Головна

Геометрична властивість мішаного добутку

  1. Визначений інтеграл та його геометрична інтерпретація
  2. Властивості векторного добутку двох векторів .
  3. Властивості скалярного добутку векторів
  4. Геометрична властивість векторного добутку i її застосування
  5. Геометрична ілюстрація методу Гомори
  6. Геометрична інтерпретація

Теорема 6.2. Модуль мішаного добутку трьох векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах.

Доведення


Нехай на векторах побудовано паралелепіпед (рис. 5.18, 5.19), АМ - його висота. Позначимо через кут між векторами і , а через кут між висотою паралелепіпеда і бічним ребром.

Пряма АМ перпендикулярна до основи паралелепіпеда, а, отже, перпендикулярна і до кожного з векторів і . Тому і їх векторний добуток лежить на цій прямій. Якщо базис правий, то лежить на самій висоті і (рис. 5.18), якщо ж - лівий базис, то лежить на продовженні висоти і (рис. 5.19).

За означенням мішаного і скалярного добутків векторів маємо

. (7)

Але модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах, тобто .

Якщо має місце перший випадок (рис. 5.18), то тоді . Із прямокутного трикутника АМА1 матимемо:

,

де h - висота паралелепіпеда.

У другому випадку (рис. 5.19) , тому

.

Аналогічно із прямокутного трикутника АМА1 . Отже, в обох випадках .

Повертаючись до формули (7), матимемо:

,

тобто

,

що й треба було довести.

Користуючись цією теоремою, можна знаходити об'єм тетраедра, якщо відомі координати його вершин.

Задача. Тетраедр задано координатами його вершин , , , у прямокутній системі координат. Знайти його об'єм.

Розв'язання

Введемо вектори

,

,

.

(рис. 5.20).

Об'єм тетраедра дорівнює шостій частині об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Отже,

(8)

Приклад 1. Відомо, що . Обчислити значення виразу .

Розв'язання

Використовуючи властивості 1-5 мішаного добутку векторів, матимемо:

=

= .

Приклад 2. Знайти довжину висоти АН тетраедра ABCD, якщо задані координати його вершин у прямокутній системі координат: (рис. 5.21).

Розв'язання

За формулою (8)

.

З другого боку

, (9)

де

(використано формулу (3) § 5).

Підставивши знайдені величини у (9), обчислюємо :

.

Відповідь. АН=3.

§ 7. Поняття про рівняння поверхні і лінії в просторі

Нехай у просторі задана деяка система координат.

Означення 7.1. Говорять, що фігура Ф задана аналітичними умовами (рівнянням, системою рівнянь, нерівністю, системою нерівностей тощо), якщо координати будь-якої точки фігури Ф задовольняють ці умови, і будь-яка точка, координати якої задовольняють ці умови, належать фігурі Ф.

Приклад 1.

Фігура задана системою нерівностей у прямокутній системі координат

є прямокутним паралелепіпедом (рис. 5.22).

Основними об'єктами вивчення аналітичної геометрії в просторі є поверхні і лінії. Поверхні в просторі найчастіше задаються рівняннями, а лінії - системами рівнянь.

Означення 7.2. Рівняння

(1)

називається рівнянням поверхні Ф (рис. 5.23), якщо виконані такі умови:

1) координати будь-якої точки М цієї поверхні задовольняють це рівняння;

2) точка, координати якої задовольняють рівняння (1), належить поверхні Ф.

Рівняння (1) є рівнянням поверхні в неявній формі. Якщо з цього рівняння можна визначити одну із змінних, наприклад z, то дістанемо рівняння поверхні у явній формі:

. (2)

Поверхня може задаватись також параметрично за допомогою двох незалежних параметрів u i υ:

(3)

Приклад 2. Нехай у просторі задана сфера радіуса з центром у точці відносно деякої прямокутної системи координат. Вивести рівняння сфери.

Розв'язання

Нехай - довільна точка сфери (рис. 5.24). Тоді відстань СМза формулою (1) § 2 дорівнює:

Піднісши обидві частини цієї рівності до квадрата, отримаємо

. (4)

Отже, координати будь-якої точки даної сфери задовольняють рівняння (4).

З іншого боку, якщо координати деякої точки М задовольняють рівняння (4), то, добувши квадратний корінь з обох частин (4), дістанемо:

А це означає, що , тобто точка М належить сфері.

Отже, рівняння (4) і є рівнянням сфери радіуса R з центром у точці .

Приклад 3. Розглянемо кругову циліндричну поверхню, вісь якої збігається з віссю аплікат прямокутної системи координат OXYZ. Координатна площина OXY перетинає цю поверхню по колу з центром у початку координат і радіусом R.

Нехай - довільна точка циліндричної поверхні (рис. 5.25). Проведемо через точку М твірну циліндра ММ1, де М1 - точка її перетину з площиною ОXY. Тоді координати точки , .

Позначимо через uорієнтований кут між додатним напрямом осі ОX і радіус-вектором точки М1. Тоді

Аплікату z точки М позначимо через υ. Тоді матимемо такі параметричні рівняння:

(5)

де .

Отже, координати будь-якої точки описаної циліндричної поверхні задовольняють рівняння (5). Очевидно, що і навпаки: якщо координати деякої точки задовольняють рівняння (5) при певних значеннях параметрів u і υ, то ця точка лежить на даній циліндричній поверхні. Тому (5) - це параметричні рівняння циліндричної поверхні.

Якщо перше і друге рівняння системи (5) піднести до квадрата і додати, то матимемо:

або

(6)

Рівняння (6) - це рівняння цієї ж поверхні у неявній формі.

Якщо в просторі задано дві поверхні, що перетинаються (рис. 5.26), своїми рівняннями і , то лінія їх перетину задається системою рівнянь:

(7)

Система рівнянь (7) задає лінію, якщо координати будь-якої точки лінії задовольняють цю систему рівнянь, і довільна точка, координати якої задовольняють систему (7), належить цій лінії.

Лінія в просторі може бути задана також параметричними рівняннями, але, на відміну від поверхні, координати точок лінії виражаються через один параметр:

(8)

Приклад 4. Якщо дві сфери, які перетинаються, задано їхніми рівняннями

то рівняння їх кола перетину задається системою:

Приклад 5. Стержень довжиною а, закріплений одним кінцем на осі , перпендикулярний до осі , обертається навколо цієї осі із сталою кутовою швидкістю і одночасно рухається вздовж цієї осі рівномірно із швидкістю b. Лінія, яку описує другий кінець стержня, називається гвинтовою лінією. Скласти рівняння цієї лінії.



Означення і властивості | Розв'язання

МЕТОД КООРДИНАТ У ПРОСТОРІ | Поняття векторного добутку двох векторів | Приклад 1. Момент сили. | Векторний добуток векторів, заданих координатами | Геометрична властивість векторного добутку i її застосування |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати