На головну

 Чисельне рішення нелінійних рівнянь. |  Метод Гаусса. |  Порядок вирішення. |  Метод прогонки. |  Порядок вирішення. |  Метод простої ітерації (метод Якобі). |  Порядок вирішення. |  Метод Зейделя. |  Метод простої ітерації (метод Якобі) для систем нелінійних рівнянь. |  Метод Зейделя для систем нелінійних рівнянь. |

Метод Ньютона (метод дотичних).

  1.  I метод
  2.  I. ЗАГАЛЬНІ Методичні вказівки
  3.  I. Методичний інструментарій оцінки рівня ліквідності інвестицій забезпечує здійснення такої оцінки в абсолютних і відносних показниках.
  4.  I. Організаційно-методичний розділ
  5.  I. Статистичні методи побудови динамічних об'єктів технологічних процесів.
  6.  IDEF0-методологія моделювання бізнес-процесів
  7.  IDEF0-методологія моделювання бізнес-процесів

Суть методу полягає в тому, що на  -й ітерації в точці  будується дотична до кривої  і шукається точка перетину дотичної з віссю абсцис (рис. 1.6). Якщо заданий інтервал ізоляції кореня  , То за початкове наближення  приймається той кінець відрізка, на якому

. (1.1)

Рівняння дотичної, проведеної до кривої  в точці  з координатами и , має вигляд:

(1.2)

 Мал. 1.6. Метод дотичних.

За наступне наближення кореня приймемо абсциссу точки перетину дотичної з ocью OX. З (1.2) при ,  отримаємо

 (1.3)

При цьому необхідно, щоб .

Аналогічно можуть бути знайдені і наступні наближення як точки перетину з віссю абсцис дотичних, проведених в точках ,  і т.д. Формула для  -го наближення має вигляд:

 (1.4)

Для завершення ітераційного процесу можна використовувати умови  або .

Обсяг обчислень в методі Ньютона більше, ніж в інших методах, оскільки доводиться знаходити значення не тільки функції  , Але і її похідної. Однак швидкість збіжності тут значно вище.

Приклад 1.2. Вирішити рівняння  на відрізку  методом Ньютона c точністю .

Рішення. Визначимо похідні заданої функції : ;  . Перевіримо виконання умови збіжності на кінцях заданого інтервалу:  - не виконується,  - Виконується. За початкове наближення кореня можна прийняти .

Знаходимо перше наближення:

.

Аналогічно знаходиться друге наближення:

.

Третє наближення:

.

Так як  , Ітераційний процес закінчується. Таким чином, наближеним рішенням даного рівняння є .

На рис. 1.7 приведена програма вирішення даного рівняння методом Ньютона. В якості вихідних даних вводяться початкове наближення і точність обчислення.

   Початкові дані  результати
  A B C D
 x0 e x  F (x)
 0,001  0,682328  2,84E-10
 Function F (x) F = x ^ 3 + x - 1End FunctionFunction F1 (x) F1 = 3 * x ^ 2 + 1End FunctionSub program2 () x = Cells (2, 1) e = Cells (2, 2) 1 xk = x - F (x) / F1 (x) If Abs (xk - x)> = e Then x = xk: GoTo 1Cells (2, 3) = xkCells (2, 4) = F (xk) End Sub
 Мал. 1.7. Програма перебування коренів методом Ньютона на мові VBA.

Приклад 1.3. Вирішити рівняння  на відрізку  методом Ньютона c точністю  за допомогою програми Excel.

порядок вирішення (Рис. 1.8).

1) Ввести в осередку A1: D1 заголовки стовпців.

2) В осередок A2 - Значення початкового наближення

3) У осередок B3 - Формулу функції = A2 ^ 3 + A2-1

4) У осередок C3 - Формулу похідної функції = 3 * A2 ^ 2 + 1

5) В осередок A3 - Формулу першого наближення = A2-B3 / C3

6) У осередок D3 - похибка = ABS (A3-A2)

7) Виділити осередки A3: D3 і скопіювати формули в сусідні осередки розташованих нижче рядків A4: D4, A5: D5, і т.д. за допомогою маркера заповнення. Кожна нова рядок містить результати чергового наближення.

8) У стовпці A знайти значення кореня, відповідне заданої точності.

Наближене рішення даного рівняння  міститься в осередку A6 (похибка  в осередку D6).

  A B C D
x  F (x)  F '(x)  похибка
 1,00000      
 0,75000  1,00000  4,00000  0,25000
 0,68605  0,17188  2,68750  0,06395
 0,68234  0,00894  2,41198  0,00371
 0,68233  0,00003  2,39676  0,00001
 Мал. 1.8. Рішення рівняння методом Ньютона за допомогою програми Excel.

 



 Метод поділу відрізка навпіл. |  Метод простої ітерації.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати