Головна |
Теорема єдиності рішень рівнянь МаксвеллаРаніше ми встановили, що усереднені вектори електромагнітного поля в тих точках простору, де мають сенс перші похідні, задовольняють рівнянням , , , , , , . На кордонах розділу середовищ перші похідні втрачають сенс. Замість рівнянь Максвелла на поверхнях розділу були встановлені граничні умови. Часто цікавляться електромагнітним полем в обмеженому обсязі . Виникає питання, які умови треба задати на кордоні обсягу і початкові умови в обсязі , Щоб виписані рівняння Максвелла плюс ці умови визначили єдине поле в обсязі . На це питання відповідає теорема єдиності рішень рівнянь Максвелла: Якщо для заданого моменту відомі напруженість електричного і магнітного поля в будь-якій точці об'єму , Обмеженого замкнутою поверхнею , А також дотична компонента електричного або магнітного поля в кожній точці поверхні і в будь-який момент часу , починаючи з , То рівняння Максвелла плюс перераховані умови визначають єдине електромагнітне поле , . параметри середовища , , передбачаються незалежними від інтенсивності поля, т. е. не залежать від часу. Доведення. Припустимо, що існує два різних рішення: , (Одне рішення) і , . (Друге рішення), кожне з яких задовольняє сформульованим вище початковим і граничним умовам і рівнянням Максвелла. позначимо , . В силу лінійності системи рівнянь Максвелла разностное поле , задовольняє цій системі, т. е. Помножимо скалярно перше рівняння на , А друге - на і віднімемо з другого рівняння першого . (4.46) Ліва частина цієї рівності, в силу формули векторного аналізу (1.28), дорівнює . Далі маємо: . З огляду на це рівність (4.46) можна записати так . Проинтегрируем цей вислів за обсягом і скористаємося математичної теореми Гауса-Остроградського: . (або ), . Права частина цієї рівності , Т. Е. Невід'ємна. отже, не збільшується. Крім того, із загального вигляду ясно, що цей інтеграл . Крім того, в момент часу и , Т. Е. Цей інтеграл дорівнює нулю. функція , Що володіє цими трьома властивостями, очевидно, , . , , Питання і завдання до лекції 25 276-1. За досить довгому однорідному прямолінійним провіднику кругового перетину протікає постійний струм. Знайти теплові втрати за одиницю часу на ділянці одиничної довжини, якщо відома - Напруженість на поверхні проводу, - Питома провідність. 277-2. Сформулюйте теорему Умова-Пойнтінга для електромагнітного поля в середовищі в диференціальної формі. 278-3. Сформулюйте теорему Умова-Пойнтінга для електромагнітного поля в середовищі в інтегральної формі. Поясніть сенс кожного члена в цій теоремі. 279-4. За двухпроводной лінії тече постійний струм (Рис. 4.35). Приймач електроенергії знаходиться за перетином малюнка. Знайдіть напрямок вектора Пойтинга в точці М, Розташованої посередині між проводами. Мал. 4.35. Двухпроводная лінія постійного струму 280-5. Сформулюйте і доведіть теорему єдиності рішень рівнянь Максвелла для електромагнітного поля в середовищі. завдання 2 | Електростатика. Рівняння і граничні умови для електростатичного поля Постановка крайових задач електростатики | теорема еквівалентності | I. Відображення в площині | II. Відображення в сфері | метод сіток | Розділення змінних | |