Головна |
Постановка крайових задач електростатикиУ конкретних задачах інформація про розподіл джерел поля (зарядів) рідко буває повною. Заряди, що створюють поле, зазвичай розподілені по поверхнях або обсягами матеріальних тіл, причому цей розподіл саме залежить від поля і тому невідомо. Однак знати розподіл зарядів не обов'язково. Можливо завдання інших умов, достатніх для визначення поля. Ці умови складають крайову задачу. Постановка крайової задачі складається з трьох етапів: 1. Раціональний вибір шуканої функції, яка описує електростатичне поле. 2. Запис диференціальних рівнянь для всіх областей, в яких поле невідомо. 3. Запис граничних умов на кордонах розділу областей (середовищ) і на нескінченності. Розглянемо приклади постановок крайових задач електростатики. Приклад 1. Поле двох заданих точкових зарядів и обурене проводять тілом, обмеженим замкнутою поверхнею (Рис. 4.38). Геометрія системи задана. Відомий також сумарний заряд провідного тіла . Потрібно знайти поле поза провідного тіла, тобто в обсязі . (В обсязі поле дорівнює нулю). Мал. 4.38. Провідне тіло в поле двох точкових зарядів Проведена фізична постановка задачі. Виконаємо математичну постановку задачі, тобто поставимо крайову задачу. Як шуканої функції візьмемо потенціал, але не результуючий потенціал, а різниця між результуючим потенціалом і потенціалом двох точкових зарядів : . Очевидно, потенціал легко обчислюється: , , (4.55) так як це потенціал зарядів, розподілених по поверхні провідного тіла. Граничні умови для на поверхні випливають з граничних умов на цій поверхні для результуючого потенціалу і вирази для потенціалу . , , (4.56) де - Точка на поверхні , и - Відстані від цієї точки відповідно до точок и розташування зарядів и . Друге граничну умову на висловлює заряд провідного тіла через значення нормальної похідної потенціалу на поверхні . По теоремі Гаусса: . , . остаточно: (4.57) Так як область йде в нескінченність, тобто кордоном області крім поверхні , Є нескінченність, то необхідно, взагалі кажучи, записати умова на нескінченності. Їм буде така умова: , (4.58) де - Відстань від точки О, Взятої де-небудь всередині системи, до точки М. Умови (4.55) - (4.58) складають крайову задачу, поставлену для даної фізичної задачі. Якщо умови (4.55) - (4.58) записані правильно, тобто відповідно до законів електродинаміки, то існування рішення задачі (4.55) - (4.58) не викликає сумніву. Однак єдність розв'язку крайової задачі в кожному конкретному випадку потребує доведення. Це не завжди просто. Неєдиний може виникнути через те, що умови крайової задачі є неповними. Приклад 2. Необхідно знайти електростатичне поле між двома замкнутими проводять оболонками и (Рис. 4.39). Між цими оболонками підтримується напруга . Обсяг між цими оболонками позначимо через . Мал. 4.39. Дві замкнуті проводять оболонки Приймемо потенціал другий оболонки рівним нулю (вибір точки нульового значення потенціалу): . (4.59) Тоді потенціал першої оболонки буде дорівнює : . (4.60) Так як середовище однорідна в обсязі , То: в . (4.61) Умови (4.59), (4.60), (4.61) складають крайову задачу для потенціалу . Це крайова задача Діріхле для рівняння Лапласа. Единственность її рішення доводиться в курсі методів математичної фізики. Електростатика. Рівняння і граничні умови для електростатичного поля | теорема еквівалентності Теорема єдиності рішень рівнянь Максвелла | I. Відображення в площині | II. Відображення в сфері | метод сіток | Розділення змінних | |