Головна |
теорема еквівалентностіНехай поле створено деякою сукупністю зарядів (рис. 4.40). Мал. 4.40. Сукупність зарядів, що створюють електростатичне поле Розглянемо деяку замкнену поверхню . Припустимо, що заряди всередині відомі, а поза невідомі. Поставимо таке питання: чим можна замінити інформацію про зовнішні зарядах? Теорема еквівалентності (теорема єдиності рішення крайових задач електростатики) говорить, що інформація про заряди поза може бути замінена іншою еквівалентною інформацією, а саме, описом розподілу на
Отже, поле всередині області, обмеженої поверхнею , Однозначно визначено завданням зарядів всередині і розподілом потенціалу або його нормальної похідної на поверхні . Т. е. Потенціал поля всередині може бути знайдений як рішення однієї з наступних крайових задач
Доказ теореми еквівалентності ґрунтується на теоремах єдиності рішення задач Діріхле та Неймана для рівняння Пуассона. Т. е., Якщо буде доведено, що поле, яке визначається рішенням, наприклад, завдання Неймана для рівняння Пуассона, єдино, то тим самим буде доведено, що зазначена інформація на замінила інформацію про заряди. Аналогічно для задачі Діріхле для рівняння Пуассона. Доведемо єдність розв'язку задачі Діріхле для рівняння Пуассона. Припустимо гидке, а саме, що існують два різних рішення задачі и , Які відповідають умовам завдання. Утворити разностное скалярний поле . Тоді, очевидно, це поле буде відповідати умовам: всередині на . Таким чином, разностная функція гармонійна і вона дорівнює нулю на кордоні розглянутій області. По теоремі про максимумі і мінімумі для гармонійних функцій, вона дорівнює нулю і у всіх точках всередині , Т. Е. . Це протиріччя доводить єдність розв'язку задачі Діріхле для рівняння Пуассона. Для доказу єдиності завдання Неймана для рівняння Пуассона скористаємося першим тотожністю Гріна (1.31): . Також припустимо противне, а саме, що завдання має два різних рішення и , Які відповідають умовам завдання. Утворити разностную функцію . Вона, очевидно, задовольняє умовам: всередині на . У першому тотожність Гріна в якості функцій и візьмемо функцію . Тоді, очевидно, отримаємо . З останнього рівності випливає, що всередині . отже , Т. Е. . але . А це означає, що . Завдання має єдине рішення для напруженості електричного поля, що є визначальним, а потенціал є допоміжною функцією. Питання і завдання до лекції 26 281-1. Запишіть рівняння для електростатичного потенціалу для різних випадків. 282-2. Виведіть граничні умови для електростатичного потенціалу. 283-3. З яких етапів складається постановка крайової задачі? 284-4. Зробіть постановку крайової задачі для наступної фізичної завдання (рис. 4.41): Мал. 4.41. Діелектричне тіло в поле точкового заряду Геометрія, величина заряду і діелектрична проникність задані. 285-5. Сформулюйте і доведіть теорему еквівалентності. Постановка крайових задач електростатики | I. Відображення в площині Теорема єдиності рішень рівнянь Максвелла | Електростатика. Рівняння і граничні умови для електростатичного поля | II. Відображення в сфері | метод сіток | Розділення змінних | |