Головна

II. Відображення в сфері

  1.  I. Відображення в площині
  2.  А) Безпека Республіки Білорусь в політичній сфері.
  3.  А) Повноваження федеральних органів державної влади в сфері охорони здоров'я
  4.  Адміністративно-правова охорона прав і свобод громадян у сфері державного управління (загальна характеристика).
  5.  Адміністративно-правові основи управління в сфері соціального захисту населення.
  6.  Арт-менеджмент в сфері соціально-культурної діяльності

Нехай є проводить кулю радіуса  і точковий заряд  (Рис. 4.44). Відстань між центром кулі  і точкою розташування точкового заряду  . заряд кулі  . Потрібно знайти електростатичне поле поза кулі. Усередині кулі поле  . Поза кулі діелектрична проникність середовища .

Мал. 4.44. Проводить куля в поле точкового заряду

При постановці еквівалентної задачі збережемо поле поза кулі. Для цього ми залишимо без зміни розташування точкового заряду (рис. 4.45).

Мал. 4.45. Еквівалентна задача задачі про провідному кулі в полі точкового заряду

Граничні умови на поверхні  проводить кулі, які необхідно виконати в еквівалентної задачі, такі:

 , (4.62)

 . (4.63)

Перша умова можна переписати так

.

Зажадаємо ще більш суворе гранична умова на  і спробуємо його виконати, і а саме:

.

Для виконання останнього граничної умови помістимо на відрізку, що з'єднує точку  і точку розташування точкового заряду, на відстані  від точки  точковий заряд  , причому  . Величину і конкретне розташування точкового заряду  визначимо з останнього граничного умови. Замість нього можна записати:

.

Звідси

.
 позначимо

.
 тут и  - Відстані від довільної точки  на поверхні  відповідно до точок розташування вихідного точкового заряду  і фіктивного точкового заряду  . Середовище в усьому просторі еквівалентної задачі має діелектричну проникність .

Отже, заряд  повинен бути поміщений в таку точку, щоб ставлення  не залежало від положення точки  на поверхні  . Отже, це відношення не повинно залежати від кута  (Ріс.4.45). але

.
 або:

;

.

Це рівність має виконуватися при будь-якому  , А так як константа и  - Лінійно незалежні функції, то повинні бути рівні нулю як коефіцієнт при  , Так і ця константа.

отже,

.

Звідси

.

Підставляючи у вираз для зазначеної константи замість  знайдене вираз і прирівнюючи константу до нуля, отримаємо:

.
 або

,

.

Так як  і, отже,  , то  . Звідси

 (4.64)

и

 . (4.65)

Точки розташування вихідного заряду  і фіктивного  називають взаємними або інверсними щодо сфери радіуса  . Про це свідчить рівність (4.64).

Підставами в вираз для  знайдене  (4.65):

.
 Звідси  і, отже,

 (4.66)

Отже, знайдені величина фіктивного заряду  (4.66) і його місце розташування  (4.65).

Так як  , То з виразу (4.64) випливає, що .

З формули (4.66) випливає, що заряд  протилежного знака в порівнянні з зарядом  . Крім того, з нерівності  і (4.66) випливає, що .

Для виконання граничної умови (4.63) помістимо в точку  еквівалентної задачі другий фіктивний заряд  . Очевидно, для того, щоб виконувалося гранична умова (4.63), він повинен бути знайдений з умови  , Тобто

.

Очевидно, приміщення фіктивного заряду  в зазначену точку не порушить виконання граничної умови (4.62). Зауважимо, що при  заряд .

 I. Відображення в площині |  метод сіток


 Теорема єдиності рішень рівнянь Максвелла |  Електростатика. Рівняння і граничні умови для електростатичного поля |  Постановка крайових задач електростатики |  теорема еквівалентності |  Розділення змінних |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати