На головну

 Основні позначення |  Діаграми (кола) Ейлера-Венна |  Властивості бінарних відносин |  Еквівалентність і порядок |  Операції над бінарними відносинами |  Відповідності та їх властивості. Основні визначення |  Функції та відображення |  операції |  Гомоморфізми і ізоморфізми |  Підручники і навчальні посібники |

Вектори, прямі твори, проекції векторів

  1.  A. Векторний добуток двох векторів
  2.  А) або основна матриця системи буде складатися з одиничних векторів (СЛР має єдине рішення, вона сумісна і визначена);
  3.  Алгоритми виконання операцій з множинами, проекції, зовнішнього з'єднання.
  4.  Аналітичні і статистичні моделі. Прямі та обернені задачі.
  5.  Б) Скалярний добуток векторів.
  6.  База і ранг системи векторів. Базис і розмірність векторного підпростору, породженого системою векторів
  7.  Базис і розмірність простору вільних векторів

Основні поняття векторних уявлень:

вектор v - Упорядкований набір елементів

v= (a1, a2, ..., an),

де a1, a2, ..., an - компоненти (координати) Вектора. число n кому-тами називається довжиною (розмірністю) Вектора.

Два вектора v1= (a1, a2, ..., an) і v2= (b1, b2, ..., bm) рівні:

(a1, a2, ..., an) = (b1, b2, ..., bm)

якщо: 1) n=m; 2) a1=b1, a2=b2, ..., an=bm.

пряме (декартово) твір множин:

A1?A2'...'An= {(a1, ...,an) | a1IA1, ..., anIAn},

якщо A1=A2= ... =An=A, то A1?A2'...'An=An.

Потужність прямого твори множин A1, A2, ..., An:

|A1?A2'...'An| = |A1| ? |A2| ? ... ? |An|.

Способи завдання прямого твори множин A1?A2'...'An- Аналогічні способам завдання множин з тією різницею, що потрібно завдання кожного безлічі A1, A2, ..., An прямого твори.

Операції над множинами векторів (даного прямого виробленою ня) - об'єднання, перетин, різницю, доповнення - Аналогічні відповідним операціям над множинами елементів.

Операції над вектором v довжини n: v= (a1, a2, ..., an).

Проекція вектора v на i-ю вісьпрi v=ai.

Проекція вектора v на осі з номерами i1, i2, ..., ik:

 де i1<i2<... <ik.

Операції над безліччю векторів V довжини n: v= (a1, a2, ..., an), vIV.

Проекція безлічі векторів V на i-ю вісь:

прiV= {Інi v; vIV}.

Проекція безлічі векторів V на осі з номерами i1, i2, ..., ik:

= vIV}.

Зокрема, якщо V=  , то

Операції над упорядкованим безліччю векторів V довжини n: V= {v1, v2, ..., vm}, v= (a1, a2, ..., an).

Проекція впорядкованої множини векторів V на i-у вісь:

Проекція впорядкованої множини векторів V на осі з номі-рами i1, i2, ..., ik:

Крім того, над векторами v однакової довжини n можливе виконання різних операцій порівняння, Що задаються тими чи іншими правилами порівняння векторів:

Правило 1 порівняння векторів за бажанням:

нехай V - Безліч векторів довжини n, Компонентами яких є числа. вектор a= (a1, a2, ..., an) Не менше кращий, ніж вектор b= (b1, b2, ..., bn) (позначення a b), Якщо компоненти вектора a не менш відповідних компонент вектора b, Тобто .:

а b, якщо a1?b1, a2?b2, ..., an?bn.

Приклад 1.Нехай при попередньому відборі претендентів на вакантну посаду кадрову службу організації цікавлять наступним критеріям:

A1 - підлога; A1= {Жін., Мужск.};

A2 - Вік (років); A2= {18, 19, ..., 35};

A3 - освіта; A3= {Середнє, незакінчена вища, вища};

A4 - Загальний стаж роботи (років); A4= {0, 1, 2, ..., 15, понад 15};

A5 - Стаж роботи менеджером (років); A5= {0, 1, 2, ..., 10, більше 10};

A6 - знання англійської мови; A6= {Не володіє, зі словником, вільно};

A7 - володіння комп'ютером; A7= {Комп'ютер, немає};

A8 - сімейний стан; A8= {Неодружений (незаміжня), одружений (заміжня)};

Опишіть векторно двох претендентів:

а) Іванова 23 років, закінчив МІФІ, що володіє англійською зі словником, однак не має стажу роботи за фахом менеджера, неодруженого;

б) Петрова 27 років, закінчив Міжнародний університет 3 роки тому і пропрацював далі менеджером в комерційній фірмі, що вільно володіє двома іноземними мовами, в тому числі, англійською, одруженого.

Визначте проекції отриманих векторів на осі з номерами: 2, 5, 6, 7.

При зазначеній послідовності характеристик векторні опису претендентів:

а = (мужск., 23, вища, 5, 0, зі словником, комп'ютер, неодружений),

б = (мужск., 27, вища, 7, 3, вільно, комп'ютер, одружений).

Проекції отриманих векторів на осі (характеристики) з номі-рами 2, 5, 6, 7:

пр2, 5, 6, 7а = (23, 0, зі словником, комп'ютер);

пр2, 5, 6, 7б = (27, 3, вільно, комп'ютер).

Приклад 2.нехай V= {(a, b, d), (c, b, d), (d, b, b)}. Чому рівні проекції V на першу вісь, на другу, а також на другу і третю? Чому рівні проекції V на ці осі, якщо V - Впорядковане (вказано-ним вище чином) безліч векторів V?

Проекції безлічі векторів V:

пр1V= {a, c, d}; пр2V= {b}; пр2,3V= {(b, d), (b, b)}.

Проекції впорядкованої множини векторів V= ((a, b, d), (c, b, d), (d, b, b)):

пр1V= (a, c, d); пр2V= {b, b, b}; пр2,3V= ((b, d), (b, d), (b, b)).

Приклад 3.нехай V= {(a, b), (b, c, d), (c, a, d)}. Чому дорівнює проекція ін1V?

проекція ін1V не може бути визначена, так як задано мно-дружність V векторів різної довжини.

Приклад 4.нехай X= {0, 1}, Y= {a, b}. знайти X?Y, Y?X, X2, X?Y?X.

X?Y= {(0, a), (0, b), (1, a), (1, b)}.

Y?X= {(a, 0), (b, 0), (a, 1), (b, 1)}.

Таким чином, X?Y?Y?X.

X2= {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.

X?Y?X= {(0, a, 0), (0, a, 1), (0, b, 0), (0, b, 1), (1, a, 0), (1, a, 1), (1, b, 0), (1, b, 1)}.

Приклад 5.Проілюструвати на конкретному прикладі твердження: якщо AIX и BIY, то А?BIX?Y.

нехай A= {a}, X= {a, b}, Тобто AIX, і B= {1, 2}, Y= {1, 2, 3}, тобто BIY. тоді: А?B= {(a, 1), (a, 2)};

X?Y= {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} = {(a, 1), (a, 2)} E {(a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} = [А?B] E {(a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} = X?Y.

Таким чином, А?BI X?Y.

Приклад 6.нехай A - алфавіт, Тобто кінцеве безліч, елементами якого є символи (Літери, цифри, знаки пунктуації, знаки операцій і т.д.). Словом довжини n в алфавіті А (Позначається послідовністю з n символів без дужок і ком) називають будь-який елемент безлічі An. У цьому визначенні слово представлено як вектор. Безліч всіх слів в алфавіті A - Це безліч A * : A * =A1EA2EA3E ...

Нехай тепер алфавіт A складається з трьох символів, наприклад: A= {a, b, c}. Визначити безліч всіх слів довжини 1, 2, 3, 4 в алфавіті A.

Безліч всіх слів довжини 1:

A1= {a, b, c}, |A1| = 3.

Безліч всіх слів довжини 2:

A2=А?A= {aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc}, |A2| = 9 = 32.

Безліч всіх слів довжини 3:

A3=А?A?A= {aaa, aab, aac, aba, ..., ccc}, |A3| = 27 = 33.

Безліч всіх слів довжини 4:

A4=А?A?A?A= {aaaa, aaab, aaac, aaba, ..., cccc}, |A4| = 81 = 34.

Очевидно, що |An| = |A |n.

Приклад 7.Нехай при порівнянні п'яти варіантів рішень a, b, c, d, e за чотирма характеристиками-критеріям X, Y, Z, U отримані наступних щие векторні оцінки кожного варіанту:

V= {(2, 3, 1, 2), (3, 3, 1, 2), (2, 2, 2, 2), (3, 2, 1, 2), (2, 3, 2, 2 )}.

Використовуючи правило 1 порівняння векторів за бажанням, визначити найкращі векторні оцінки і відповідні їм варіанти рішень.

Відповідно до правила 1 виконаємо попарне порівняння векторних оцінок з V. При порівнянні першої векторної оцінки з другої остання виявляється не менш кращою, а саме:

(2, 3, 1, 2)  (3, 3, 1, 2).

Тому подальше порівняння першої векторної оцінки з усіма іншими можна не виконувати і далі її не розглядати. Решта векторні оцінки:

V'= {(3, 3, 1, 2), (2, 2, 2, 2), (3, 2, 1, 2), (2, 3, 2, 2)}.

В отриманому списку V'Векторних оцінок перша порівнянна за правилом 1 тільки з третьої цього списку:

(3, 3, 1, 2)  (3, 2, 1, 2).

Це дозволяє відкинути третю векторну оцінку в V'Як менш бажану. Новий список векторних оцінок:

V'' = {(3, 3, 1, 2), (2, 2, 2, 2), (2, 3, 2, 2)}

У новому списку V'' Порівнянними за правилом 1 виявляються тільки останні дві оцінки:

(2, 2, 2, 2)  (2, 3, 2, 2).

Решта дві векторні оцінки

V'' '= {(3, 3, 1, 2), (2, 3, 2, 2)}

непорівнянні за правилом 1, тобто ніякий з них не можна віддати перевагу по даному правилу. Тому їх слід визнати кращими серед векторних оцінок вихідного списку V.

Таким чином, найкращими за правилом 1 порівняння векторів за бажанням виявилися друга і остання векторні оцінки вихідного списку V, І відповідні їм варіанти рішень {b, e} Слід також визнати найкращими з урахуванням оцінок, отриманих ними за критеріями Х, Y, Z, U.

Зауважимо, що отримане з використанням правила 1 безліч MП= {b, e} Найкращих і непорівнянних варіантів рішень називають в теорії прийняття рішень областю компромісів, або безліччю парето-оптимальних рішень.

Питання для самоперевірки та вправи:

1. визначити проекції vпр1 v, пр3 v, пр1,3 v, Якщо:

а) v= (2, 3, 1, 1); б) v= (2, 2, 3, 1).

2. Визначити проекції безлічі векторів Vпр1V, пр3V, пр1,3V, Якщо:

а) {(2, 3, 1, 1), (2, 2, 3, 1), (1, 2, 3, 1)};

б) {(1, 3, 5), (2, 4, 6), (3, 5, 7)}.

3. нехай X= {a, c}, Y= {a, d, f}. знайти X?Y, Y2, Y?X?Y.

4. нехай A1=A2= {a, b, c}, A3=A4= {d, e} і V=A1?A2?A3?A4. Знайти: пр1V, пр1,3V.

5. Порівняти векторні оцінки безлічі V= {(3, 1, 2, 3), (2, 2, 1, 3), (1, 2, 3, 2), (3, 1, 2, 2), (1, 2, 2, 3 ), (3, 2, 3, 2), (2, 2, 2, 2), (2, 3, 1, 3)} з використанням правила 1 порівняння векторів за бажанням і визначити підмножина V'Найкращих - парето-оптимальних - векторних оцінок, V'IV.

 



 докази |  Бінарні відносини. Основні визначення
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати