Головна |
Теорема множення ймовірностей.введемо поняття умовної ймовірності (В класичній схемі): P {A} = NA/ N - (безумовна) ймовірність події А, де N - загальне число рівно можливих фіналів досвіду, а NA - Число випадків, благо-пріятствующіх появи події А. Визначення.P {AB} = NAB/ NB - Умовна ймовірність події А за умови події B. Сенс умовної ймовірності: звуження простору всіх результатів до числа випадків, що сприяють появі умови. Теорема множення для двох довільних подій має вигляд: P {AB} = P {A} P {B / A} = P {B} P {A / B}. (12) Доведення. У класичній схемі P {AB} = NAB/ N = (NAB/ N) (NA/ NA) = P {A} P {B / A} або аналогічно P {AB} = (NAB/ N) (NB/ NB) = P {B} P {A / B}, що і стверджувалося. (Звідси випливає, що P {A / B} = P {AB} / P {B} - формула, що виражає умовну ймовірність через безумовні.) Довести, що = P {A1} P {A2A1} P {A3/ A1A2} ... P {An/ A1... An-1}. (13) Доведення.Формула (13) доводиться по індукції. При n = 3 встановимо з (12): P {ABC} = P {AB} P {C / AB} = P {A} P {B / A} P {C / AB}. Нехай (13) вірна для (n -1) подій, тоді по (12) , Звідки слід (13). Дамо тепер визначення незалежності подій парної і в сукупність-ності. Визначення парної незалежності. Події A і B незалежні, якщо виконано одну з співвідношень: P {A / B} = P {A}; P {B / A} = P {B}; P {AB} = P {A} P {B}. (14) Зауваження 1. а) Рівності (14) є три еквівалентних визначення парної незалежно-сті. б) Перші два рівності показують, що поняття парної незалежності симетричне (взаємне). в) Третє рівність є приватний вид теореми множення для двох незалежних подій. Причому всі співвідношення (14) виконуються або не виконуються одно-тимчасово. Визначення незалежності подій у сукупності.події A1, ..., An незалежні в сукупності, якщо для будь-якої підмножини цієї множини подій його ймовірність дорівнює добутку ймовірностей, що входять в нього подій. Зауваження 2. У разі n незалежних в сукупності подій теорема множення має приватний вид: . Зауваження 3. Наведене визначення незалежності в сукупності пояснюється тим, що можна навести приклад, коли для підмножини подій ймовірність їх твори не збігається з твором ймовірностей цих подій, в той час як для безлічі n подій . Завдання. Є 8 карток, на яких відповідно стоять літери: a, ab, ac, bc, bc, abc та 2 порожніх. Навмання вибирається одна картка. Будемо вважати, що відбуваються події A, B і C, коли відповідно на обраній картці є літери a, b, c. тоді P {A} = P {B} = P {C} = 1/2; P {AB} = P {AC} = 1/4; P {BC} = 3/8; P {ABC} = 1/8. Виявляється, що P {ABC} = P {A} P {B} P {C} = 1/8; P {AB} = P {A} P {B} = 1/4; P {AC} = P {A} P {C} = 1/4, а P {BC} = 3/8 ? ? P {B} P {C} = 1/4. З даних визначень видно, що парна незалежність випливає з незалежності в сукупності. Зворотне невірно. Наведемо приклади цього в нижче наступних завданнях 7, 8 і 9, перевіряючи парну і сукупну незалежність даних тут подій. 7. Завдання Бернштейна. На площину кидають тетраедр межі якого (правильні трикутники) пофарбовані так: одна грань в червоний, інша - в білий, третя в - чорний колір, а четверта - ділянками в червоний, білий і чорний кольори. Результатом досвіду вважаємо подія, пов'язана з нижньої випала гранню. Нехай події A, B і C складаються відповідно в наявності червоного, білого і чорного кольору на випала межі. Дослідити характер незалежності подій A, B і C. Рішення. P {A} = P {B} = P {C} = 1/2; P {AB} = P {AC} = P {BC} = 1/4; P {ABC} = 1/4 ? P {A} P {B} P {C} = 1/8. Тому події A, B і C попарно незалежні, але залежні в сово-купности. У таких завданнях 8 і 9 самостійно досліджувати незалежність подій A, B і C. 8. Кидають 2 монети. Подія А - випадання герба на першій монеті, подія B - випадання герба на другий монеті, подія С - випадання на монетах однакових граней (межі монети: герб і решка). 9. В умовах задачі 8 події A, B ті ж, а C - випадання на монетах разнихграней. 10. Довести, що, якщо події A і B, A і C незалежні і BC - порожня множина V, то події A і B + C незалежні. Доведення. P {A (B + C)} = P {AB} + P {AC} - P {ABC} = P {AB} + + P {AC} = P {A} P {B} + P {A} P {C} = P {A} (P {B} + P {C}) = = P {A} P {B + C}, що і стверджувалося. Зауваження. У задачі 10 умова BC = V при незалежність пар подій А і В, А і С є достатнім, але не необхідним для незалежних подій А і (В + С). Наведемо приклад - це нижче наступне завдання 11. 11. З колоди гральних карт (52 карти) навмання вибирають одну карту. Подія А - це карта - туз, В - це карта Червової масті, С - це карта червоної масті. Перевірити виконання умов завдання 10. Рішення. P {A} = 1/13; P {B} = 1/4; P {C} = 1/2; P {A / B} = 1/13; P {A / C} = 1/13; P {B + C} = P {C} = 1/2; P {A / (B + C)} = 1/13, тому події А і В, А і С, А і (В + С) незалежні в той час як BC ? V. 12. Довести, що якщо події A і B, A і C незалежні, то незалежні події A і (B + C) тоді і тільки тоді, коли незалежні події A і BC. Доведення. Нехай спочатку події A і B, A і C, A і BC незалежні, тоді доведемо незалежність подій A і (B + C): P {A (B + C)} = P {AB} + P {AC} - P {ABC} = P {A} P {B + C}, що і утверж-далося. (Достатність) Нехай тепер події A і B, A і C, A і (B + C) незалежні, тоді доведемо незалежність подій A і BC: P {ABC} = - P {A (B + C} + P {AB} + P {AC} = P {A} (- P {B + C} + P {B} + + P {C}) = P {A} P {BC}, що і стверджувалося. (Необхідність) 13. Під час вилучення навмання однієї гральної карти з 52 провести класифікацію подій А і В за ознаками спільності (несумісний-ності) і залежності (незалежності) у випадках: а) А - витяг туза, В - витяг червоною карти; б) А - витяг червоного туза, В - витяг червоною карти. Теорема додавання ймовірностей | Рішення. Вступ. Операції над подіями | Операції над подіями | Рішення. | Рішення. | Комбінаторний сенс сполучень | А. 1-я інтерпретація | Б. 2-я інтерпретація | Схема поєднань з повтореннями (с. С. П.) | Зв'язок схем вибору і розміщення. | Класичне визначення ймовірності. | |