Головна |
Геометрична властивість мішаного добуткуТеорема 6.2. Модуль мішаного добутку трьох векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Доведення Пряма АМ перпендикулярна до основи паралелепіпеда, а, отже, перпендикулярна і до кожного з векторів і . Тому і їх векторний добуток лежить на цій прямій. Якщо базис правий, то лежить на самій висоті і (рис. 5.18), якщо ж - лівий базис, то лежить на продовженні висоти і (рис. 5.19). За означенням мішаного і скалярного добутків векторів маємо . (7) Але модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах, тобто . Якщо має місце перший випадок (рис. 5.18), то тоді . Із прямокутного трикутника АМА1 матимемо: , де h - висота паралелепіпеда. У другому випадку (рис. 5.19) , тому . Аналогічно із прямокутного трикутника АМА1 . Отже, в обох випадках . Повертаючись до формули (7), матимемо: , тобто , що й треба було довести. Користуючись цією теоремою, можна знаходити об'єм тетраедра, якщо відомі координати його вершин. Задача. Тетраедр задано координатами його вершин , , , у прямокутній системі координат. Знайти його об'єм. Розв'язання Введемо вектори , , . (рис. 5.20). Об'єм тетраедра дорівнює шостій частині об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Отже, (8) Приклад 1. Відомо, що . Обчислити значення виразу . Розв'язання Використовуючи властивості 1-5 мішаного добутку векторів, матимемо: = = . Приклад 2. Знайти довжину висоти АН тетраедра ABCD, якщо задані координати його вершин у прямокутній системі координат: (рис. 5.21). Розв'язання За формулою (8) . З другого боку , (9) де (використано формулу (3) § 5). Підставивши знайдені величини у (9), обчислюємо : . Відповідь. АН=3. § 7. Поняття про рівняння поверхні і лінії в просторі Нехай у просторі задана деяка система координат. Означення 7.1. Говорять, що фігура Ф задана аналітичними умовами (рівнянням, системою рівнянь, нерівністю, системою нерівностей тощо), якщо координати будь-якої точки фігури Ф задовольняють ці умови, і будь-яка точка, координати якої задовольняють ці умови, належать фігурі Ф. Приклад 1. Фігура задана системою нерівностей у прямокутній системі координат є прямокутним паралелепіпедом (рис. 5.22). Основними об'єктами вивчення аналітичної геометрії в просторі є поверхні і лінії. Поверхні в просторі найчастіше задаються рівняннями, а лінії - системами рівнянь. Означення 7.2. Рівняння (1) називається рівнянням поверхні Ф (рис. 5.23), якщо виконані такі умови: 1) координати будь-якої точки М цієї поверхні задовольняють це рівняння; 2) точка, координати якої задовольняють рівняння (1), належить поверхні Ф. Рівняння (1) є рівнянням поверхні в неявній формі. Якщо з цього рівняння можна визначити одну із змінних, наприклад z, то дістанемо рівняння поверхні у явній формі: . (2) Поверхня може задаватись також параметрично за допомогою двох незалежних параметрів u i υ: (3) Приклад 2. Нехай у просторі задана сфера радіуса з центром у точці відносно деякої прямокутної системи координат. Вивести рівняння сфери. Розв'язання Нехай - довільна точка сфери (рис. 5.24). Тоді відстань СМза формулою (1) § 2 дорівнює: Піднісши обидві частини цієї рівності до квадрата, отримаємо . (4) Отже, координати будь-якої точки даної сфери задовольняють рівняння (4). З іншого боку, якщо координати деякої точки М задовольняють рівняння (4), то, добувши квадратний корінь з обох частин (4), дістанемо: А це означає, що , тобто точка М належить сфері. Отже, рівняння (4) і є рівнянням сфери радіуса R з центром у точці . Приклад 3. Розглянемо кругову циліндричну поверхню, вісь якої збігається з віссю аплікат прямокутної системи координат OXYZ. Координатна площина OXY перетинає цю поверхню по колу з центром у початку координат і радіусом R. Нехай - довільна точка циліндричної поверхні (рис. 5.25). Проведемо через точку М твірну циліндра ММ1, де М1 - точка її перетину з площиною ОXY. Тоді координати точки , . Позначимо через uорієнтований кут між додатним напрямом осі ОX і радіус-вектором точки М1. Тоді Аплікату z точки М позначимо через υ. Тоді матимемо такі параметричні рівняння: (5) де . Отже, координати будь-якої точки описаної циліндричної поверхні задовольняють рівняння (5). Очевидно, що і навпаки: якщо координати деякої точки задовольняють рівняння (5) при певних значеннях параметрів u і υ, то ця точка лежить на даній циліндричній поверхні. Тому (5) - це параметричні рівняння циліндричної поверхні. Якщо перше і друге рівняння системи (5) піднести до квадрата і додати, то матимемо: або (6) Рівняння (6) - це рівняння цієї ж поверхні у неявній формі. Якщо в просторі задано дві поверхні, що перетинаються (рис. 5.26), своїми рівняннями і , то лінія їх перетину задається системою рівнянь: (7) Система рівнянь (7) задає лінію, якщо координати будь-якої точки лінії задовольняють цю систему рівнянь, і довільна точка, координати якої задовольняють систему (7), належить цій лінії. Лінія в просторі може бути задана також параметричними рівняннями, але, на відміну від поверхні, координати точок лінії виражаються через один параметр: (8) Приклад 4. Якщо дві сфери, які перетинаються, задано їхніми рівняннями то рівняння їх кола перетину задається системою: Приклад 5. Стержень довжиною а, закріплений одним кінцем на осі , перпендикулярний до осі , обертається навколо цієї осі із сталою кутовою швидкістю і одночасно рухається вздовж цієї осі рівномірно із швидкістю b. Лінія, яку описує другий кінець стержня, називається гвинтовою лінією. Скласти рівняння цієї лінії. Означення і властивості | Розв'язання МЕТОД КООРДИНАТ У ПРОСТОРІ | Поняття векторного добутку двох векторів | Приклад 1. Момент сили. | Векторний добуток векторів, заданих координатами | Геометрична властивість векторного добутку i її застосування | |