Головна

метод сіток

  1.  I метод
  2.  I. ЗАГАЛЬНІ Методичні вказівки
  3.  I. Методичний інструментарій оцінки рівня ліквідності інвестицій забезпечує здійснення такої оцінки в абсолютних і відносних показниках.
  4.  I. Організаційно-методичний розділ
  5.  I. Статистичні методи побудови динамічних об'єктів технологічних процесів.
  6.  IDEF0-методологія моделювання бізнес-процесів
  7.  IDEF0-методологія моделювання бізнес-процесів

Нехай в обсязі  , Обмеженому замкнутою поверхнею  , Потрібно знайти рішення задачі Діріхле для рівняння Пуассона (рис. 4.46):

в  , (4.67)

 на  . (4.68)

Виберемо декартову систему координат і розіб'ємо обсяг  площинами, паралельними координатним площинам. на рівновеликі кубики з довжиною ребра  . Тоді певне число  вершин кубиків будуть всередині обсягу  , А решта число вершин кубиків потраплять на поверхню  (Можливо наближено).

Мал. 4.46. До постановки задачі Діріхле для рівняння Пуассона

Розглянемо одну з внутрішніх вершин (позначимо її буквою  ) І ще 6 сусідніх найближчих вершин (рис. 4.47). Ці 6 вершин позначимо цифрами 1, 2, ..., 6.

Мал. 4.47. До висновку розрахункової формули за методом сіток

Ці всі 6 вершин можуть бути внутрішніми, або деякі з цих 6 вершин можуть потрапити на поверхню .

Крайову задачу (4.67), (4.68) перепишемо в декартовій системі координат

в  , (4.69)

 на  . (4.70)

Знайдемо наближене значення другої похідної  . Для цього введемо допоміжні точки и  , Розташовані посередині відповідних відрізків (рис. 4.47). маємо:

, .

тоді

.
 або:

.

аналогічно:

,

.

Тому:

.

Звідси

 . (4.71)

Метод сіток заснований на використанні цієї рівності. Рівності (4.71) записуються для всіх внутрішніх вершин. Тим самим виходить  рівнянь. У формулах (4.71) в тих вершинах, які потраплять на поверхню  , Потенціал заданий. Тому в цих  рівняннях буде  невідомих. Таким чином, виходить система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), у якій число рівнянь дорівнює числу невідомих.

Вирішуючи цю СЛАР одним з відомих методів, знаходимо потенціали у внутрішніх вершинах. Ця СЛАР ефективно вирішується методом послідовних виправлень.

Сутність цього методу. Спочатку ставлять довільно або з будь-яких наближених міркувань потенціали у внутрішніх вершинах. Потім, використовуючи рівності (4.71), виправляють ці значення потенціалів у всіх внутрішніх вершинах. Отримаємо нові значення потенціалів. Далі, використовуючи (4.71), виправляємо вдруге потенціали у всіх внутрішніх вершинах. Таких виправлень досить зробити 3 ? 5, щоб отримати досить точний результат.

Таким методом, зокрема, може бути вирішена задача Діріхле для рівняння Лапласа. Тоді замість (4.71) будемо мати рівняння

 . (4.72)

Рівність (4.72) є наближеним виразом теореми про середню для гармонійних функцій.

При записи рівності (4.72) для всіх внутрішніх вершин СЛАР вийде неоднорідною, так як деякі k-і точки потрапляють на поверхню  , І потенціал в них  відомий.

Питання і завдання до лекції 27

286-1. Сформулюйте сутність методу дзеркальних відображень. На який теоремі він базується?

287-2. точковий заряд  знаходиться над проводять півпростором на відстані  від нього (рис. 4.48).

Знайдіть залежність поверхневої густини вільного заряду  на поверхні  проводить півпростору від відстані  до точки  , Що є проекцією точки розташування заряду на площину  . Діелектрична проникність діелектрика навколишнього заряд  дорівнює  . Знайдіть також залежність щільності пов'язаного заряду діелектрика на  від  , Тобто .

Мал. 4.48. Точковий заряд в однорідному діелектрику над проводять півпростором

288-3. точковий заряд  знаходиться в повітрі під проводять півпростором (рис. 4.49). Тіло несе цей заряд має масу  . Крім сили тяжіння до проводить півпростору, на заряд діє сила тяжіння Землі. при якому  настане рівновагу? Ця рівновага буде стійким або нестійким? Чи залежить відповідь від знака заряду?

Мал. 4.49. Точковий заряд під проводять півпростором

289-4. Два точкових заряди и  знаходяться над проводять півпростором на відстані  від нього (рис. 4.50). Відстань між зарядами  . Знайдіть  . Діелектрична проникність діелектрика, навколишнього заряди, .

Мал. 4.50. Два точкових заряди над проводять півпростором

290-5. Знайдіть и (  - Поверхнева щільність вільного заряду на поверхні проводить кулі ,  - Поверхнева щільність пов'язаного заряду на  ) (Рис. 4.51). задані , , ,  (Діелектрична проникність навколишнього проводить куля і точковий заряд  діелектрика). Сумарний заряд кулі .

Мал. 4.51. Точковий заряд в діелектрику поблизу проводить кулі

291-6. Паралельно нескінченно довгому проводить циліндру з зарядом  на одиницю довжини розташована прямолінійна нескінченно довга нитка з зарядом  на одиницю довжини (рис. 4.52). Діелектрична проникність навколишнього середовища  . радіус циліндра  , Відстань між ниткою і віссю циліндра  . Знайдіть поле  поза циліндра методом дзеркальних відображень.

Мал. 4.52. Заряджена нитка поблизу провідного циліндра

292-7. Виведіть СЛАР для вирішення задачі Діріхле для рівняння Пуассона і для рівняння Лапласа.

293-8. Виведіть СЛАР для вирішення задачі Діріхле для рівняння Пуассона в разі плоскопараллельного електростатичного поля  , Яке не залежить від координати  і в будь-якій точці перпендикулярно осі .

 II. Відображення в сфері |  Розділення змінних


 Теорема єдиності рішень рівнянь Максвелла |  Електростатика. Рівняння і граничні умови для електростатичного поля |  Постановка крайових задач електростатики |  теорема еквівалентності |  I. Відображення в площині |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати