Головна

Теорема множення ймовірностей.

  1.  Cуществованіе і єдиність подання (теорема Жегалкина)
  2.  I На шляху побудови єдиної теорії поля 6.1. Теорема Нетер і закони збереження
  3.  S-m-n-теорема
  4.  а) Визначники 2-го, 3-го і п-го порядків (визначення і з св-ва). б) Теорема Лапласа про розкладанні визначника за елементами рядка або стовпчика.
  5.  Алгоритм письмового множення.
  6.  Базис булевих функцій. теорема Поста
  7.  Базис булевих функцій. теорема Поста

введемо поняття умовної ймовірності (В класичній схемі):

P {A} = NA/ N - (безумовна) ймовірність події А, де N - загальне число рівно можливих фіналів досвіду, а NA - Число випадків, благо-пріятствующіх появи події А.

Визначення.P {AB} = NAB/ NB - Умовна ймовірність події А за умови події B.

Сенс умовної ймовірності: звуження простору всіх результатів до числа випадків, що сприяють появі умови.

Теорема множення для двох довільних подій має вигляд:

P {AB} = P {A} P {B / A} = P {B} P {A / B}. (12)

Доведення. У класичній схемі

P {AB} = NAB/ N = (NAB/ N) (NA/ NA) = P {A} P {B / A} або аналогічно P {AB} = (NAB/ N) (NB/ NB) = P {B} P {A / B}, що і стверджувалося.

(Звідси випливає, що P {A / B} = P {AB} / P {B} - формула, що виражає умовну ймовірність через безумовні.)

Довести, що

 = P {A1} P {A2A1} P {A3/ A1A2} ... P {An/ A1... An-1}. (13)

Доведення.Формула (13) доводиться по індукції. При n = 3 встановимо з (12):

P {ABC} = P {AB} P {C / AB} = P {A} P {B / A} P {C / AB}.

Нехай (13) вірна для (n -1) подій, тоді по (12)  , Звідки слід (13).

Дамо тепер визначення незалежності подій парної і в сукупність-ності.

Визначення парної незалежності. Події A і B незалежні, якщо виконано одну з співвідношень:

P {A / B} = P {A}; P {B / A} = P {B}; P {AB} = P {A} P {B}. (14) Зауваження 1.

а) Рівності (14) є три еквівалентних визначення парної незалежно-сті.

б) Перші два рівності показують, що поняття парної незалежності симетричне (взаємне).

в) Третє рівність є приватний вид теореми множення для двох незалежних подій.

Причому всі співвідношення (14) виконуються або не виконуються одно-тимчасово.

Визначення незалежності подій у сукупності.події A1, ..., An незалежні в сукупності, якщо для будь-якої підмножини цієї множини подій його ймовірність дорівнює добутку ймовірностей, що входять в нього подій.

Зауваження 2. У разі n незалежних в сукупності подій теорема множення має приватний вид:

.

Зауваження 3. Наведене визначення незалежності в сукупності пояснюється тим, що можна навести приклад, коли для підмножини подій ймовірність їх твори не збігається з твором ймовірностей цих подій, в той час як для безлічі n подій .

Завдання. Є 8 карток, на яких відповідно стоять літери: a, ab, ac, bc, bc, abc та 2 порожніх. Навмання вибирається одна картка. Будемо вважати, що відбуваються події A, B і C, коли відповідно на обраній картці є літери a, b, c. тоді

P {A} = P {B} = P {C} = 1/2; P {AB} = P {AC} = 1/4; P {BC} = 3/8; P {ABC} = 1/8. Виявляється, що P {ABC} = P {A} P {B} P {C} = 1/8; P {AB} = P {A} P {B} = 1/4; P {AC} = P {A} P {C} = 1/4, а P {BC} = 3/8 ? ? P {B} P {C} = 1/4.

З даних визначень видно, що парна незалежність випливає з незалежності в сукупності. Зворотне невірно.

Наведемо приклади цього в нижче наступних завданнях 7, 8 і 9, перевіряючи парну і сукупну незалежність даних тут подій.

7. Завдання Бернштейна. На площину кидають тетраедр межі якого (правильні трикутники) пофарбовані так: одна грань в червоний, інша - в білий, третя в - чорний колір, а четверта - ділянками в червоний, білий і чорний кольори. Результатом досвіду вважаємо подія, пов'язана з нижньої випала гранню. Нехай події A, B і C складаються відповідно в наявності червоного, білого і чорного кольору на випала межі. Дослідити характер незалежності подій A, B і C.

Рішення. P {A} = P {B} = P {C} = 1/2; P {AB} = P {AC} = P {BC} = 1/4;

P {ABC} = 1/4 ? P {A} P {B} P {C} = 1/8.

Тому події A, B і C попарно незалежні, але залежні в сово-купности.

У таких завданнях 8 і 9 самостійно досліджувати незалежність подій A, B і C.

8. Кидають 2 монети. Подія А - випадання герба на першій монеті, подія B - випадання герба на другий монеті, подія С - випадання на монетах однакових граней (межі монети: герб і решка).

9. В умовах задачі 8 події A, B ті ж, а C - випадання на монетах разнихграней.

10. Довести, що, якщо події A і B, A і C незалежні і BC - порожня множина V, то події A і B + C незалежні.

Доведення. P {A (B + C)} = P {AB} + P {AC} - P {ABC} = P {AB} + + P {AC} = P {A} P {B} + P {A} P {C} = P {A} (P {B} + P {C}) = = P {A} P {B + C}, що і стверджувалося.

Зауваження. У задачі 10 умова BC = V при незалежність пар подій А і В, А і С є достатнім, але не необхідним для незалежних подій А і (В + С). Наведемо приклад - це нижче наступне завдання 11.

11. З колоди гральних карт (52 карти) навмання вибирають одну карту. Подія А - це карта - туз, В - це карта Червової масті, С - це карта червоної масті. Перевірити виконання умов завдання 10.

Рішення. P {A} = 1/13; P {B} = 1/4; P {C} = 1/2; P {A / B} = 1/13; P {A / C} = 1/13; P {B + C} = P {C} = 1/2; P {A / (B + C)} = 1/13, тому події А і В, А і С, А і (В + С) незалежні в той час як BC ? V.

12. Довести, що якщо події A і B, A і C незалежні, то незалежні події A і (B + C) тоді і тільки тоді, коли незалежні події A і BC.

Доведення. Нехай спочатку події A і B, A і C, A і BC незалежні, тоді доведемо незалежність подій A і (B + C):

P {A (B + C)} = P {AB} + P {AC} - P {ABC} = P {A} P {B + C}, що і утверж-далося. (Достатність)

Нехай тепер події A і B, A і C, A і (B + C) незалежні, тоді доведемо незалежність подій A і BC:

P {ABC} = - P {A (B + C} + P {AB} + P {AC} = P {A} (- P {B + C} + P {B} + + P {C}) = P {A} P {BC}, що і стверджувалося. (Необхідність)

13. Під час вилучення навмання однієї гральної карти з 52 провести класифікацію подій А і В за ознаками спільності (несумісний-ності) і залежності (незалежності) у випадках:

а) А - витяг туза, В - витяг червоною карти;

б) А - витяг червоного туза, В - витяг червоною карти.

 Теорема додавання ймовірностей |  Рішення.


 Вступ. Операції над подіями |  Операції над подіями |  Рішення. |  Рішення. |  Комбінаторний сенс сполучень |  А. 1-я інтерпретація |  Б. 2-я інтерпретація |  Схема поєднань з повтореннями (с. С. П.) |  Зв'язок схем вибору і розміщення. |  Класичне визначення ймовірності. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати