Головна

Власні вектори і власні значення матриці

  1.  Background-color - задає колір фону. За замовчуванням не успадковується, але його можна зробити спадкоємною, якщо в якості значення вказати значення inherit.
  2.  I Хімічні позначення
  3.  II. МАТРИЦІ
  4.  III. ВЕКТОРИ
  5.  III. Обчислити невласні інтеграли або довести їх розбіжність.
  6.  А) за формулами Крамера, б) методом зворотної матриці, в) методом Гаусса, г) за допомогою пакета прикладних математичних програм MathCAD (Excel).
  7.  А) Власні ОФ

вектор  називається власним вектором матриці  , Якщо знайдеться таке число  , що

 (1.6)

число  називається власним значенням матриці  , Відповідним вектору .

Рівність (1.6) можна записати в розгорнутому вигляді:

.

Звідки отримаємо

або в матричному вигляді

.

Отримана система завжди має нульове рішення. Для існування ненульового рішення необхідно і достатньо, щоб визначник системи звертався в нуль:

 (1.7)

визначник  є многочленом  -го ступеня. Він називається характеристичним многочленом матриці  , А рівняння (1.7) - характеристичним рівнянням матриці .

Теорема 6. Коріння характеристичного рівняння матриці  (Якщо вони існують) і тільки вони є власними значеннями цієї матриці.

Приклад 13. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

.

Рішення. Складемо характеристичне рівняння

 або ,

звідки власні значення матриці : , .

Знаходимо власний вектор  , Що відповідає власному значенню  . Для цього вирішуємо матричне рівняння:

 або ,

звідки  , Тобто  . поклавши  , Ми отримаємо, що вектор  при будь-якому  є власним вектором матриці  з власним значенням  . Аналогічно, отримаємо, що вектор  при будь-якому  є власним вектором матриці  з власним значенням  .n

приклад 14. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

Рішення. Після перетворень (виконайте це самостійно) характеристичне рівняння набуде вигляду:

.

маємо далі

,

звідки , .

Знайдемо власний вектор  , Що відповідає власному значенню :

Вирішуючи отриману систему методом Гаусса, отримаємо  , де и  довільні числа не рівні нулю одночасно.

Аналогічно знаходимо, що  при будь-якому  є власний вектор матриці  з власним значенням .

 Властивості рангу матриці |  Завдання для самостійної роботи


 Частина 1. Лінійна алгебра |  Лінійні операції над матрицями |  множення матриць |  Визначники |  властивості визначників |  Зворотні матриці |  Системи лінійних алгебраїчних рівнянь |  матричний метод |  метод Гаусса |  Ранг матриці |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати