Головна |
II. Відображення в сферіНехай є проводить кулю радіуса і точковий заряд (Рис. 4.44). Відстань між центром кулі і точкою розташування точкового заряду . заряд кулі . Потрібно знайти електростатичне поле поза кулі. Усередині кулі поле . Поза кулі діелектрична проникність середовища . Мал. 4.44. Проводить куля в поле точкового заряду При постановці еквівалентної задачі збережемо поле поза кулі. Для цього ми залишимо без зміни розташування точкового заряду (рис. 4.45). Мал. 4.45. Еквівалентна задача задачі про провідному кулі в полі точкового заряду Граничні умови на поверхні проводить кулі, які необхідно виконати в еквівалентної задачі, такі: , (4.62) . (4.63) Перша умова можна переписати так . Зажадаємо ще більш суворе гранична умова на і спробуємо його виконати, і а саме: . Для виконання останнього граничної умови помістимо на відрізку, що з'єднує точку і точку розташування точкового заряду, на відстані від точки точковий заряд , причому . Величину і конкретне розташування точкового заряду визначимо з останнього граничного умови. Замість нього можна записати: . Звідси . . Отже, заряд повинен бути поміщений в таку точку, щоб ставлення не залежало від положення точки на поверхні . Отже, це відношення не повинно залежати від кута (Ріс.4.45). але . ; . Це рівність має виконуватися при будь-якому , А так як константа и - Лінійно незалежні функції, то повинні бути рівні нулю як коефіцієнт при , Так і ця константа. отже, . Звідси . Підставляючи у вираз для зазначеної константи замість знайдене вираз і прирівнюючи константу до нуля, отримаємо: . , . Так як і, отже, , то . Звідси (4.64) и . (4.65) Точки розташування вихідного заряду і фіктивного називають взаємними або інверсними щодо сфери радіуса . Про це свідчить рівність (4.64). Підставами в вираз для знайдене (4.65): . (4.66) Отже, знайдені величина фіктивного заряду (4.66) і його місце розташування (4.65). Так як , То з виразу (4.64) випливає, що . З формули (4.66) випливає, що заряд протилежного знака в порівнянні з зарядом . Крім того, з нерівності і (4.66) випливає, що . Для виконання граничної умови (4.63) помістимо в точку еквівалентної задачі другий фіктивний заряд . Очевидно, для того, щоб виконувалося гранична умова (4.63), він повинен бути знайдений з умови , Тобто . Очевидно, приміщення фіктивного заряду в зазначену точку не порушить виконання граничної умови (4.62). Зауважимо, що при заряд . I. Відображення в площині | метод сіток Теорема єдиності рішень рівнянь Максвелла | Електростатика. Рівняння і граничні умови для електростатичного поля | Постановка крайових задач електростатики | теорема еквівалентності | Розділення змінних | |