Головна |
Власні вектори і власні значення матрицівектор називається власним вектором матриці , Якщо знайдеться таке число , що
число називається власним значенням матриці , Відповідним вектору . Рівність (1.6) можна записати в розгорнутому вигляді: . Звідки отримаємо або в матричному вигляді . Отримана система завжди має нульове рішення. Для існування ненульового рішення необхідно і достатньо, щоб визначник системи звертався в нуль:
визначник є многочленом -го ступеня. Він називається характеристичним многочленом матриці , А рівняння (1.7) - характеристичним рівнянням матриці . Теорема 6. Коріння характеристичного рівняння матриці (Якщо вони існують) і тільки вони є власними значеннями цієї матриці. Приклад 13. Знайти власні значення і власні вектори матриці: . Рішення. Складемо характеристичне рівняння або , звідки власні значення матриці : , . Знаходимо власний вектор , Що відповідає власному значенню . Для цього вирішуємо матричне рівняння: або , звідки , Тобто . поклавши , Ми отримаємо, що вектор при будь-якому є власним вектором матриці з власним значенням . Аналогічно, отримаємо, що вектор при будь-якому є власним вектором матриці з власним значенням .n приклад 14. Знайти власні значення і власні вектори матриці:
Рішення. Після перетворень (виконайте це самостійно) характеристичне рівняння набуде вигляду: . маємо далі , звідки , . Знайдемо власний вектор , Що відповідає власному значенню : Вирішуючи отриману систему методом Гаусса, отримаємо , де и довільні числа не рівні нулю одночасно. Аналогічно знаходимо, що при будь-якому є власний вектор матриці з власним значенням . Властивості рангу матриці | Завдання для самостійної роботи Частина 1. Лінійна алгебра | Лінійні операції над матрицями | множення матриць | Визначники | властивості визначників | Зворотні матриці | Системи лінійних алгебраїчних рівнянь | матричний метод | метод Гаусса | Ранг матриці | |