Головна

Формула Стокса

  1.  А) за формулами Крамера, б) методом зворотної матриці, в) методом Гаусса, г) за допомогою пакета прикладних математичних програм MathCAD (Excel).
  2.  Асимптотична формула Пуассона. 1 сторінка
  3.  Асимптотична формула Пуассона. 2 сторінка
  4.  Асимптотична формула Пуассона. 3 сторінка
  5.  Асимптотична формула Пуассона. 4 сторінка
  6.  Асимптотична формула Пуассона. 5 сторінка
  7.  Асимптотична формула Пуассона. 6 сторінка

Теорема (Стокс). нехай  - Гладка орієнтована поверхню, а L - Замкнута гладка крива, яка є кордоном поверхні  . нехай n - Одинична нормаль до поверхні  , Що задає одну з її сторін. Нехай векторне поле F - Безперервно диференціюється на и L. тоді

 (5)

причому напрямок обходу контура L вибрано так, що при погляді з кінця вектора n воно відбувається проти годинникової стрілки.

Лівий інтеграл у формулі (5) являє собою циркуляцію векторного поля F уздовж контуру L, А правий - потік ротора цього поля через поверхню  . Тому формулу Стокса зручно записувати у векторній формі:

rot F · n (rot F)n ,

тобто потік ротора векторного поля F через орієнтовану поверхню  дорівнює циркуляції поля F уздовж контуру L цієї поверхні (прохідного в позитивному напрямку).

У разі, коли векторне поле F - Плоске, формула Стокса приймає вид формули Гріна:

.

Формулу Стокса застосовують для обчислення циркуляції векторного поля. Однак слід пам'ятати, що для того, щоб можна було застосувати формулу Стокса до контуру  , Необхідно, щоб область  , В якій лежить  була поверхнево однозв'язної.

область  називається поверхнево однозв'язної, Якщо для будь-якого замкнутого контуру  , Знайдеться поверхню  , Межею якого є контур L.

Приклад 1. Знайти циркуляцію плоского векторного поля F по замкнутій кривій L в позитивному напрямку:

а) F , L - Окружність, що задається рівнянням

;

б) F , L - Контур трикутника  , де , , .

Рішення. а) Запишемо параметричні рівняння кола: , ,  . знаходимо , .

Тоді циркуляція поля F вздовж кривої L буде дорівнює:

Ц

.

б) Перший спосіб.

контур L є об'єднання відрізків , и  . Тому циркуляція поля F вздовж кривої L буде дорівнює:

Ц .

Обчислимо кожен з інтегралів. уздовж відрізка  маємо  і, отже,  . отже,

.

уздовж відрізка  маємо и  . Тому

.

І вздовж відрізка  маємо и  . отже,

Таким чином, циркуляція поля F уздовж контуру L буде дорівнює: Ц

Другий спосіб.

Обчислимо циркуляцію, застосувавши формулу Гріна:

Ц ,

де областю D є трикутник  . У нашому випадку ,  . отже, ,  . Тоді циркуляція поля F уздовж контуру L буде дорівнює

Ц .

Приклад 2. Обчислити циркуляцію просторового векторного поля F i j k вздовж еліпса L, Що виходить перетином циліндра  з площиною  (При погляді з позитивного напрямку осі  обхід контуру L відбувається проти годинникової стрілки).

Перший спосіб.

Запишемо параметричні рівняння еліпса: , ,  . При зміні параметра  від  до  отримуємо потрібному напрямку обходу контуру L. Обчислимо тепер циркуляцію:

Ц

.

Другий спосіб.

Обчислимо циркуляцію, застосувавши формулу Стокса, причому в якості поверхні  , Що обмежується кривої L, Виберемо частина площині  , Що лежить всередині циліндра  . Одиничну нормаль до площини виберемо так, щоб, дивлячись з її кінця, напрямок обходу контура L проходило проти годинникової стрілки. Такий одиничної нормаллю буде вектор n . За формулу Стокса маємо:

Ц rot F · n

.

Обчислення останнього інтеграла зведемо обчислення подвійного інтеграла по області  , Що є проекцією поверхні  на площину  . Цією областю буде коло  . оскільки  , То остаточно отримуємо:

Ц = .

Контрольні питання:

  1. Дайте визначення роботи векторного поля F уздовж кривої L.
  2. Дайте визначення циркуляції векторного поля F уздовж кривої L.
  3. Наведіть формулу Стокса.
  4. Дайте визначення поверхнево однозв'язної області.

 Циркуляція векторного поля |  Потенційні і соленоідальной поля


 скалярний поле |  векторне поле |  градієнт |  Дивергенція і ротор векторного поля. оператор Гамільтона |  оператор Гамільтона |  Потік векторного поля |  Формула Гаусса-Остроградського |  Rot F i j k i j k 0. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати