На головну

 Закон Кулона. Напруженість електричного поля. теорема Гаусса |  Індукція магнітного поля. Закон повного струму для постійних в часі полів |  Закон збереження заряду. Принцип безперервності постійного електричного струму |  Закон повного струму для змінних в часі полів. Струм зміщення. Принцип безперервності електричного струму |  Закон електромагнітної індукції |  Принцип безперервності магнітного потоку |

Система рівнянь Максвелла в диференціальної формі

  1.  A) збігається решеточная система б) Взаємно протилежна решеточная
  2.  C4. Уміння працювати зі статистичними даними, представленими в табличній формі
  3.  Exercise 6. Завершіть пропозиції, вставивши необхідні за змістом слова у відповідній формі (одне слово використовується двічі). Переведіть пропозиції на російську мову.
  4.  I. Система граматичних часів в пасивному стані
  5.  II. Богословська система
  6.  II. Глобальна система.
  7.  II. Поселення в Іспанії. Взаємовідносини вестготів і римлян. Королівська влада. Система управління. Церковна політика.

Відповідно до теореми Стокса, ліву частину закону повного струму в інтегральній формі (2.28) можна записати так

.

Тому

 . (2.45)

тут  одна і та ж поверхню, натягнута на контур .

Оскільки рівність (2.45) справедливо для будь-якого замкнутого контуру  і для будь-якої поверхні  , Натягнутою на цей контур, то робимо висновок, що рівні подинтегрального вираження:

 . (2.46)

Це і є закон повного струму в диференціальної формі.

Аналогічно, записавши закон електромагнітної індукції (2.33) у вигляді


 і застосувавши до лівої частини теорему Стокса, отримаємо закон електромагнітної індукції в диференціальної формі:

 . (2.47)

Для отримання теореми Гаусса в диференціальної формі застосуємо до лівої частини теореми Гаусса в інтегральній формі (2.10) математичну теорему Гаусса - Остроградського (1.10):

.

Підставами цей вислів в (2.10). Тоді отримаємо:

.
 Тут в лівій і правій частинах  - Один і той же обсяг, обмежений замкнутою поверхнею .

Так як останнім рівність справедливо для будь-якого обсягу  , То звідси робимо висновок, що

 . (2.48)

Це і є теорема Гаусса в диференціальної формі.

Аналогічно може бути виведений принцип безперервності магнітного потоку в диференціальної формі:

 . (2.49)

Випишемо тепер систему рівнянь Максвелла для поля зарядів і струмів у вакуумі в диференціальної формі:

 Закон повного струму (2.46) ;
 Закон електромагнітної індукції (2.47) ;
 Принцип безперервності магнітного потоку (2.49) ;
 Теорема Гаусса (2.48) .

Із закону збереження заряду в інтегральній формі (2.21) за допомогою теореми Гаусса - Остроградського можна отримати закон збереження заряду в диференціальної формі.

Для цього запишемо (2.21) у вигляді

.

Застосовуючи до останнього рівняння теорему Гаусса - Остроградського, отримаємо:

 . (2.50)

Також з принципу безперервності електричного струму в інтегральній формі (2.31) за допомогою теореми Гаусса - Остроградського можна отримати принцип безперервності електричного струму в диференціальної формі:

 . (2.51)

Зауважимо, що принцип безперервності електричного струму (2.51) випливає із закону повного струму (2.46). Для цього необхідно взяти дивергенцію від лівої і правої частин (2.46) і врахувати, що

.

Закон збереження заряду (2.50) може бути отриманий із закону повного струму (2.46) і теореми Гаусса (2.48).

Насправді, якщо в принципі безперервності електричного струму (2.51), отриманому із закону повного струму (2.46), замість  записати  (Теорема Гаусса в диференціальної формі), то ми отримаємо (2.50).

Виправлення закону повного струму, яке було вироблено в інтегральної формі, можна зробити також в диференціальної формі.

До Максвелла:

 ; (2.52)


 і закон збереження заряду

.

Якщо взяти дивергенцію від лівої і правої частин (2.52), то

.

Спостерігається суперечність з законом збереження заряду. Виправимо закон повного струму

;

;

;

 . (2.53)

теорема Гаусса

.

Продифференцируем цей вислів по часу:

 . (2.54)

З (2.53) і (2.54) укладаємо

,
 і, отже, отримуємо формулу (2.46):

.

Тепер, якщо взяти дивергенцію від лівої і правої частин останнього рівняння і врахувати теорему Гаусса, то отримаємо закон збереження заряду. Тим самим протиріччя усунуто і отримано правильне вираз (2.46) для закону повного струму.

Питання і завдання до лекції 5

69-1. Сформулюйте принцип безперервності магнітного потоку в інтегральній формі.

70-2. Запишіть систему рівнянь Максвелла для поля зарядів і струмів у вакуумі в інтегральній формі.

71-3. Виведіть принцип безперервності електричного струму в інтегральній формі із закону повного струму в інтегральній формі.

72-4. Виходячи із закону повного струму в інтегральній формі і теореми Гаусса в інтегральній формі, виведіть закон збереження заряду в інтегральній формі.

73-5. Користуючись математичними теоремами Стокса і Гаусса-Остроградського, виведіть рівняння Максвелла в диференціальної формі з рівнянь Максвелла в інтегральній формі.

74-6. Запишіть систему рівнянь Максвелла для поля зарядів і струмів у вакуумі в диференціальної формі.

75-7. Користуючись математичними теоремами Стокса і Гаусса-Остроградського, виведіть рівняння Максвелла в інтегральній формі з рівнянь Максвелла в диференціальної формі.

76-8. Виведіть принцип безперервності електричного струму в диференціальної формі з системи рівнянь Максвелла в диференціальної формі.

77-9. Те ж для закону збереження заряду.

78-10. Виходячи з принципу безперервності магнітного потоку, сформулювати перший закон Кірхгофа для вузла магнітного ланцюга (рис. 2.38).

Мал. 2.38. До висновку першого закону Кірхгофа для вузла магнітного ланцюга

 



 Система рівнянь Максвелла в інтегральній формі |  Закон збереження енергії в електродинаміки. Вектор Умова-Пойнтінга
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати