них - полігон частот: Ламана, відрізки якої з'єднують точки з координатами (x1, n1), (x2, n2), ..., (xk, nk), Де xi відкладаються на осі абсцис, а ni - На осі ординат. Якщо на осі ординат відкладати чи не абсолютні (ni), А відносні (wi) Частоти, то отримаємо полігон відносних частот

з функцією розподілу випадкової величини можна задати деяку функцію, відносну частоту події X

Визначення. Вибіркової (емпіричної) функцією розподілу називають функцію F * (x), Визначає для кожного значення х відносну частоту події X Таким чином,

,

де пх - Число варіант, менших х, п - Обсяг вибірки.

Зауваження. На відміну від емпіричної функції розподілу, знайденої досвідченим шляхом, функцію розподілу F(x) Генеральної сукупності називають теоретичної функцією розподілу. F(x) Визначає ймовірність події X , а F * (x) - Його відносну частоту. При досить великих п F * (x) Прагне за ймовірністю до F(x).

З визначення емпіричної функції розподілу видно, що її властивості збігаються з властивостями F(x), а саме:

1) 0 ? F * (x) ? 1.

2) F * (x) - Неубутна функція.

3) Якщо х1 - Найменша варіанта, то F * (x) = 0 при х? х1; якщо хк - Найбільша варіанта, то F * (x) = 1 при х > хк .

Для безперервного ознаки графічної ілюстрацією служить гістограма, Тобто ступінчаста фігура, що складається з прямокутників, підставами яких служать часткові інтервали довжиною h, А висотами - відрізки довжиною ni / h (Гістограма частот) або wi / h (Гістограма відносних частот). У першому випадку площа гістограми дорівнює обсягу вибірки, у другому - одиниці (рис.2).

Одне із завдань математичної статистики: за наявною вибірці оцінити значення числових характеристик досліджуваної випадкової величини.

Визначення. вибірковим середнімназивається середнє арифметичне значень випадкової величини, прийнятих в вибірці:

,

де xi - Варіанти, ni - Частоти.

Зауваження. Вибіркове середнє служить для оцінки математичного очікування досліджуваної випадкової величини. Надалі буде розглянуто питання, наскільки точною є така оцінка.

Визначення. вибіркової дисперсією називається

 , а вибірковим середнім квадратичним відхиленням-


Так само, як в теорії випадкових величин, можна довести, що справедлива наступна формула для обчислення вибіркової дисперсії:

.

20. Числові характеристики статистичного розподілу: вибіркове середнє, оцінки дисперсії.

Визначення. вибірковим середнімназивається середнє арифметичне значень випадкової величини, прийнятих в вибірці: ,

де xi - Варіанти, ni - Частоти.

Зауваження. Вибіркове середнє служить для оцінки математичного очікування досліджуваної випадкової величини. Надалі буде розглянуто питання, наскільки точною є така оцінка.

Визначення. вибіркової дисперсією називається

,

а вибірковим середнім квадратичним відхиленням-

Так само, як в теорії випадкових величин, можна довести, що справедлива наступна формула для обчислення вибіркової дисперсії:

.

21. Основні властивості статистичних характеристик параметрів розподілу: Незміщеність, спроможність, ефективність.

Отримавши статистичні оцінки параметрів розподілу (вибіркове середнє, вибіркову дисперсію і т. Д.), Потрібно переконатися, що вони в достатній мірі служать наближенням відповідних характеристик генеральної сукупності. Визначимо вимоги, які повинні при цьому виконуватися.

Визначення. Статистична оцінка ? * називається несмещенной, Якщо її математичне сподівання дорівнює оцінюваному параметру? при будь-якому обсязі вибірки:

М(? *) = ?. зміщеною називають оцінку, математичне очікування якої не дорівнює оцінюваному параметру.

Однак Незміщеність не є достатньою умовою хорошого наближення до істинного значення оцінюваного параметра. Якщо при цьому можливі значення ? * можуть значно відхилятися від середнього значення, тобто дисперсія ? * велика, то значення, знайдене за даними однієї вибірки, може значно відрізнятися від оцінюваного параметра. Отже, потрібно накласти обмеження на дисперсію.

Визначення. Статистична оцінка називається ефективної, Якщо вона при заданому обсязі вибірки п має найменшу можливу дисперсію.

При розгляді вибірок великого обсягу до статистичних оцінок пред'являється ще й вимога спроможності.

Визначення. заможної називається статистична оцінка, яка при п> ? прагне за ймовірністю до оцінюваного параметру (якщо ця оцінка несмещенная, то вона буде спроможною, якщо при п> ? її дисперсія прагне до 0).

Переконаємося, що  є несмещенную оцінку математичного очікування М(Х). розглядатимемо  як випадкову величину, а х1, х2, ..., хп, Тобто значення досліджуваної випадкової величини, що становлять вибірку, - як незалежні, однаково розподілені випадкові величини Х1, Х2, ..., Хп, Мають математичне сподівання а. З властивостей математичного очікування стала помітно меншою, що

Але, оскільки кожна з величин Х1, Х2, ..., Хп має таке ж розподіл, що і генеральна сукупність, а = М(Х), тобто М(  ) = М(Х), що й потрібно було довести. Вибіркове середнє є не тільки несмещенной, але і заможної оцінкою математичного очікування. Якщо припустити, що Х1, Х2, ..., Хп мають обмежені дисперсії, то їх середнє арифметичне, тобто  , При збільшенні п прагне за ймовірністю до математичного сподівання а кожної їх величин, тобто до М(Х). Отже, вибіркове середнє є заможна оцінка математичного очікування.

На відміну від вибіркового середнього, вибіркова дисперсія є зміщеною оцінкою дисперсії генеральної сукупності. Можна довести, що

 , де DГ - Справжнє значення дисперсії генеральної сукупності. Можна запропонувати іншу оцінку дисперсії - виправлену дисперсію s?, Яка обчислюється за формулою

 . Така оцінка буде несмещенной. їй відповідає виправлене середнє квадратичне відхилення

. Визначення. Оцінка деякої ознаки називається асимптотично несмещенной, Якщо для вибірки х1, х2, ..., хп

,

де Х - Справжнє значення досліджуваної величини.

22. Поняття статистичної гіпотези і статистичного критерію.

Визначення. статистичної гіпотезою називають гіпотезу про вид невідомого розподілу генеральної сукупності або про параметри відомих розподілів.

Визначення. Нульовий (основний) називають висунуту гіпотезу Н0. Конкуруючої (альтернативної)називають гіпотезу Н1, Яка суперечить нульовий.

Приклад. нехай Н0 полягає в тому, що математичне очікування генеральної сукупності а = 3. Тоді можливі варіанти Н1: А) а ? 3; б) а > 3; в) а <3.

Визначення. простий називають гіпотезу, яка містить лише одне припущення, складної - Гіпотезу, що складається з кінцевого або нескінченного числа простих гіпотез.

Приклад. Для показового розподілу гіпотеза Н0: ? = 2 - проста, Н0: ?> 2 - складна, що складається з нескінченного числа простих (виду ? = с, де с - Будь-яке число, більше 2).

В результаті перевірки правильності висунутої нульової гіпотези (така перевірка називається статистичної, Так як проводиться із застосуванням методів математичної статистики) можливі помилки двох видів: помилка першого роду, Яка полягає в тому, що буде відкинута правильна нульова гіпотеза, і помилка другого роду, Яка полягає в тому, що буде прийнята неправильна гіпотеза.

Визначення. Імовірність помилки першого роду називається рівнем значущості ?.

Основний прийом перевірки статистичних гіпотез полягає в тому, що за наявною вибірці обчислюється значення деякої випадкової величини, що має відомий закон розподілу.

Визначення.статистичним критерієм називається випадкова величина К з відомим законом розподілу, що служить для перевірки нульової гіпотези.

Визначення. критичною областю називають область значень критерію, при яких нульову гіпотезу відкидають, областю прийняття гіпотези - Область значень критерію, при яких гіпотезу приймають.

Отже, процес перевірки гіпотези складається з наступних етапів:

1) вибирається статистичний критерій К;

2) обчислюється його бачимо значення Кнабл за наявною вибірці;

3) оскільки закон розподілу К відомий, визначається (за відомим рівнем значущості ?) критичне значенняkкр, Що розділяє критичну область і область прийняття гіпотези (наприклад, якщо р(До> kкр) = ?, то праворуч від kкр розташовується критична область, а зліва - область прийняття гіпотези);

4) якщо обчислене значення Кнабл потрапляє в область прийняття гіпотези, то нульова гіпотеза приймається, якщо в критичну область - нульова гіпотеза відкидається.

Розрізняють різні види критичних областей:

- правостороннімкритичну область, яка визначається нерівністю K> kкр ( kкр > 0);

- лівосторонню критичну область, яка визначається нерівністю K кр ( kкр < 0);

- двосторонню критичну область, яка визначається нерівностями K 1, K> k2 (k2 > k1).

Визначення. потужністю критерію називають ймовірність попадання критерію в критичну область за умови, що вірна конкуруюча гіпотеза.

Якщо позначити ймовірність помилки другого роду (прийняття неправильної нульової гіпотези) ?, то потужність критерію дорівнює 1 - ?. Отже, чим більше потужність критерію, тим менше ймовірність зробити помилку другого роду. Тому після вибору рівня значущості слід будувати критичну область так, щоб потужність критерію була максимальною.

23. Критерій для перевірки гіпотези про ймовірність події

нехай проведено п незалежних випробувань (п - Досить велике число), в кожному з яких деяка подія А з'являється з однією і тією ж, але невідомої ймовірністю р, І знайдена відносна частота  появ А в цій серії випробувань. Перевіримо при заданому рівні значущості ? нульову гіпотезу Н0, Яка полягає в тому, що ймовірність р дорівнює деякому значенню р0.

Приймемо як статистичного критерію випадкову величину

,

має нормальний розподіл з параметрами M(U) = 0, ?(U) = 1 (тобто нормовану). тут q0 = 1 - p0. Висновок про нормальний розподіл критерію випливає з теореми Лапласа (при досить великому п відносну частоту можна наближено вважати нормально розподіленої з математичним очікуванням р і середнім квадратичним відхиленням  ).

Критична область будується в залежності від виду конкуруючої гіпотези.

1) Якщо Н0: р = р0, а Н1: р ? р0, То критичну область потрібно побудувати так, щоб ймовірність попадання критерію в цю область дорівнювала заданим рівнем значущості ?. При цьому найбільша потужність критерію досягається тоді, коли критична область складається з двох інтервалів, ймовірність попадання в кожен з яких дорівнює  . оскільки U симетрична щодо осі Проу, Ймовірність її попадання в інтервали (-?; 0) і (0; + ?) дорівнює 0,5, отже, критична область теж повинна бути симетрична щодо Проу. Тому икр визначається по таблиці значень функції Лапласа з умови  , А критична область має вигляд .

Далі потрібно обчислити спостережуване значення критерію:

.

якщо |Uнабл| < uкр, То нульова гіпотеза приймається.

якщо |Uнабл| > uкр, То нульова гіпотеза відкидається.

2) Якщо конкуруюча гіпотеза Н1: р> p0, То критична область визначається нерівністю U> uкр, Тобто є правобічної, причому р(U> uкр) = ?. тоді  . отже, икр можна знайти по таблиці значень функції Лапласа з умови, що  . Обчислимо спостережуване значення критерію.

якщо Uнабл < uкр, То нульова гіпотеза приймається.

якщо Uнабл > uкр, То нульова гіпотеза відкидається.

3) Для конкуруючої гіпотези Н1: р 0 критична область є лівосторонньої і задається нерівністю U <- uкр, де икр обчислюється так само, як в попередньому випадку.

якщо Uнабл > - uкр, То нульова гіпотеза приймається.

якщо Uнабл <- uкр, То нульова гіпотеза відкидається.

24. Критерій для перевірки гіпотези про математичне сподівання

Нехай генеральна сукупність Х має нормальний розподіл, і потрібно перевірити припущення про те, що її математичне сподівання дорівнює деякому числу а0. Розглянемо дві можливості.

1) Відома дисперсія ?2 генеральної сукупності. Тоді за вибіркою обсягу п знайдемо вибіркове середнє  і перевіримо нульову гіпотезу Н0: М(Х) = а0.

З огляду на, що вибіркове середнє  є несмещенной оцінкою М(Х), тобто М(  ) = М(Х), Можна записати нульову гіпотезу так: М(  ) = а0. Для її перевірки виберемо критерій

.

Це випадкова величина, що має нормальний розподіл, причому, якщо нульова гіпотеза справедлива, то М(U) = 0, ?(U) = 1.

Виберемо критичну область залежно від виду конкуруючої гіпотези:

- якщо Н1: М(  ) ? а0, то икр:  , Критична область двостороння,  , І, якщо |Uнабл| < uкр, То нульова гіпотеза приймається; якщо |Uнабл| > uкр, То нульова гіпотеза відкидається.

- якщо Н1: М(  )> а0, то икр:  , Критична область правостороння, і, якщо Uнабл < uкр, То нульова гіпотеза приймається; якщо Uнабл > uкр, То нульова гіпотеза відкидається.

- якщо Н1: М(  ) < а0, то икр:  , Критична область лівостороння, і, якщо Uнабл > - uкр, То нульова гіпотеза приймається; якщо Uнабл <- uкр, То нульова гіпотеза відкидається.

2) Дисперсія генеральної сукупності невідома.

В цьому випадку виберемо в якості критерію випадкову величину

 , де S - Виправлене середнє квадратичне відхилення. Така випадкова величина має розподіл Стьюдента з k = n - 1 ступенями свободи. Розглянемо ті ж, що і в попередньому випадку, конкуруючі гіпотези і відповідні їм критичні області. Попередньо обчислимо спостережуване значення критерію:

 . - якщо Н1: М(  ) ? а0, То критична точка tдвусто. кр. знаходиться по таблиці критичних точок розподілу Стьюдента по відомим ? і k = n - 1.

якщо | Tнабл | < tдвусто. кр., То нульова гіпотеза приймається.

якщо | Tнабл | > tдвусто. кр., То нульова гіпотеза відкидається.

- якщо Н1: М(  )> а0, То по відповідній таблиці знаходять tправост. кр.(?, k) - Критичну точку правобічної критичної області. Нульова гіпотеза приймається, якщо Tнабл < tправост. кр..

при конкуруючої гіпотезі Н1: М(  ) < а0 критична область є лівосторонній-ній, і нульова гіпотеза приймається за умови Tнабл > - tправост. кр.. якщо Tнабл <- tправост. кр.., Нульову гіпотезу відкидають.

25. Критерій для перевірки гіпотези про порівняння двох дисперсій.

Нехай є дві нормально розподілені генеральні сукупності Х и Y. З них витягнуті незалежні вибірки обсягів відповідно п1 и п2, За якими обчислені виправлені вибіркові дисперсії и  . Потрібно при заданому рівні значимості ? перевірити нульову гіпотезу Н0: D(X) = D(Y) Про рівність дисперсій розглянутих генеральнихсукупностей. З огляду на Незміщеність виправлених вибіркових дисперсій, можна записати нульову гіпотезу так:

Н0: М (  ) = М (  ).

Як критерій приймемо випадкову величину

-

- Відношення більшої вибіркової дисперсії до меншої. Вона має розподіл Фішера-Снедекора зі ступенями свободи k1 = n1 - 1 і k2 = n2 - 1, де п1 - Обсяг вибірки, по якій обчислена велика виправлена ??дисперсія, а п2 - Обсяг другої вибірки. Розглянемо два види конкуруючих гіпотез:

- нехай Н1: D(X)> D(Y). Спостережуваним значенням критерію буде ставлення більшої з виправлених дисперсій до меншої:  . По таблиці критичних точок розподілу Фішера-Снедекора можна знайти критичну точку Fнабл(?; k1; k2). при

Fнабл кр нульова гіпотеза приймається, при Fнабл > Fкр відкидається.

- якщо Н1: D(X) ? D(Y), То критична область є двосторонньою і визначається нерівностями F 1, F> F2, де р(F 1) = р( F> F2) = ? / 2. При цьому досить знайти праву критичну точку F2 = Fкр ( , k1, k2). тоді при Fнабл кр нульова гіпотеза приймається, при Fнабл > Fкр відкидається.

26. Критерій Пірсона для перевірки гіпотези про вид закону розподілу випадкової величини

1. Перевірка гіпотези про нормальний розподіл.

Нехай отримана вибірка досить великого обсягу п з великою кількістю різних значень варіант. Для зручності її обробки розділимо інтервал від найменшого до найбільшого з значень варіант на s рівних частин і будемо вважати, що значення варіант, які потрапили в кожен інтервал, наближено рівні числу, що задає середину інтервалу. Підрахувавши число варіант, що потрапили в кожний інтервал, складемо так звану сгруппированную вибірку: варіанти ...........х1 х2 ... хs частоти .............п1 п2 ... пs ,

де хi - Значення середин інтервалів, а пi - Число варіант, що потрапили в i-й інтервал (емпіричні частоти).

За отриманими даними можна обчислити вибіркове середнє  і вибіркове середнє квадратичне відхилення ?В. Перевіримо припущення, що генеральна сукупність розподілена за нормальним законом з параметрами M(X) = , D(X) =  . Тоді можна знайти кількість чисел з вибірки обсягу п, Яке повинно виявитися в кожному інтервалі при цьому припущенні (тобто теоретичні частоти). Для цього по таблиці значень функції Лапласа знайдемо ймовірність попадання в i-й інтервал: ,

де аi и bi - Межі i-го інтервалу. Помноживши отримані ймовірності на обсяг вибірки n, Знайдемо теоретичні частоти: пi = N · pi. наша мета - порівняти емпіричні та теоретичні частоти, які, звичайно, відрізняються один від одного, і з'ясувати, чи є ці відмінності несуттєвими, не спростовують гіпотезу про нормальний розподіл досліджуваної випадкової величини, або вони настільки великі, що суперечать цій гіпотезі. Для цього використовується критерій у вигляді випадкової величин .

Сенс її очевидний: підсумовуються частини, які є квадратами відхилень емпіричних частот від відповідних теоретичних частот. Можна довести, що незалежно від реального закону розподілу генеральної сукупності закон розподілу випадкової величини  при  прагне до закону розподілу  з числом ступенів свободи k = s - 1 - r, де r - Число параметрів передбачуваного розподілу, оцінених за даними вибірки. Нормальний розподіл характеризується двома параметрами, тому k = s - 3. Для обраного критерію будується правобічна критична область, яка визначається умовою

де ? - Рівень значущості. Отже, критична область задається нерівністю  а область прийняття гіпотези - .

Отже, для перевірки нульової гіпотези Н0: Генеральна сукупність розподілена нормально - потрібно обчислити по вибірці спостерігається значення критерію:

а по таблиці критичних точок розподілу ?2 знайти критичну точку  , Використовуючи відомі значення ? і k = s - 3. Якщо  - Нульову гіпотезу приймають, при  її відкидають.

2. Перевірка гіпотези про рівномірний розподіл.

При використанні критерію Пірсона для перевірки гіпотези про рівномірний розподіл генеральної сукупності з передбачуваної щільністю ймовірності

необхідно, обчисливши за наявною вибірці значення  , Оцінити параметри а и b за формулами:

де а * и b *  - оцінки а и b. Дійсно, для рівномірного розподілу ,

,

звідки можна отримати систему для визначення а * и b *: ,

рішенням якої є вираження.

Потім, припускаючи, що  , Можна знайти теоретичні частоти за формулами

тут s - Число інтервалів, на які розбита вибірка.

Спостережуване значення критерію Пірсона обчислюється за формулою (*), а критичне - по таблиці з урахуванням того, що число ступенів свободи k = s - 3. Після цього кордону критичної області визначаються так само, як і для перевірки гіпотези про нормальний розподіл.

3. Перевірка гіпотези про показовому розподілі.

У цьому випадку, розбивши наявну вибірку на рівні по довжині інтервали, розглянемо послідовність варіант  , Рівновіддалених один від одного (вважаємо, що всі варіанти, що потрапили в i - Й інтервал, приймають значення, що збігається з його серединою), і відповідних їм частот ni (Число варіант вибірки, що потрапили в i - Й інтервал). Обчислимо за цими даними  і приймемо в якості оцінки параметра ? величину  . Тоді теоретичні частоти обчислюються за формулою

Потім порівнюються спостерігається і критичне значення критерію Пірсона з урахуванням того, що число ступенів свободи k = s - 2.

27. Критерій Колмогорова.

Цей критерій застосовується для перевірки простої гіпотези Н0 про те, що незалежні однаково розподілені випадкові величини Х1, Х2, ..., Хп мають задану безперервну функцію розподілу F(x).

Знайдемо функцію емпіричного розподілу Fn(x) І будемо шукати кордону двосторонньої критичної області, яка визначається умовою

.

А. н. Колмогоров довів, що в разі справедливості гіпотези Н0 розподіл статистики Dn не залежить від функції F(x), і при

де -

- Критерій Колмогорова, значення якого можна знайти у відповідних таблицях. Критичне значення критерію ?п(?) Обчислюється за заданим рівнем значущості ? як корінь рівняння .

Можна показати, що наближене значення обчислюється за формулою

,

де z - корінь рівняння

На практиці для обчислення значення статистики Dn використовується формула

Можна дати наступне геометричне тлумачення критерію Колмогорова: якщо зобразити на площині Проху графіки функцій Fn(x), Fn(x) ± ?n(?), То гіпотеза Н0 вірна, якщо графік функції F(x) Не виходить за межі області, що лежить між графіками функцій Fn(x) -?n(?) і Fn(x) + ?n(?).

1 Класичне визначення ймовірності. Властивості ймовірності.

2 Геометрична ймовірність.

3 Теорема додавання ймовірностей. Протилежні події.

4 Теорема множення ймовірностей.

5 Формула повної ймовірності

6 Формула Байеса.

7 Схема повторення випробувань. Формула Бернуллі.

8 Поняття дискретної випадкової величини.

9 Функція розподілу. Її властивості.

10 біномінальної розподіл.

11 Розподіл Пуассона.

12 Функція розподілу і щільність розподілу неперервної випадкової величини. Їх взаємозв'язок і властивості.

13 Рівномірний закон розподілу ймовірностей.

14 Нормальний закон розподілу ймовірностей.

15 Показовий розподіл ймовірностей.

16 Математичне сподівання випадкової величини. Його властивості.

17 Дисперсія випадкової величини. Його властивості.

18 Генеральна сукупність і вибірка. Варіаційний ряд, статистичний ряд. Групувати вибірка. Групувати статистичний ряд.

19 Полігон частот. Вибіркова функція розподілу і гістограма.

20 Числові характеристики статистичного розподілу: вибіркове середнє, оцінки дисперсії.

21 Основні властивості статистичних характеристик параметрів розподілу: Незміщеність, спроможність, ефективність.

22 Поняття статистичної гіпотези і статистичного критерію.

23 Критерій для перевірки гіпотези про ймовірність події.

24 Критерій для перевірки гіпотези про математичне сподівання.

25 Критерій для перевірки гіпотези про порівняння двох дисперсій.

26 Критерій Пірсона для перевірки гіпотези про вид закону розподілу випадкової величини.

27 Критерій Колмогорова.

 



 Наближення Пуассона для схеми Бернуллі. |  Основні підходи до визначення поняття «культура».
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати