На головну

 Рівняння, що допускають зниження порядку |  Лінійні диференціальні рівняння другого порядку. Фундаментальна система рішень. |  Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. |  Числові ряди. Сума ряду. Необхідна ознака сходімісті. |  визначення |  Необхідна ознака збіжності ряду |  Достатні ознаки збіжності. Ознаки порівняння. |  Достатні ознаки збіжності. Ознаки Доламбера і Коші. |  Доведення |  ознака |

Знакозмінний ряд. Ознака Лейбніца.

  1.  I. Ознаки порівняння рядів
  2.  I. Спілкування і культура мови. Ознаки культури мовлення.
  3.  IV. Інтегральний ознака Коші
  4.  V. Ознаки одержимості дияволом
  5.  XV. Е. Трейсман. Теорія інтеграції ознак.
  6.  А темні окультисти навчаються з найперших кроків читати ознаки людських пристрастей і розбиратися в ступені дратівливості людини.
  7.  Акти правотворчості. Поняття, ознаки та види нормативно-правових актів.

знакозмінні ряди

Визначення 5. Числові ряди, що містять як позитивні, так і негативні члени, називаються знакозмінними рядами.

Ряди, всі члени яких негативні числа, не уявляють нового в порівнянні з знакоположітельнимі рядами, так як вони виходять множенням знакоположітельних рядів на -1.

Вивчення знакозмінних рядів почнемо з окремого випадку - Знакозмінні рядів.

Визначення 6. Числовий ряд виду u1-u2+ u3-u4+ ... + + (-1)n-1.un+..., Де un - Модуль члена ряду, називається Знакозмінні числовим рядом.

Теорема 9. (Ознака Лейбніца)

Якщо для Знакозмінні числового ряду

 (19)

Виконуються дві умови:

Члени ряду зменшуються по модулю u1>u2> ...>un> ...,

то ряд (19) сходиться, причому його сума позитивна і не перевищує першого члена ряду.

Доведення. Розглянемо часткову суму парного числа членів ряду S2n=(u1-u2) + (U3-u4) + ... + (U2n-1-u2n).

За умовою u1>u2> ...>u2n-1>u2n, Тобто все різниці в дужках позитивні, отже, S2n зростає зі зростанням n и S2n> 0 при будь-якому n.

З іншого боку S2n=u1- [(U2-u3) + (U4-u5) + ... + (U2n-2-u2n-1) + U2n]. Вираз у квадратних дужках позитивно і S2n> 0, тому S2n<u1 для будь-якого n. Таким чином, послідовність часткових сум S2n зростає і обмежена, отже, існує кінцевий S2n=S. При цьому 0 <S?u1.

Розглянемо тепер часткову суму непарного числа членів ряду S2n+1=S2n+u2n+1. Перейдемо в останній рівності до границі при n > ?: S2n+1= S2n+ u2n+1= S +0= S. Таким чином, часткові суми як парного, так і непарного числа членів ряду мають один і той же межа S, тому Sn=S, Тобто даний ряд сходиться. Теорема доведена.

Приклад.

Дослідити на збіжність ряд

Застосуємо ознаку Лейбніца.

un= >un+1=

un=

Обидва умови ознаки Лейбніца виконуються, отже, ряд сходиться.

Зауваження.

1. Теорема Лейбніца справедлива і якщо умова un> un+1 виконується, починаючи з деякого номера N.

2. Умова un> un+1 не є необхідним. Ряд може сходитися, якщо воно не виконується. Наприклад, ряд
сходиться, як різниця двох збіжних рядів хоча умова un> un+1 не виконується.

визначення 8. Якщо знакозмінний ряд сходиться, а ряд, складений з абсолютних величин членів цього ряду, розходиться, то кажуть, що знакозмінний ряд сходиться умовно.

визначення 9. Якщо сходиться і сам знакозмінний ряд і ряд, складений з абсолютних величин його членів, то кажуть, що знакозмінний ряд сходиться абсолютно.

приклад.

Встановити характер збіжності ряду

Очевидно, що даний ряд сходиться за ознакою Лейбніца. дійсно: и un=

Ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду є розбіжним гармонійним рядом. Тому даний ряд сходиться умовно.

 



 Доведення |  Статечної ряд. Область збіжності.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати