Головна |
Теорема (Стокс). нехай - Гладка орієнтована поверхню, а L - Замкнута гладка крива, яка є кордоном поверхні . нехай n - Одинична нормаль до поверхні , Що задає одну з її сторін. Нехай векторне поле F - Безперервно диференціюється на и L. тоді
(5) |
причому напрямок обходу контура L вибрано так, що при погляді з кінця вектора n воно відбувається проти годинникової стрілки.
Лівий інтеграл у формулі (5) являє собою циркуляцію векторного поля F уздовж контуру L, А правий - потік ротора цього поля через поверхню . Тому формулу Стокса зручно записувати у векторній формі:
rot F · n (rot F)n ,
тобто потік ротора векторного поля F через орієнтовану поверхню дорівнює циркуляції поля F уздовж контуру L цієї поверхні (прохідного в позитивному напрямку).
У разі, коли векторне поле F - Плоске, формула Стокса приймає вид формули Гріна:
.
Формулу Стокса застосовують для обчислення циркуляції векторного поля. Однак слід пам'ятати, що для того, щоб можна було застосувати формулу Стокса до контуру , Необхідно, щоб область , В якій лежить була поверхнево однозв'язної.
область називається поверхнево однозв'язної, Якщо для будь-якого замкнутого контуру , Знайдеться поверхню , Межею якого є контур L.
Приклад 1. Знайти циркуляцію плоского векторного поля F по замкнутій кривій L в позитивному напрямку:
а) F , L - Окружність, що задається рівнянням
;
б) F , L - Контур трикутника , де , , .
Рішення. а) Запишемо параметричні рівняння кола: , , . знаходимо , .
Тоді циркуляція поля F вздовж кривої L буде дорівнює:
Ц
.
б) Перший спосіб.
контур L є об'єднання відрізків , и . Тому циркуляція поля F вздовж кривої L буде дорівнює:
Ц .
Обчислимо кожен з інтегралів. уздовж відрізка маємо і, отже, . отже,
.
уздовж відрізка маємо и . Тому
.
І вздовж відрізка маємо и . отже,
Таким чином, циркуляція поля F уздовж контуру L буде дорівнює: Ц
Другий спосіб.
Обчислимо циркуляцію, застосувавши формулу Гріна:
Ц ,
де областю D є трикутник . У нашому випадку , . отже, , . Тоді циркуляція поля F уздовж контуру L буде дорівнює
Ц .
Приклад 2. Обчислити циркуляцію просторового векторного поля F i j k вздовж еліпса L, Що виходить перетином циліндра з площиною (При погляді з позитивного напрямку осі обхід контуру L відбувається проти годинникової стрілки).
Перший спосіб.
Запишемо параметричні рівняння еліпса: , , . При зміні параметра від до отримуємо потрібному напрямку обходу контуру L. Обчислимо тепер циркуляцію:
Ц
.
Другий спосіб.
Обчислимо циркуляцію, застосувавши формулу Стокса, причому в якості поверхні , Що обмежується кривої L, Виберемо частина площині , Що лежить всередині циліндра . Одиничну нормаль до площини виберемо так, щоб, дивлячись з її кінця, напрямок обходу контура L проходило проти годинникової стрілки. Такий одиничної нормаллю буде вектор n . За формулу Стокса маємо:
Ц rot F · n
.
Обчислення останнього інтеграла зведемо обчислення подвійного інтеграла по області , Що є проекцією поверхні на площину . Цією областю буде коло . оскільки , То остаточно отримуємо:
Ц = .
Контрольні питання:
Циркуляція векторного поля | Потенційні і соленоідальной поля
скалярний поле | векторне поле | градієнт | Дивергенція і ротор векторного поля. оператор Гамільтона | оператор Гамільтона | Потік векторного поля | Формула Гаусса-Остроградського | Rot F i j k i j k 0. |