Головна |
Безперервність тригонометричних функцій.Доведемо безперервність функції в точці О, y = sinx, покажемо Зобразимо аргумент функції y = sinx на одиничному колі, причому кут будемо вимірювати в радіанах. На підставі відкладеного кута побудуємо трикутник АОВ, і сектор круга АОВ. очевидно 1 / 2х Т. о. робимо висновок, коли х змінюється то 0 до , Справедливо нерівність sinx Побудуємо графік y = sinx і y = x. Побудуємо графік функції y = | sinx |, y = | x | З побудованого графіка бачимо, що функції sinx справедливі оцінки 0 . нехай { -довільний площину сходиться до 0. площині {| sinx |}, {| x |}. для цих площин справедливі оцінки 0 . т. к. площину { сходиться до 0, то згідно з принципом двостороннього обмеження . т. о. довели, що функція sinx неперервна в точці 0. Доведемо тепер безперервність функції sinx в довільній точці числової прямої. Тобто покажемо, що , Для цього скористаємося відомою тригонометричної формулою нехай -довільний послідовність сходиться в точці a, згідно записаної тригонометричної формулою маємо: . Знайдемо межі від лівої і правої частини. У правій частині стоїть елемент послідовності, який можна розглядати як твір двох послідовностей: , . Перша є обмеженою, друга в силу безперервності функції sin x в нулі, є нескінченно малою послідовністю, твір обмеженою послідовності на нескінченно малу, дає нескінченно малу послідовність, отже . Згідно з визначенням по Гейне Безперервність функції cos x, випливає з формули приведення і таким чином безперервності складної функції Таким чином функція cos x представлена ??як суперпозиція y = sin t і функція Обидві функції безупинні, звідки випливає безперервність функції cos x. Безперервність функції tg x і ctg x випливає з уявлення и , І з теореми про приватному двох неперервних функцій. Таким чином робимо висновок, що функція tg x неперервна в усіх випадках числової прямої за винятком точок , Ctg x-функція неперервна на всій числовій прямій за винятком точок . Згідно з теоремою про безперервність зворотної функції робимо висновок, що зворотні тригонометричні функції arcsin, arcos, arctg, arcctg, безперервні в усіх точках безлічі визначень цих функцій. Відомо, що всі елементарні функції неперервні в точках, що належать їх області визначення. Нагадаємо, що функція називається елементарно, якщо вона отримана з найпростіших елементарних функцій, за допомогою чотирьох арифметичних операцій і операції суперпозиції, застосованих кінцеве число раз. ПИТАННЯ Узагальнена Теорема Лагранжа теорема: Якщо кожна з 2-х функцій f (x) і g (x) неперервна на відрізку [ab] і диференційовна в усіх точках цього відрізка і якщо крім того похідна g '(x) відмінна від 0, усюди на відрізку [ab], то всередині відрізка знайдеться точка с, така, що справедлива формула: Формулу (9) називають узагальненою формулою кінцевих прирощення. Доведення: Покажемо спочатку, що g (a) . якби це було не так, то для функції g (x) були б виконані на відрізку [ab] всі умови теореми Ролля і на цій теоремі всередині відрізка [ab] здавалася б в точці с, ті ж. що g '(c) = 0. Останнє протиріччя умов теореми. Оскільки g (a) то потрібно розглянути допоміжну функцію: F (x) = f (x) -f (a) - (G (x) -g (a)) (10) В силу вимог належали до f (x) і g (x), функція F (x) неперервна на відрізку [ab], і диференційована у всіх внутрішніх точках цього сегмента. Крім того F (a) = F (b) = 0. Т. о. для F (x) виконуються всі умови теореми Ролля. Відповідно до цієї теореми всередині відрізка [ab] знайдеться точка с, так, що F '(c) = 0 Отже. так як F '(x) = f' (x) - g '(x), то f '(с) - g '(с) = 0 Т. к. Gе (с) , То отримаємо формулу Коші. Розкриття невизначеностей (Правило Лопіталя) Розкриття невизначеностей виду . теорема: (Правило Лопіталя) Нехай є проколоту -окрестность точки а, функції визначені і мають похідні на , І крім того, похідна не звертати на в нуль. нехай також . Тоді, якщо існує (кінцевий або нескінченний) межа , То існує і межа , Причому справедливо співвідношення = Доведення: нехай - Довільна послідовність значень аргументу, що сходиться до а, і складається з чисел відмінних від а. Довизначивши функції в точці а, поклавши їх рівними нулю в цій точці. При такому доопределении функції виявляться безперервними в - Околиці точки а. розглянемо довільний сегмент обмежений точками а і , функції будуть неперервні на цьому сегменті. Крім того функції діфференцируєми у всіх внутрішніх точках сегмента, і похідна не звертається до цих внутрішніх точках в нуль. Це дає право застосувати формулу Каші . (11) З огляду на, що до певних функцій , , тоді = , (12) знаходиться між точками а і , Так як при , , То і при , В силу існування межі і визначення границі функції по Гейне права частина (12) має межу при рівний межі (13). Стало бути, той же самий межа при має і ліва частина (12). Таким чином отримаємо: = . Правило Лопіталя «діє» не завжди, межа відносини функцій може існувати і в разі, коли межа відносини похідних не існує. Приклад: нехай , Розглянемо межа = , Хоча межі відношення не існує , Так як межі не існує. якщо похідні задовольняють тим самим вимогам, що і самі функції , То правило Лопіталя можна застосувати повторно. 1) 2) 3) Розкриття невизначеності виду Прийнято говорити, що відношення двох певних в околиці точки а, функцій , Являє собою при невизначеність виду ,якщо теорема:(Друге правило Лопіталя) нехай є проколоту -окрестность точки а, функції визначені і мають похідні на , І крім того, похідна не звертати на в нуль. межі функцій в точці а нескінченні. . Тоді, якщо існує (кінцевий або нескінченний) межа , То існує і межа , Причому справедливо співвідношення = . Без докази! 44 ПИТАННЯ Основні теореми про дифференцирующих функціях. Розглянемо функцію , Визначену в деякій околиці фіксованої точки с. визначення:Будемо говорити, що функція зростає (убуває) в точці з, якщо знайдемо точки околиці точки з в межах якої f (x) визначення: Будемо говорити, що функція має в точці слокальний максимум (локальний мінімум),, якщо знайдемо точки околиці точки з в межах якої значення f (c) є найбільшим (найменшим) серед всіх значень f (x) цієї функції. визначення: Будемо говорити, що функція має в точці слокальний екстремум, якщо ця функція має в зазначеній точці або локальний максимум, або локальний мінімум. теорема: (Достатня умова зростання або спадання функції в точці) якщо функція диференційована в точці сі її похідна в цій точці позитивна (негативна), то функція зростає (убуває) в точці с. докази: Проведемо всі міркування для випадку (при розглядається аналогічно). за визначенням похідної На підставі визначення зрадила функції по Коші для позитивного числа знайдеться така, що при Розкривши модуль отримаємо , при , Таким чином, усюди в проколеної - Околиці точки с . а це означає, що всюди в межах - Околиці точки сf (x)> f (c) при x> c c і f (x)> f (c) при x при розглядається аналогічно. Зауважимо, що позитивність (негативність) похідною не є необхідною умовою зростання (зменшення) диференціюється в точці с функції . наприклад функція зростає в точціз = 0 , В той час похідна цієї функції наближається до нуля в точці з = 0 . теорема: (Необхідна умова локального екстремуму диференціюється в даній точці функції). якщо функція диференційована в точці с і має в цій точці локальний екстремум, то . докази:За умовою теореми існує кінцева похідна так як функція має в точці слокальний екстремум, то вона не може в цій точці сні зростати, ні спадати. отже похідна не може бути ні позитивної, ні негативної. тим самим доведено, що . доведена теорема має простий геометричний зміст. Вона стверджує, що якщо в точці локального екстремуму, існує дотична, то ця дотична паралельна осі Ox. звернення в нуль похідної є лише необхідною і не є достатньою умовою локального екстремуму. Арифметичні операції над неперервними функціями. | Теорема Ролля про нулі похідної.
Площа поверхні тіла обертання | Довжина дуги, задана параметрично. | Обчислення довжини кривої в полярній системі координат. | Формула середнього значення. | Формула Ньютона - Лейбніца. | Заміна змінної в певному інтегралі. | Класи інтегрованих функцій. | Властивості інтегрованих функцій. | Інтегрування біномного диференціала. | Інтегрування дробово-лінійних иррациональностей. | |