На головну

 Тема 3. Межа функції. Еквівалентні функції. |  Тема 5. Безперервність функції. |  Тема 7. Основні теореми про диференціюються функції та їх застосування. |  Тема 14. Додатки до загальної економічної теорії. |  Методичні вказівки з вивчення дисципліни. |  Розділ I. Вступ до аналізу. |  Розділ II. Диференціальне числення функції однієї змінної. |  Розділ III. Функції декількох змінних. |  Розділ I. Вступ В АНАЛІЗ. |  Розділ II. Диференціальне числення функції однієї змінної. |

Частина 1.

  1.  Dolom 1. Asnacal 'asavans. (Частина 1. Початок війни).
  2.  Dolom 1. Asosadas Asaragt (Частина 1. Облога міста).
  3.  Dolom 2. Asnokot pjer Aspikstipi (Частина 2. Ніч перед нападами).
  4.  Dolom 3. Ipisjetjelas askobor (Частина 3. Останній бій).
  5.  I частина
  6.  I частина
  7.  I частина

1-10.потрібно:

а)найтіестественную область визначення функції ;

б)встановити парність (непарність) функції .

Рішення. а)Природну область визначення знаходимо як безліч  всіх значень аргументу  функції, для яких формула  має сенс:  . Вирішивши (на числовій прямій) систему нерівностей  , Встановлюємо, що геометричним чином безлічі  є проміжок .

б)Находімсначала естественнуюобласть визначення функції : . Вирішивши (на числовій прямій) нерівність  , Встановлюємо, що геометричним чином безлічі  є об'єднання проміжків .

Так як область  є симетричною відносно точки  , То перевіряємо виконання для всіх  умов:  або  , Враховуючи парність і непарність основних елементарних функцій, що входять в аналітичний вираз .

якщо область  не симетрична щодо точки  , то  на цій множині є функцією загального вигляду.

Для цього знаходимо  . оскільки  для всіх  , То функція є парною.

відповідь: а) , ;

б)функція - Парна.

11-21.Обчислити межі (не користуючись правилом Лопіталя):

а)  б) в)  г)  д)

обчислення межі  , де  , Починають завжди з підстановки в  граничного значення її аргументу  . В результаті можуть вийти невизначеності , ,  , Які розкривають тотожними перетвореннями  такими, щоб перетворене вираз вийшло певним. При обчисленні меж використовують властивості кінцевих меж і нескінченно великих функцій, а також такі відомі межі: , , (  ), , , , , .

Рішення. а) При підстановці замість змінної  її граничного значення  отримаємо невизначеність  . Для її розкриття спочатку розділимо чисельник і знаменник дробу на  (Старшу ступінь змінної  в чисельнику і знаменнику), після чого використовуємо властивості кінцевих меж і нескінченно великих функцій. отримаємо

.

б)  При підстановці замість змінної  її граничного значення  отримаємо невизначеність  . Для її розкриття виділимо в чисельнику і знаменнику дробу загальний множник виду  , де  - Деяке число, тобто множник  . Потім скоротимо на нього чисельник і знаменник дробу, після чого використовуємо властивості меж.

1) У квадратному тричленну  множник виділяють розкладанням квадратного тричлена за формулою  , де . 2) У вираженні  множник виділяють такий спосіб:

.

В результаті отримаємо

.

в) При підстановці замість змінної  її граничного значення  отримаємо невизначеність  . Виділимо в чисельнику множники виду  , де  при  і використовуємо властивості меж. отримаємо

Для розкриття невизначеностей  , Що містять тригонометричні і зворотні тригонометричні функції, в чисельнику і знаменнику дробу виділяють спочатку множники виду: , , ,  , де  при  , Використовуючи формули тригонометрії: , ,  . Після чого застосовують властивості меж, враховуючи, що: , , , .

.

г) При підстановці замість змінної  її граничного значення  отримаємо невизначеність .

Для розкриття невизначеності  , Що виникає при обчисленні межі  , де ,  , Спочатку вираз  подають як  , де  при  . Після чого використовують властивості меж, замінюючи вираз  його граничним значенням  і з огляду на, що = .

Уявімо  у вигляді  , де  при ,в такий спосіб:

=  . Тоді враховуючи, що ,  , отримаємо = = .

д)

Для обчислення границі  , де  являє собою дріб, чисельник і знаменник якого містять факторіали натурального числа  , Надходять у такий спосіб. Виділяють в чисельнику і знаменнику в якості загального множника факторіал меншого натурального числа і скорочують на нього. В результаті отримують вираз, межа якого знаходять розглянутими вище способами.

Для обчислення даного межі спочатку висловимо , ,  через : , ,  , Після чого скоротимо чисельник і знаменник на :

.

В результаті отримали невизначеність  . Для її розкриття розділимо чисельник і знаменник дробу  на  (Старшу ступінь змінної  чисельника і знаменника), після чого використовуємо властивості меж. отримаємо

.



 Розділ III. Функції декількох змінних. |  Рішення.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати