На головну

 Завдання для самостійного рішення |  Поняття випадкової величини |  Основні властивості функції розподілу |  Завдання для самостійного рішення |  Числові характеристики дискретних випадкових величин |  щільність розподілу |  Завдання для самостійного рішення |  Числові характеристики неперервних випадкових величин |  Завдання для самостійного рішення |  Рівномірний розподіл |

Нормальний розподіл

  1.  B) розподіл і виробництво
  2.  BB.3.3.2 Нелінійне розподіл моменту
  3.  I. Розподіл навчального часу за темами та видами
  4.  II. Розподіл смуг радіочастот між радіослужбами 1 сторінка
  5.  II. Розподіл смуг радіочастот між радіослужбами 2 сторінка
  6.  II. Розподіл смуг радіочастот між радіослужбами 3 сторінка
  7.  II. Розподіл смуг радіочастот між радіослужбами 4 сторінка

Нормальним розподілом, або розподілом Гаусса, називається розподіл з щільністю ймовірностей

 , (65)

де a - математичне очікування;

 - Середньоквадратичне відхилення.

Графік функції P(x) Називають нормальної кривої (рис. 2.9) a = 3, s = 1.

Мал. 2.9

Ймовірність влучення значень нормальної випадкової величини X в інтервал  визначається формулою

 , (66)

де  - Функція Лапласа.

Функція Лапласа описується наступною формулою:

 . (67)

Імовірність того, що абсолютна величина відхилення менше позитивного числа  відбивається формулою

 . (68)

Зокрема, при а = 0: .

нехай ,  . при t = 3,  , то

 . (69)

Отримана формула виражає правило трьох сигм.

при a = 0 і s = 1 щільність розподілу набуде вигляду:

 . (70)

Розподіл ймовірностей називається нормованим або стандартним, А графік функції - нормованої кривої (Рис. 2.10).

Мал. 2.10

Числові характеристики для нормальної випадкової величини Х наступні: M(X) = a, D(X) = S2, .

Приклад 2.20. Випадкова величина X розподілена за нормальним законом, причому M(X) = 10. Знайти P(0 < X <10), якщо відомо, що P(10 < X <20) = 0,3.

Рішення. За умовою a = M(X) = 10.

 отже .

Приклад 2.21. Вага спійманої риби підпорядковується нормальному закону розподілу з параметрами a = 375 г, s = 25 г. Знайти ймовірність того, що вага однієї риби буде: а) від 300 до 425 г; б) не більше 450 г; в) більше 300 м

Рішення:

а) при  і b = 425 ймовірність дорівнює:

б) при X <450:

в при X > 300:

Приклад 2.22. При вимірюванні деталі виходять випадкові помилки, підлеглі нормальному закону із середнім квадратичним відхиленням, рівним 10 мм. Яка ймовірність того, що вимір зроблено з помилкою, що не перевищує 15 мм?

Рішення. Для розрахунку використовуємо формулу (68) з урахуванням того, що за умовою d = 15 і s = 10.

.

Приклад 2.23. Автомат виготовляє підшипники, які вважаються придатними, якщо відхилення X від проектного розміру по модулю не перевищує 0,77 мм. Яке найбільш ймовірне число придатних підшипників з 100, якщо випадкова величина X розподілена нормально з параметром s = 0,4 мм?

Рішення. За умовою .

вважаючи наближено p = 0,95 і q = 0,05, відповідно до нерівністю  , при n = 100 знаходимо:

; .

Звідси k0 = 95.

Приклад 2.24. Верстат-автомат виготовляє валики, контролюючи їх діаметри X. Випадкова величина X розподілена нормально, з параметрами a = 10 мм, s = 0,1 мм. Знайти інтервал, в якому з ймовірністю 0,9973 будуть укладені діаметри виготовлених валиків.

Рішення.  , Потрібно знайти інтервал  . По таблиці значень функції Лапласа знаходимо, що  , Це випливає з рівності  , D = 3s =
 = 3 · 0,1 = 0,3.

з нерівності  отримуємо наступне:

Отже, шуканий інтервал: 9,7 < X <10,3.

Приклад 2.25. Лінія зв'язку обслуговує 1000 абонентів. Кожен абонент розмовляє в середньому 6 хвилин на годину. Скільки каналів повинна мати лінія зв'язку, щоб з практичної вірогідністю можна було стверджувати, що не відбудеться жодної втрати виклику?

Рішення. Імовірність виклику для кожного абонента дорівнює , q = 1 - p = 0,9, тому a = np = 1000 · 0,1, s =
= .

Відповідно до формули (69), практично достовірно, що

.

Звідси ; ; .

Для практично безвідмовної роботи лінії зв'язку досить мати 130 каналів.



 Завдання для самостійного рішення |  Завдання для самостійного рішення
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати