На головну

 Послідовності і їх межі. |  Похідна функції. | |  точки розриву |  Диференціал функції. |  Екстремуми функції. |  еластичність функції |  Первісна та невизначений інтеграл. Властивості. |  Диференціальні рівняння вищих порядків, що допускають зниження порядку. |  Рівняння, що допускають зниження порядку |

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку.

  1.  I Диференціальні рівняння.
  2.  I-го порядку.
  3.  I. Диференціальні рівняння 1-го порядку.
  4.  I. Розрахунки за рівняннями реакцій
  5.  II. Диференціальні рівняння вищих порядків.
  6.  S: Загальне рішення диференціального рівняння має вигляд
  7.  А. Ланцюг першого порядку.

Розглянемо ЛНДУ другого порядку

де  - Задані, безперервні на (а; b) функції. рівняння

ліва частина якого збігається з лівою частиною ЛНДУ (5.1), називається відповіднимйомуоднорідним рівнянням.

Теорема 5.1 (структура загального рішення ЛНДУ). Спільним рішенням у рівняння (5.1) є сума його довільного приватного рішення у * і спільного рішення  відповідного однорідного рівняння (5.2), т. е.

Переконаємося, що функція (5.3) - рішення рівняння (5.1). Так як у * є рішення рівняння (5.1), а  - Рішення рівняння (5.2), то

У такому випадку маємо:

Це означає, що функція  є рішенням рівняння (5.1).

Покажемо тепер, що функція

є загальним розв'язком рівняння (5.1). Для цього треба довести, що з рішення (5.4) можна виділити єдине приватне рішення, яке задовольняє заданим початковим умовам

Продифференцировав функцію (5.4) і підставивши початкові умови (5.5) в функцію (5.4) і її похідну, отримаємо систему рівнянь:

де уо= У (хо), У '0= Y '(x0), З невідомими c1 і з2. Визначником цієї системи є визначник Вронського W (x0) Для функції y1(X) і у2(Х) в точці х = хо. функції y1(X) і у2(Х) лінійно незалежні (утворюють фундаментальну систему рішень), т. Е.  Отже, система має єдине рішення: c1= з01 і з2= з02.

Рішення  є приватним рішенням рівняння (5.1), що задовольняє заданим початковим умовам (5.5). Теорема доведена.

 



 Лінійні диференціальні рівняння другого порядку. Фундаментальна система рішень. |  Числові ряди. Сума ряду. Необхідна ознака сходімісті.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати