Головна

Безперервність тригонометричних функцій.

  1.  II. Межа і неперервність функції
  2.  Апроксимація функцій.
  3.  Базис булевих функцій. теорема Поста
  4.  Білет18. Безперервність і точки розриву функції
  5.  Види симетричних функцій.
  6.  Вкладеність функцій.
  7.  Питання №31 Безперервність функції в точці.

Доведемо безперервність функції в точці О, y = sinx, покажемо

 Зобразимо аргумент функції y = sinx на одиничному колі, причому кут будемо вимірювати в радіанах. На підставі відкладеного кута побудуємо трикутник АОВ, і сектор круга АОВ. очевидно

 1 / 2х

Т. о. робимо висновок, коли х змінюється то 0 до  , Справедливо нерівність sinx

Побудуємо графік y = sinx і y = x.

Побудуємо графік функції y = | sinx |, y = | x |

З побудованого графіка бачимо, що функції sinx справедливі оцінки 0 .

нехай {  -довільний площину сходиться до 0.  площині {| sinx |}, {| x |}. для цих площин справедливі оцінки 0  . т. к. площину {  сходиться до 0, то згідно з принципом двостороннього обмеження  . т. о. довели, що функція sinx неперервна в точці 0.

Доведемо тепер безперервність функції sinx в довільній точці числової прямої.

Тобто покажемо, що  , Для цього скористаємося відомою тригонометричної формулою

нехай  -довільний послідовність сходиться в точці a, згідно записаної тригонометричної формулою маємо: .

Знайдемо межі від лівої і правої частини. У правій частині стоїть елемент послідовності, який можна розглядати як твір двох послідовностей: ,  . Перша є обмеженою, друга в силу безперервності функції sin x в нулі, є нескінченно малою послідовністю, твір обмеженою послідовності на нескінченно малу, дає нескінченно малу послідовність, отже .

Згідно з визначенням по Гейне

Безперервність функції cos x, випливає з формули приведення і таким чином безперервності складної функції

Таким чином функція cos x представлена ??як суперпозиція y = sin t і функція

Обидві функції безупинні, звідки випливає безперервність функції cos x.

Безперервність функції tg x і ctg x випливає з уявлення и  , І з теореми про приватному двох неперервних функцій. Таким чином робимо висновок, що функція tg x неперервна в усіх випадках числової прямої за винятком точок  , Ctg x-функція неперервна на всій числовій прямій за винятком точок .

Згідно з теоремою про безперервність зворотної функції робимо висновок, що зворотні тригонометричні функції arcsin, arcos, arctg, arcctg, безперервні в усіх точках безлічі визначень цих функцій.

Відомо, що всі елементарні функції неперервні в точках, що належать їх області визначення.

Нагадаємо, що функція називається елементарно, якщо вона отримана з найпростіших елементарних функцій, за допомогою чотирьох арифметичних операцій і операції суперпозиції, застосованих кінцеве число раз.

ПИТАННЯ

Узагальнена Теорема Лагранжа

теорема: Якщо кожна з 2-х функцій f (x) і g (x) неперервна на відрізку [ab] і диференційовна в усіх точках цього відрізка і якщо крім того похідна g '(x) відмінна від 0, усюди на відрізку [ab], то всередині відрізка знайдеться точка с, така, що справедлива формула:

Формулу (9) називають узагальненою формулою кінцевих прирощення.

Доведення: Покажемо спочатку, що g (a)  . якби це було не так, то для функції g (x) були б виконані на відрізку [ab] всі умови теореми Ролля і на цій теоремі всередині відрізка [ab] здавалася б в точці с, ті ж. що g '(c) = 0.

Останнє протиріччя умов теореми.

Оскільки g (a)  то потрібно розглянути допоміжну функцію: F (x) = f (x) -f (a) -  (G (x) -g (a)) (10)

В силу вимог належали до f (x) і g (x), функція F (x) неперервна на відрізку [ab], і диференційована у всіх внутрішніх точках цього сегмента. Крім того F (a) = F (b) = 0. Т. о. для F (x) виконуються всі умови теореми Ролля. Відповідно до цієї теореми всередині відрізка [ab] знайдеться точка с, так, що F '(c) = 0

Отже. так як F '(x) = f' (x) -  g '(x), то

f '(с) -  g '(с) = 0

Т. к. Gе (с)  , То отримаємо формулу Коші.

Розкриття невизначеностей (Правило Лопіталя)

Розкриття невизначеностей виду .

теорема: (Правило Лопіталя) Нехай  є проколоту  -окрестность точки а, функції  визначені і мають похідні на  , І крім того, похідна  не звертати на  в нуль. нехай також  . Тоді, якщо існує (кінцевий або нескінченний) межа  , То існує і межа  , Причому справедливо співвідношення =

Доведення: нехай  - Довільна послідовність значень аргументу, що сходиться до а, і складається з чисел відмінних від а. Довизначивши функції  в точці а, поклавши їх рівними нулю в цій точці. При такому доопределении функції  виявляться безперервними в  - Околиці точки а. розглянемо довільний сегмент обмежений точками а і  , функції  будуть неперервні на цьому сегменті. Крім того функції  діфференцируєми у всіх внутрішніх точках сегмента, і похідна  не звертається до цих внутрішніх точках в нуль. Це дає право застосувати формулу Каші  . (11)

З огляду на, що до певних функцій ,  , тоді =  , (12)

 знаходиться між точками а і  , Так як при ,  , То і

 при  , В силу існування межі  і визначення границі функції по Гейне права частина (12) має межу при  рівний межі (13). Стало бути, той же самий межа при  має і ліва частина (12). Таким чином отримаємо: =  . Правило Лопіталя «діє» не завжди, межа відносини функцій може існувати і в разі, коли межа відносини похідних не існує.

Приклад: нехай  , Розглянемо межа =  , Хоча межі відношення не існує  , Так як межі  не існує.

якщо похідні  задовольняють тим самим вимогам, що і самі функції  , То правило Лопіталя можна застосувати повторно.

1)

2)

3)

Розкриття невизначеності виду

Прийнято говорити, що відношення двох певних в околиці точки а, функцій  , Являє собою при  невизначеність виду ,якщо

теорема:(Друге правило Лопіталя) нехай  є проколоту  -окрестность точки а, функції  визначені і мають похідні на  , І крім того, похідна  не звертати на  в нуль. межі функцій  в точці а нескінченні.  . Тоді, якщо існує (кінцевий або нескінченний) межа  , То існує і межа  , Причому справедливо співвідношення = .

Без докази!

44 ПИТАННЯ

Основні теореми про дифференцирующих функціях.

Розглянемо функцію  , Визначену в деякій околиці фіксованої точки с.

визначення:Будемо говорити, що функція  зростає (убуває) в точці з, якщо знайдемо точки  околиці точки з в межах якої f (x) f (c) при x> c (f (x)> f (c) при x c).

визначення: Будемо говорити, що функція  має в точці слокальний максимум (локальний мінімум),, якщо знайдемо точки  околиці точки з в межах якої значення f (c) є найбільшим (найменшим) серед всіх значень f (x) цієї функції.

визначення: Будемо говорити, що функція  має в точці слокальний екстремум, якщо ця функція має в зазначеній точці або локальний максимум, або локальний мінімум.

теорема: (Достатня умова зростання або спадання функції в точці)

якщо функція  диференційована в точці сі її похідна в цій точці  позитивна (негативна), то функція  зростає (убуває) в точці с.

докази: Проведемо всі міркування для випадку  (при  розглядається аналогічно). за визначенням похідної  На підставі визначення зрадила функції по Коші для позитивного числа  знайдеться  така, що

 при

Розкривши модуль отримаємо

,  при ,

Таким чином, усюди в проколеної  - Околиці точки с  . а це означає, що всюди в межах  - Околиці точки сf (x)> f (c) при x> c c і f (x)> f (c) при x с.

при  розглядається аналогічно.

Зауважимо, що позитивність (негативність) похідною  не є необхідною умовою зростання (зменшення) диференціюється в точці с функції .

наприклад функція  зростає в точціз = 0 , В той час похідна цієї функції  наближається до нуля в точці з = 0 .

теорема: (Необхідна умова локального екстремуму диференціюється в даній точці функції). якщо функція  диференційована в точці с і має в цій точці локальний екстремум, то .

докази:За умовою теореми існує кінцева похідна  так як функція  має в точці слокальний екстремум, то вона не може в цій точці сні зростати, ні спадати. отже похідна  не може бути ні позитивної, ні негативної. тим самим доведено, що  . доведена теорема має простий геометричний зміст. Вона стверджує, що якщо в точці локального екстремуму, існує дотична, то ця дотична паралельна осі Ox. звернення в нуль похідної є лише необхідною і не є достатньою умовою локального екстремуму.

 Арифметичні операції над неперервними функціями. |  Теорема Ролля про нулі похідної.


 Площа поверхні тіла обертання |  Довжина дуги, задана параметрично. |  Обчислення довжини кривої в полярній системі координат. |  Формула середнього значення. |  Формула Ньютона - Лейбніца. |  Заміна змінної в певному інтегралі. |  Класи інтегрованих функцій. |  Властивості інтегрованих функцій. |  Інтегрування біномного диференціала. |  Інтегрування дробово-лінійних иррациональностей. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати