Головна

Постановка крайових задач електростатики

  1.  A) Сформулюйте задачу за критерієм «максимум прибутку», побудуйте модель і знайдіть рішення.
  2.  I. До чого прагне педагогіка, якою вона має бути і в чому її завдання?
  3.  I. Постановка питання
  4.  I. Постановка зігріваючого компресу
  5.  I. Мета та завдання дисципліни
  6.  I. Цілі і завдання дисципліни
  7.  I. Мета та завдання дисципліни, ЇЇ МІСЦЕ В НАВЧАЛЬНОМУ ПРОЦЕСІ.

У конкретних задачах інформація про розподіл джерел поля (зарядів) рідко буває повною. Заряди, що створюють поле, зазвичай розподілені по поверхнях або обсягами матеріальних тіл, причому цей розподіл саме залежить від поля і тому невідомо.

Однак знати розподіл зарядів не обов'язково. Можливо завдання інших умов, достатніх для визначення поля. Ці умови складають крайову задачу.

Постановка крайової задачі складається з трьох етапів:

1. Раціональний вибір шуканої функції, яка описує електростатичне поле.

2. Запис диференціальних рівнянь для всіх областей, в яких поле невідомо.

3. Запис граничних умов на кордонах розділу областей (середовищ) і на нескінченності.

Розглянемо приклади постановок крайових задач електростатики.

Приклад 1. Поле двох заданих точкових зарядів и  обурене проводять тілом, обмеженим замкнутою поверхнею  (Рис. 4.38). Геометрія системи задана. Відомий також сумарний заряд провідного тіла  . Потрібно знайти поле поза провідного тіла, тобто в обсязі  . (В обсязі  поле  дорівнює нулю).

Мал. 4.38. Провідне тіло в поле двох точкових зарядів

Проведена фізична постановка задачі. Виконаємо математичну постановку задачі, тобто поставимо крайову задачу.

Як шуканої функції візьмемо потенціал, але не результуючий потенціал, а різниця між результуючим потенціалом  і потенціалом двох точкових зарядів :

.

Очевидно, потенціал  легко обчислюється:

,
 де и  відстані від точки спостереження  відповідно до заряду  (точки  ) і  (точки  ). шукана функція  в обсязі  , Очевидно, задовольняє рівняння Лапласа

 , (4.55)

так як це потенціал зарядів, розподілених по поверхні  провідного тіла.

Граничні умови для  на поверхні  випливають з граничних умов на цій поверхні для результуючого потенціалу  і вирази для потенціалу .

,
 де С - Поки невідома константа. Тому:

 , (4.56)

де  - Точка на поверхні , и  - Відстані від цієї точки відповідно до точок и  розташування зарядів и .

Друге граничну умову на  висловлює заряд провідного тіла  через значення нормальної похідної потенціалу на поверхні  . По теоремі Гаусса:

.
 або

,
 де  - Зовнішня нормаль до поверхні  . або

.

остаточно:

 (4.57)

Так як область  йде в нескінченність, тобто кордоном області  крім поверхні  , Є нескінченність, то необхідно, взагалі кажучи, записати умова на нескінченності. Їм буде така умова:

 , (4.58)

де  - Відстань від точки О, Взятої де-небудь всередині системи, до точки М.

Умови (4.55) - (4.58) складають крайову задачу, поставлену для даної фізичної задачі.

Якщо умови (4.55) - (4.58) записані правильно, тобто відповідно до законів електродинаміки, то існування рішення задачі (4.55) - (4.58) не викликає сумніву.

Однак єдність розв'язку крайової задачі в кожному конкретному випадку потребує доведення. Це не завжди просто. Неєдиний може виникнути через те, що умови крайової задачі є неповними.

Приклад 2. Необхідно знайти електростатичне поле між двома замкнутими проводять оболонками и  (Рис. 4.39). Між цими оболонками підтримується напруга  . Обсяг між цими оболонками позначимо через .

Мал. 4.39. Дві замкнуті проводять оболонки

Приймемо потенціал другий оболонки рівним нулю (вибір точки нульового значення потенціалу):

 . (4.59)

Тоді потенціал першої оболонки буде дорівнює :

 . (4.60)

Так як середовище однорідна в обсязі  , То:

в  . (4.61)

Умови (4.59), (4.60), (4.61) складають крайову задачу для потенціалу  . Це крайова задача Діріхле для рівняння Лапласа. Единственность її рішення доводиться в курсі методів математичної фізики.

 Електростатика. Рівняння і граничні умови для електростатичного поля |  теорема еквівалентності


 Теорема єдиності рішень рівнянь Максвелла |  I. Відображення в площині |  II. Відображення в сфері |  метод сіток |  Розділення змінних |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати