Головна |
визначення 8.12. градієнтом функції в точці називається вектор з початком у точці М, що має своїми координатами значення приватних похідних функції z в точці М, т. е.
. | (8.15) |
Для позначення градієнта часто використовують символ . Напрямок градієнта функції в даній точці є напрям максимальної швидкості зростання функції в цій точці.
визначення 8.13. похідної функції в точці в напрямку вектора називається
. | (8.16) |
якщо функція дифференцируема, то похідна в даному напрямку обчислюється за формулою
, | (8.17) |
де a - Кут між вектором і віссю Ох .
Користуючись визначенням градієнта, формулу (7.17) для похідною в напрямі можна представити у вигляді скалярного твори:
(8.18)
де вектор - Орт вектора .
Т. е. похідна функції по даному напрямку дорівнює скалярному добутку градієнта функції на одиничний вектор цього напрямку.
похідна в напрямку градієнта має найбільше значення рівне
. | (8.19) |
Приклад 8.4. дана функція z = x2e y, крапка і вектор .
Знайти: 1) градієнт в точці A;
2) похідну в точці A у напрямку вектора .
Рішення.
1. Знайдемо приватні похідні функції z:
,
і обчислимо їх значення в точці А:
, .
отже, .
2. Знайдемо похідну по напрямку:
.
Відповідь: 1) ,
2) .
Приватні похідні вищих порядків. | Екстремуми функцій двох змінних
Область визначення функції двох змінних | Межа і неперервність функції двох змінних | Приватні похідні і повний диференціал функції двох змінних | Похідні складної функції | Похідні неявної функції | Дотична площину і нормаль до поверхні. | Подвійні інтеграли. | Властивості подвійного інтеграла. | Обчислення подвійного інтеграла. | Заміна змінних в подвійному інтегралі. |