Головна

Теорема єдиності рішень рівнянь Максвелла

  1.  Cуществованіе і єдиність подання (теорема Жегалкина)
  2.  I На шляху побудови єдиної теорії поля 6.1. Теорема Нетер і закони збереження
  3.  III. Система лінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку з постійними коефіцієнтами.
  4.  III. Системи звичайних диференціальних рівнянь.
  5.  S-m-n-теорема
  6.  а) Визначники 2-го, 3-го і п-го порядків (визначення і з св-ва). б) Теорема Лапласа про розкладанні визначника за елементами рядка або стовпчика.
  7.  Аксіома Парето про домінованих рішень.

Раніше ми встановили, що усереднені вектори електромагнітного поля в тих точках простору, де мають сенс перші похідні, задовольняють рівнянням

,

,

,

,

,

,

.

На кордонах розділу середовищ перші похідні втрачають сенс. Замість рівнянь Максвелла на поверхнях розділу були встановлені граничні умови.

Часто цікавляться електромагнітним полем в обмеженому обсязі  . Виникає питання, які умови треба задати на кордоні  обсягу  і початкові умови в обсязі  , Щоб виписані рівняння Максвелла плюс ці умови визначили єдине поле в обсязі .

На це питання відповідає теорема єдиності рішень рівнянь Максвелла:

Якщо для заданого моменту  відомі напруженість електричного і магнітного поля в будь-якій точці об'єму  , Обмеженого замкнутою поверхнею  , А також дотична компонента електричного  або магнітного поля  в кожній точці поверхні  і в будь-який момент часу  , починаючи з  , То рівняння Максвелла плюс перераховані умови визначають єдине електромагнітне поле ,  . параметри середовища , ,  передбачаються незалежними від інтенсивності поля, т. е. не залежать від часу.

Доведення. Припустимо, що існує два різних рішення: ,  (Одне рішення) і ,  . (Друге рішення), кожне з яких задовольняє сформульованим вище початковим і граничним умовам і рівнянням Максвелла. позначимо ,  . В силу лінійності системи рівнянь Максвелла разностное поле ,  задовольняє цій системі, т. е.

Помножимо скалярно перше рівняння на  , А друге - на  і віднімемо з другого рівняння першого

 . (4.46)

Ліва частина цієї рівності, в силу формули векторного аналізу (1.28), дорівнює  . Далі маємо:

.
 аналогічно  . далі .

З огляду на це рівність (4.46) можна записати так

.

Проинтегрируем цей вислів за обсягом  і скористаємося математичної теореми Гауса-Остроградського:

.
 Оскільки на поверхні

 (або  ),
 то на цій поверхні  (або  ), Тому  і останній інтеграл звертається в нуль. Отже:

.

Права частина цієї рівності  , Т. Е. Невід'ємна. отже,  не збільшується. Крім того, із загального вигляду ясно, що цей інтеграл  . Крім того, в момент часу и  , Т. Е. Цей інтеграл дорівнює нулю. функція  , Що володіє цими трьома властивостями, очевидно, , .

, ,
 т. е.  , і  - Рішення єдино.

Питання і завдання до лекції 25

276-1. За досить довгому однорідному прямолінійним провіднику кругового перетину протікає постійний струм. Знайти теплові втрати за одиницю часу на ділянці одиничної довжини, якщо відома  - Напруженість на поверхні проводу,  - Питома провідність.

277-2. Сформулюйте теорему Умова-Пойнтінга для електромагнітного поля в середовищі в диференціальної формі.

278-3. Сформулюйте теорему Умова-Пойнтінга для електромагнітного поля в середовищі в інтегральної формі. Поясніть сенс кожного члена в цій теоремі.

279-4. За двухпроводной лінії тече постійний струм  (Рис. 4.35). Приймач електроенергії знаходиться за перетином малюнка. Знайдіть напрямок вектора Пойтинга в точці М, Розташованої посередині між проводами.

Мал. 4.35. Двухпроводная лінія постійного струму

280-5. Сформулюйте і доведіть теорему єдиності рішень рівнянь Максвелла для електромагнітного поля в середовищі.

 завдання 2 |  Електростатика. Рівняння і граничні умови для електростатичного поля


 Постановка крайових задач електростатики |  теорема еквівалентності |  I. Відображення в площині |  II. Відображення в сфері |  метод сіток |  Розділення змінних |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати