На головну

Безумовний мінімум функції кінцевого числа змінних

  1.  I Дійсні числа
  2.  I. дисфункції бюрократії як організації
  3.  I. Знайти межі функції.
  4.  II Етап. Графічне зображення ряду і емпіричної функції розподілу.
  5.  II. Обчислення похідних ФУНКЦІЇ одного аргументу
  6.  II. Дисфункції бюрократії як соціальної групи
  7.  II. Правило віднімаючи-я суми з числа.

Вступ

нехай - -мірним речовий евклидово простір, елементами якого є вектори  нехай на  задана функція  . Як завжди, через  позначимо значення функції  в точці .

Визначення 1. вектор  називається точкою безумовного глобального мінімуму функції  на  , Якщо для всіх  виконується нерівність

 . (1)

позначимо .

Для стислості будемо використовувати термін «Мінімум функції», Маючи на увазі точку мінімуму функції  на  . У літературі з математичного аналізу глобальний мінімум також називають абсолютним мінімумом.

завдання пошуку и  називається завданням безумовної мінімізації функції .

Поряд з поняттям мінімуму також існує поняття максимуму. Завдання максимізації функції  легко зводиться до задачі мінімізації:  . поняття «мінімум»І«максимум»Об'єднуються терміном«екстремум».

Визначення 2. вектор  називається точкою локального безумовного мінімуму функції  на  , Якщо нерівність (1) виконується для всіх  з деякою околиці точки .

Локальний мінімум також називають відносним мінімумом.

нехай функція  диференційована в точці . градієнт функції  в точці  (Тобто вектор  , Що складається з перших приватних похідних функції  ) Будемо позначати через .

Теорема 1. (Необхідна умова безумовного мінімуму першого порядку) нехай функція  визначена на і диференційована в точці . Тоді для того, щоб точка  була ло-

Кальний безумовним мінімумом функції  необхідно, щоб виконувалася рівність

 . (2)

Умова (2) можна записати покоординатно

як систему рівностей .

Визначення 3. вектор  називається стаціонарної точкою функції  , Що диференціюється в  , якщо .

Таким чином, стаціонарна точка - це рішення системи рівнянь

.

Точки локального мінімуму містяться серед стаціонарних точок функції. Однак не всяка стаціонарна точка є точкою мінімуму. Зокрема, точки локального максимуму і так звані сідлові точки також є стаціонарними. Серед стаціонарних точок можуть бути і точки, які не є точками екстремуму.

нехай функція двічі диференційовна в точці  . матриця

,

що складається з других приватних похідних функції , називається гессіаном (матрицею Гессе) функції в точці .

нехай  - Квадратна симетрична матриця. функція  називається квадратичною формою.

Визначення 4. Кажуть, що матриця неотрицательно визначена, якщо при всіх  , і позитивно визначена, якщо , , .

Аналогічно визначаються поняття непозитивним и негативно певних матриць.

Теорема 2. (Необхідна умова безумовного мінімуму другого порядку) нехай функція  визначена на  і двічі диференційована в точці  . Тоді для того, щоб точка  була локальним безумовним мінімумом функції  на

 , Необхідно, щоб матриця  була неотрицательно визначена.

Ця теорема дозволяє відсіяти ті з стаціонарних точок функції , Які не можуть бути точками мінімуму.

Теорема 3. (Достатня умова безумовного мінімуму другого порядку) нехай функція  визначена на  і двічі диференційована в стаціонарній точці  . Тоді для того, щоб  була локальним безумовним мінімумом, досить, щоб матриця  була позитивно визначена.

За допомогою цієї умови можна з стаціонарних точок, які пройшли через «сито» попередньої теореми, відібрати точки локального мінімуму. Решта точки, а також особливі точки функції, які разом зі стаціонарними точками об'єднуються терміном «Критичні» точки, вимагають додаткового дослідження. При цьому може знадобитися використання похідних вищого порядку.

 



 В якій трохи відкривається таємниця життя Сальватора |  Основні визначення
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати