На головну

 Прийом логарифмічного диференціювання. Похідна функції з будь-яким речовим показником |  Диференціали вищих порядків |  Формула Тейлора |  Теорема (теорема Ферма). |  Правило Лопіталя. |  Ознака монотонності функції. |  Локальний екстремум функції. |  Перше достатня умова локального екстремуму |  Друге достатня умова екстремуму |  Пон. опуклості-угнутості. |

Доведення.

  1.  Глава 4. Соціальне доказ.
  2.  Глава 4. Соціальне доказ. Істина - це ми
  3.  Доведення.
  4.  Доведення.
  5.  Доведення.
  6.  Доведення.

Введемо в розгляд допоміжну функцію на [a, b]

Функція F (х) задовольняє всім трьом умовам теореми Ролля:

1) F (x) неперервна на [a, b] (як різниця двох неперервних функцій f (x) і лінійної функції

.2) F (x) 'дифференцируема на, (а; b) ,. т. е. усередині [a, b] має похідну, рівну

Отже, за теоремою Ролля існує точка сI (а, b) така, що  . Звідси отримуємо '

Теорема доведена.

Встановимо геометричний смися теореми Лагранжа, Нехай  -кінців графіка функції f (x),АВ - Хорда, що з'єднує точки А і В. Тоді відношення  одно тангенсу кута  між хордою АВ і Оськой »ОХ, т. е.  а похідна f '' (c), як відомо, дорівнює тангенсу кута a між кaсательной до графіка функції f в точці (с, f (с)) і позитивним напрямом осі ОХ, т. е. . Тому

,Таким чином геометричний сенс теореми Лагранжа полягає в наступному: на кривій, що є графіком функції у = f (x), задовольняє умовам теореми Лагранжа, існує точка с (с, f (с)) (по крайней мере, одна), в якій дотична паралельна хорді АВ. Відзначимо, що рівність  називається формулою Лагранжа або формулою кінцевих збільшень. Ця формула важлива тим, що вона пов'язує приріст функції на кінцевому відрізку з похідною функції на цьому відрізку. Так як точка лежить між точками a і b, то з =  , де  , З огляду на зто, формулу Лагранжа можна записати у вигляді  . якщо покласти  , То отримаємо  Такий запис формули Лагранжа часто буває зручніше, ніж первай-Формула Лагранжа може бути представлена ??і у вигляді  Таким чином, вона справедлива не тільки при а , Але і при а>b

 



 Доведення. |  Доведення.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати