Головна

Рівняння динаміки і динамічні характеристики нелінійних (фрикційних) САУ 1 сторінка

  1.  1 сторінка
  2.  1 сторінка
  3.  1 сторінка
  4.  1 сторінка
  5.  1 сторінка
  6.  1 сторінка
  7.  1 сторінка

4.1 Складання рівнянь нелінійних систем

автоматичного регулювання

Нелінійної системою автоматичного регулювання називається така система, яка містить хоча б одна ланка, що описується нелінійним рівнянням. Перерахуємо види нелінійних ланок:

1) ланка релейного типу (рис. 1.12);

2) ланка з кусочно-лінійною характеристикою (рис. 1.10, д та ін.);

3) ланка з криволінійної характеристикою будь-якого обриси;

4) ланка, рівняння якого містить твір змінних або їх похідних та інші їх комбінації;

5) нелінійне ланка з запізненням, причому запізнювання розуміється в сенсі § 14.1, а нелінійність може мати будь-який вид;

6) нелінійне імпульсна ланка;

7) логічне ланка;

8) ланки, описувані кусочно-лінійними диференціальними рівняннями, в тому числі змінна структура.

Розрізняють статичні і динамічні нелінійності. Перші представляються у вигляді нелінійних статичних характеристик, а другі - у вигляді нелінійних диференціальних рівнянь.

Загальний метод складання рівнянь для нелінійних систем полягає в наступному. Спочатку за правилами § 3.1 як робилося в розділі 5, проводиться лінеаризація рівнянь всіх ланок системи, для яких це допустимо, крім істотно-нелінійних ланок (частіше, одного-двох). Потім складаються рівняння цих останніх ланок з усіма допустимими спрощеннями їх характеристик.

В результаті виходить система звичайних лінійних рівнянь, до яких додається одне-два (іноді більше) нелінійних. Відповідно до цього узагальнену структурну схему будь-нелінійної системи автоматичного регулювання в разі одного нелінійного ланки можна представити у вигляді рис. 16.1, а, Де лінійна частина може мати структуру будь-якої складності (із зворотними зв'язками і т.п. як наприклад на рис. 16.1, б або в). У разі двох нелінійних ланок можуть бути різні комбінації, в залежності від того, в які ланцюга вони входять (див., Наприклад, рис. 16.2).

Часто при дослідженні систем автоматичного регулювання вдається виділить нелінійність так, щоб вона описувалася безпосередньо залежністю між вихідний і вхідний величинами

 , (4.1)

яка може мати будь-яку форму (релейного типу, кусочно-лінійного або криволінійного). Але іноді, як буде показано в наступних параграфах, не вдається цього зробити, і доводиться досліджувати нелінійні диференціальні залежності виду

,  , (4.2)

,  і т.п. (4.3)

Зустрічаються і більш складні випадки, коли обидві величини (вхідний і вихідний) виявляються під знаком нелінійної функції окремо:

,  , (4.4)

або ж разом:

,  . (4.5)

Розділимо всі нелінійні системи регулювання на два великі класи.

1. До першого класу нелінійних систем віднесемо такі, в яких рівняння нелінійного ланки наводиться до будь-якого з видів (4.1) - (4.3), т. Е. Коли під знаком нелінійної функції варто тільки вхідні величина (і її похідні) або тільки вихідна величина (і її похідні). При цьому мається на увазі, що схема системи в цілому може бути приведена до вигляду рис. 16.1 з одним нелінійним ланкою. До цього класу зводиться, наприклад, також випадок з двома нелінійними ланками, вказаний на рис. 16.2, в, Так як там вони можуть бути об'єднані в одне нелінійне ланка. Сюди ж відноситься і випадок, показаний на рис. 16.2, г, Де є два нелінійних ланки (якщо їх рівняння містять під знаком нелінійності тільки вхідну величину  , Наприклад, виду (4.1) або (4.2)).

2. Другий клас нелінійних систем включає системи з будь-яким числом нелінійних ланок, коли під знаки нелінійних функцій входять різні змінні, пов'язані між собою лінійної передавальної функцією. Так буде в разі системи з одним нелінійним ланкою виду (4.4) або (4.5), а також в системі з двома нелінійними ланками (рис. 16.2, в або г), Якщо в першому з них під знак нелінійності входить вхідна величина, а в другому - вихідна. Система ж рис. 16.2, б відноситься до другого класу, якщо під знаки нелінійності входять в обох ланках або тільки вхідні, або тільки вихідні величини нелінійних ланок.

До другого класу нелінійних систем відносяться також системи з двома і більше нелинейностями, в рівняннях яких під знаки нелінійних функцій входять різні змінні, пов'язані між собою нелінійними диференціальними (т. е. пов'язані між собою через лінійні частини та нелінійні ланки). До таких систем відносяться, наприклад, система на рис. 16.2, а, Якщо в її рівняннях під знаками нелінійних функцій знаходяться вхідні (або вихідні) величини обох нелінійних ланок, і багато інших систем.

Системи з логічними пристроями відносяться, звичайно нелінійних систем другого класу.

Зауважимо, що у всіх випадках, коли під знак нелінійної функції входить будь-яка лінійна комбінація різних змінних, їх слід позначати однією буквою, а дану лінійну комбінацію врахувати при складанні рівняння лінійної частини системи. Це буває, наприклад, в тих випадках, коли на вхід нелінійного ланки подаються похідні або включається зворотна лінійна зв'язок. Так, якщо для рис. 16.1, б

,

то позначаючи

 , (4.6)

можна привести рівняння нелінійного ланки до виду (4.1).

З усіх рівнянь лінійних ланок, а також додаткових лінійних виразів типу (4.6), одержуваних при виділенні нелінійності, становить загальне рівняння лінійної частини системи

 , (4.7)

де и  - Операторні многочлени або передавальна функція лінійної частини системи

 . (4.8)

Складання рівнянь буде проілюстровано нижче на прикладах.

Процеси в нелінійних системах автоматичного регулювання мають цілий ряд дуже істотних особливостей, які не зустрічаються в лінійних системах.

Завдяки цим істотним особливостям питання про стійкість стає тут більш складним. Крім структури системи і значний її параметрів для стійкості того чи іншого усталеного процесу мають значення тут, на відміну від лінійних систем, також і -початкові умови. Можливий новий вид усталеного процесу - автоколебания, тобто стійкі власні коливання з постійною амплітудою при відсутності зовнішніх коливальних дій. Коли в системі виникають автоколивання, то сталий стан, відповідне постійному значенню регульованої величини, часто стає неможливим.

Отже, в загальному випадку на площині параметрів системи можуть бути не два види областей (стійкості і нестійкості), як в лінійних системах, а більше: 1) область стійкості рівноважного стану з постійним значенням регульованої величини; 2) область стійких автоколивань; 3) область нестійкості системи; 4) області, відповідні іншим, більш складних випадків.

Якщо процеси в системі мають вигляд, зазначений на рис. 16.3, а, То рівноважний стан (  ) Нестійкий. У цьому випадку, коли обидва зазначених на рис. 16.3, а коливання в перехідних процесах прагнуть до однієї і тієї ж амплітудою і до однієї і тієї ж частоті, система буде мати стійкі автоколиваннями з амплітудою а.

На рис. 16.3, б и в показані випадки, коли рівноважний стан (  ) Системи стійко «в малому», тобто при початкових умовах, що не виводять відхилення в перехідному процесі за певну величину а, І нестійкий «у великому», тобто при початкових умовах, які виводять відхилення в перехідному процесі за межі величини а. Тут граничним процесом є нестійкий періодичний процес власного руху системи з амплітудою а (Перехідні процеси розходяться від його в обидві сторони).

На рис. 16.3, г показаний випадок трьох можливих сталих станів: 1) рівноважний стан (  ); 2) коливання з постійною амплітудою  ; 3) коливання з постійною амплітудою  . При цьому коливання з амплітудою  нестійкі. В результаті система буде стійка «в малому» по відношенню до рівноважного стану  , А «у великому» система буде мати стійкі автоколиваннями в амплітудою .

Приклад. Для ілюстрації особливостей нелінійної системи досліджуємо перехідний процес і автоколивання в релейного системі автоматичного регулювання температури, зображеної на рис. 1.35. для цього складемо спочатку рівняння регульованого об'єкта і регулятора.

Нехай регульований об'єкт являє собою деяку камеру. З огляду на інерційність процесу нагрівання та охолодження, запишемо рівняння регульованого об'єкта у вигляді

 , (4.9)

де  - Відхилення температури;  - Відхилення регулюючого органу;  - Зовнішні обурення.

При відхиленні температури  з'являється струм в діагоналі моста того чи іншого напрямку (рис. 1.35) і замикається той чи інший контакт реле 3, Що включає постійну напругу в ту чи іншу обмотку збудження 4 електродвигуна 5. Прийнявши до уваги деяке відставання в цьому процесі включення, отримаємо релейний характеристику виду г Мал. 1.36. Далі, вважаючи, що струм  пропорційний відхиленню температури об'єкта  , А швидкість  відхилення регулюючого органу 6 пропорційна напрузі на обмотках збудження електродвигуна, можна в даному випадку вихідний величиною для зазначеної релейного характеристики вважати прямо  , А вхідний -  (Рис. 16.4, а).

Отже, рівняння регулятора запишеться тут наступним чином:

 (4.10)

 (4.11)

Розглянемо два довільних ділянки перехідного процесу (при  ) В даній системі (ділянки АВ и BD на рис. 16.4, б).

На ділянці АВ рівняння регулятора згідно рис. 16.4, в буде  . Диференціюючи (4.9) по  і підставляючи туди +с, Отримуємо при  наступне рівняння системи автоматичного регулювання на ділянці АВ:

 , (4.12)

а на ділянці BD

 . (4.13)

Рішення рівняння (4.12) буде

 , (4.14)

звідки отримуємо

 . (4.15)

Домовимося для простоти відраховувати час  від початку ділянки АВ (Рис. 16.5, а). Тоді початкові умови будуть

,  при ,

де  поки невідомо. Використовуючи початкові умови, знаходимо довільні постійні для рівняння (4.15):

,  . (4.16)

Аналогічно для ділянки BD згідно (4.13), відраховуючи час  теж від початку цієї ділянки (рис. 16.5, б), Отримаємо рішення

 (4.17)

Всі інші ділянки кривої перехідного процесу будуть визначатися, очевидно, такими ж рішеннями, але тільки з іншими значеннями величин , , , , ,  . Зауважимо, що величини и  , Необхідні для визначення довільних постійних, перебувають як значення  в кінці попередніх їм ділянок. Тому, якщо будуть задана величина  в початковій точці першої ділянки процесу, то все вищеописане рішення для перехідного процесу в системі стане певним. Такий метод вирішення задачі називається методом пріпасовиванія.

З'ясуємо тепер, чи можливі в даній системі автоколебания, т. Е. Стійке періодичне рішення. Для цього потрібно, очевидно, щоб в кінці D одного періоду коливань (рис. 16.4, б) Вийшли точно такі ж значення и  , Які були на початку його А. Легко помітити, що при цьому обидва напівперіоду (AB и BD) Повинні бути однаковими внаслідок симетрії характеристики (рис. 16.4, а). Тому для визначення автоколивань досить розглянути тільки одну ділянку АВ і вимагати, щоб

 . (4.18)

позначивши період шуканих автоколивань через 2Т, А тривалість ділянки АВ, Отже, через Т, З (4.14) знайдемо

.

Підставляючи сюди (4.18) і помічаючи, що з (4.16)  , Отримуємо вираз

 , (4.19)

яке містить дві невідомі: и Т. величину Т (Тривалість ділянки АВ) Можна виразити з (4.15), так як відомо, що в кінці ділянки  . З (4.15) і (4.16) при цьому знаходимо

.

Підставивши сюди значення  з (4.19), отримаємо рівняння для визначення періоду автоколивань:

 . (4.20)

Це трансцендентне рівняння для Т легко вирішується графічно (рис. 16.6) перетином двох кривих

и .

Якщо знайдено речовий позитивне значення для Т, То це свідчить про наявність періодичного рішення в даній системі. Щоб довести, що це відповідає автоколебаниям, потрібно досліджувати їх стійкість, т. Е. Показати, що в перехідному процесі система веде себе, як зображено на рис. 16.3, а, Але не так, як на рис. 16.3, б. Це буде показано нижче.

Амплітуда знайдених автоколивань визначається як  на ділянці АВ (Рис. 16.5, а) Шляхом дослідження функцій (4.15) на максимум звичайним шляхом.

Фазовий простір. Для наочного уявлення про складні нелінійних процесах регулювання часто вдаються до поняття фазового простору, яке полягає в наступним. Диференціальне рівняння замкнутої системи автоматичного регулювання п-го порядку можна перетворити до системи п диференціальних рівнянь першого порядку у вигляді

 (4.21)

з початковими умовами ,  , ...,  при  , де  - Змінні, які є шуканими функціями часу, причому  може позначати регульовану величину, а  - Допоміжні змінні; и  - Із рівноваги і задає впливу.

Нехай, наприклад, в рівняннях (4.21) буде п = 3 (система третього порядку). змінні  тут можуть мати будь-який фізичний зміст, але умовно їх можна уявити подумки, як прямокутні координати деякої точки М (Рис. 16.7, а).

У реальному процесі регулювання в кожен момент часу величини  мають цілком певні значення. Це відповідає цілком певному положенню точки М в просторі (рис. 16.7, а). З плином часу в реальному процесі величини  певним чином змінюються. Це відповідає певному переміщенню точки М в просторі по певній траєкторії. Отже, траєкторія руху точки М може слугувати наочною геометричною ілюстрацією динамічної поведінки системи в процесі регулювання.

Крапка М називається зображує точкою, Її траєкторія називається фазової траєкторією, А простір (  ) називається фазовим простором.

Так як похідні за часом від координат точки представляють проекції її швидкості  на осі координат, то диференціальні рівняння системи в формі (4.21) являють собою вираження для проекції швидкості  зображує точки М (Рис. 16.7, а) На осі координат. Отже, за значеннями правих частин рівнянь (4.21) в кожен момент часу можна судити про напрямок руху зображає точки М, А разом з тим і про поведінку відповідної реальної системи в процесі регулювання.

Початкові умови процесу регулювання (  ) Визначають координати початкової точки фазового траєкторії  (Рис. 16.7, а).

Якщо змінних в рівнянні (4.21) буде всього дві: и  (Система другого порядку), то зображає точка буде рухатися не в просторі, а на площині (фазова площина).

Якщо змінних буде будь-яке число п > 3 (система п-го порядку), то фазовий простір буде не тривимірним, а п-мірним.

Отже, фазовий простір і фазові траєкторії являють собою лише геометричний образ динамічних процесів, що протікають в системі. У цьому геометричному поданні беруть участь координати і виключено час. Фазова траєкторії сама по собі дає лише якісне уявлення про характер поведінки системи. Щоб визначити кількісно положення зображає точки, а значить, і стан системи в будь-який момент часу, потрібно знайти рішення заданих диференціальних рівнянь (4.21) в часі.

Якщо рівняння (4.21) складені в відхиленнях від встановленого стану, то останнім характеризується значеннями  . Отже, зображенням встановленої стану системи є початок координат фазового простору.

Звідси випливає, що фазові траєкторії стійкої лінійної системи будуть асимптотично наближатися до початку координат при необмеженому збільшенні часу. Фазові траєкторії нестійкою лінійної системи будуть необмежено віддалятися від початку координат.

Для нелінійної системи внаслідок ряду особливостей процесів, що відзначалися вище, фазові траєкторії можуть приймати найрізноманітніші обриси. Якщо є асимптотична стійкість для певного кола початкових умов, то все фазові траєкторії, які починаються всередині певної області  , Навколишнього початок координат фазового простору (рис. 16.7, б), Будуть асимптотично наближатися до початку координат. Якщо стійкість неасімптотіческая, то фазові траєкторії, що починаються всередині певної області  навколо початку координат фазового простору, можуть мати будь-які обриси, але не будуть виходить за межі певної певній галузі  , Навколишнього початок координат (рис. 16.7, б).

Формулювання поняття стійкості по Ляпунову.Невозмущенное рух (сталий процес) називається стійким, якщо при заданій як завгодно малої області  (Рис. 16.7, б) Можна знайти таку область  , Що при початкових умовах, розташованих усередині цієї області, збурений рух (перехідний процес) буде таким, що зображає точка не вийде з області  при будь-якому як завгодно великому значенні часу .

В аналітичній записи формулювання поняття стійкості по Ляпунову буде наступною. Невозмущенное рух (сталий процес) буде стійким, якщо при заданих позитивних як завгодно малих числах  можна знайти такі позитивні числа (  1, ..., п), Що при початкових умовах

 , (  1, ..., п) (4.22)

рішення диференціальних рівнянь обуреного руху (перехідного процесу) задовольняє нерівностям

 , (  1, ..., п)

при будь-яких скільки завгодно великих  , починаючи з .

Уявімо собі для цієї аналітичної записи геометричний образ в фазовому просторі. Очевидно, що при обмеженні початкових умов по кожній координаті нерівностями (4.22) виходить п-мірний паралелепіпед зі сторонами  , Всередині якої повинна лежати початкова точка фазового траєкторії  . На фазовій площині (п = 2) він звертається в прямокутник. Аналогічно і друге з написаних нерівностей геометрично означає, що фазові траєкторії не повинні виходити з паралелепіпеда зі сторонами .

У формулюванні Ляпунова міститься вимога як бажаною малості зазначених областей. Однак практично це визначення, також, як і теореми Ляпунова, які будуть приведені нижче, застосовується і тоді, коли ці області мають певні кінцеві розміри.

Фазові траєкторії для звичайних лінійних систем. Нехай перехідний процес в деякій системі описується рівнянням другого порядку

 . (4.23)

Введемо позначення для швидкості зміни відхилення регульованої величини  . Тоді рівняння системи (4.23) перетвориться до виду

 (4.24)



 Голосні і приголосні |  Рівняння динаміки і динамічні характеристики нелінійних (фрикційних) САУ 2 сторінка

 Рівняння динаміки і динамічні характеристики нелінійних (фрикційних) САУ 3 сторінка |  Рівняння динаміки і динамічні характеристики нелінійних (фрикційних) САУ 4 сторінка |  Рівняння динаміки і динамічні характеристики нелінійних (фрикційних) САУ 5 сторінка |  Рівняння динаміки і динамічні характеристики нелінійних (фрикційних) САУ 6 сторінка |  Рівняння динаміки і динамічні характеристики нелінійних (фрикційних) САУ 7 сторінка |  Рівняння динаміки і динамічні характеристики нелінійних (фрикційних) САУ 8 сторінка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати