На головну

Аналітична геометрія | РОЗДІЛ ІІ. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ | РОЗДІЛ ІV. ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ | РОЗДІЛ VIІ. ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ | Напрямлені відрізки | Вектор як множина співнапрямлених відрізків | Рівність векторів | Правила додавання векторів | Властивості операції додавання векторів | Доведення |

Розв'язання

  1. Алгоритм розв'язання і розв'язання задачі про призначення
  2. Задачі для самостійного розв'язання
  3. Задачі для самостійного розв'язання
  4. Задачі для самостійного розв'язання.
  5. Математична формалізація моделі та алгоритм розв'язання задач
  6. Мода і медіана. Середні значення та їх застосування до розв'язання задач.
  7. Означення диференціального рівняння та його розв'язання

Проведемо . - паралелограм, тому .

а) ;

б) ;

в) .

§ 4. Множення вектора на число

Означення 4.2. Добутком вектора на дійсне число називається вектор , який задовольняє такі умови:

1) ;

2) , якщо , і , якщо .

Такий вектор позначається .

Приклад 1.Нехай дано вектор (рис. 1.19). Побудувати вектори .

Розв'язання (рис. 1.19)

Рис. 1.19

Операція добутку вектора на число володіє такими властивостями:

Властивість 1. для будь-якого дійсного числа і будь-якого вектора .

Ця властивість одразу випливає з умови 1) означення 4.1.

Властивість 2. Для будь-якого вектора :

.

Ця властивість випливає безпосередньо з означення 4.1.

Властивість 3. Для будь-якого вектора і будь-яких дійсних чисел і

.

Д о в е д е н н я. Нехай . Доведемо, що . Маємо:

Отже, . Покажемо, що . Якщо числа і одного знаку, то вектор однаково напрямлений з і однаково напрямлений з . Значить, . У випадку, коли числа і протилежних знаків, то . Отже, також . А значить, , що і треба було довести.

Властивість 4. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання векторів, тобто

для і .

Д о в е д е н н я. Нехай . Відкладемо вектори (рис. 1.20а). Тоді . Покажемо, що

Рис. 1.20 а) Рис. 1.20 б)

. Оскільки вектори і , і відповідно однаково напрямлені, то відповідні кути А і у трикутників ОАВ і рівні (як кути, утворені при перетині двох паралельних прямих третьою). Крім того, сторони цих трикутників, що прилягають до рівних кутів, пропорційні:

.

Тому . Звідси випливає, що , а це означає, що промені ОВ і збігаються, тобто . Крім того, . Тому .

Аналогічно розглядається випадок (рис. 1.20 б).

Випадок тривіальний. Отже, .

Властивість 5. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання чисел, тобто для

, і .

Д о в е д е н н я. Розглянемо два можливі випадки: і (випадок не викликає труднощів).

1) Нехай , тобто числа і одного знаку. Тоді вектори і однаково напрямлені. Крім того,

;

.

Отже, , і вектори та рівні.

2) Нехай , тобто числа і різних знаків. Якщо , то ; , і, отже, властивість справджується.

Якщо , тоді або одного знаку. Хай, наприклад, одного знаку. Тоді за доведеним що і треба було довести.

Властивості суми векторів і добутку вектора на число дозволяють перетворювати векторні вирази подібно до алгебраїчних виразів

Приклад 2. За даними векторами і побудувати вектор .

Розв'язання.

Нехай і - дані вектори (рис. 1.21а). Побудуємо спочатку відрізок довжиною . Для цього досить побудувати прямокутний трикутник з катетом . Довжина його гіпотенузи і буде (рис. 1.21б)). Тепер відкладемо вектори (рис. 1.21в)). Вектор є шуканим.

Приклад 3. У трикутнику АВС проведено медіани О - їх точка перетину.

а) Виразити вектори через вектори і ;

б) Знайти вектор .



Віднімання векторів | Колінеарність векторів
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати