На головну

 Числова, способи завдання, властивості. |  Послідовності і їх межі. |  Похідна функції. | |  точки розриву |  Диференціал функції. |  Екстремуми функції. |  еластичність функції |  Первісна та невизначений інтеграл. Властивості. |  Диференціальні рівняння вищих порядків, що допускають зниження порядку. |

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку. Фундаментальна система рішень.

  1.  A) збігається решеточная система б) Взаємно протилежна решеточная
  2.  I Диференціальні рівняння.
  3.  I. Диференціальні рівняння 1-го порядку.
  4.  I. Розрахунки за рівняннями реакцій
  5.  I. Система граматичних часів в пасивному стані
  6.  II. Богословська система
  7.  II. Глобальна система.

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку

Диференціальне рівняння другого порядку має вигляд .

Визначення. Спільним рішенням рівняння другого порядку називається така функція , Яка при будь-яких значеннях и  є вирішенням цього рівняння.

Визначення. Лінійним однорідним рівнянням другого порядку називається рівняння . якщо коефіцієнти и  постійні, тобто не залежить від , То це рівняння називають рівнянням з постійними коефіцієнтами і записують його так: .

рівняння  будемо називати лінійним неоднорідним рівнянням.

Визначення.рівняння , Яке виходить з лінійного однорідного рівняння заміною функції  одиницею, а и - Відповідними ступенями , Називається характеристичним рівнянням.

Відомо, що квадратне рівняння  має рішення, залежне від дискримінанту : , Тобто якщо , То коріння и - Дійсні різні числа. якщо , то . Якщо ж , Тобто , то  буде уявним числом, а коріння и - Комплексними числами. В цьому випадку домовимося позначати .

Приклад 4.Вирішити рівняння .

Рішення. Дискримінант цього квадратного рівняння , тому .

Покажемо, як з вигляду коренів характеристичного рівняння знайти спільне рішення однорідного лінійного рівняння другого порядку.

якщо - Дійсні корені характеристичного рівняння, то .

Якщо корені характеристичного рівняння однакові, тобто , То загальне рішення диференціального рівняння шукають за формулою  або .

Якщо ж характеристичне рівняння має комплексні корені , то .

Приклад 5. Знайти спільне рішення рівняння .

Рішення.Складемо характеристичне рівняння для даного диференціального рівняння: . його коріння ,  дійсні і різні. Тому спільне рішення .

Фундаментальна система розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння. Теорема про структуру загального рішення рішень лінійного однорідного диференціального рівняння. У цьому розділі ми доведемо, що базисом лінійного простору приватних рішень однорідного рівняння може служити будь-який набір з n його лінійно незалежних рішень.
 Опр. 14.5.5.1. фундаментальної системи рішень. Фундаментальною системою рішень лінійного однорідного диференціального рівняння n-го порядку називається будь-яка лінійно незалежна система y1(x), y2(x), ..., yn(x) його n приватних рішень.
 Теорема 14.5.5.1.1 про структуру спільного рішення лінійного однорідного диференціального рівняння. Загальне рішення y(x) Лінійного однорідного диференціального рівняння є лінійна комбінація функцій з фундаментальної системи рішень цього рівняння:
y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x).
 Док-во
. нехай y1(x), y2(x), ..., yn(x) - Фундаментальна система розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння. Потрібно довести, що будь-яка приватна рішення yчо(x) Цього рівняння міститься у формулі y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) При деякому наборі постійних C1, C2, ..., Cn. Візьмемо будь-яку точку  , Обчислимо в цій точці числа  і знайдемо постійні C1, C2, ..., Cn як рішення лінійної неоднорідної системи алгебраїчних рівнянь
 Таке рішення існує і єдино, так як визначник цієї системи дорівнює  . Розглянемо лінійну комбінацію y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) Функцій з фундаментальної системи рішень з цими значеннями постійних C1, C2, ..., Cn і порівняємо її з функцією yчо(x). функції y(x) і yчо(x) Задовольняють одного рівняння і однаковим початковим умовам в точці x0, Отже, по єдиності рішення задачі Коші, вони збігаються: yчо(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x). Теорема доведена.
 З цієї теореми випливає, що розмірність лінійного простору приватних рішень однорідного рівняння з безперервними коефіцієнтами не перевищує n. Залишилося довести, що ця співвідношення не менше n.
 Теорема 14.5.5.1.2 про існування фундаментальної системи рішень лінійного однорідного диференціального рівняння.Будь-яке лінійне однорідне диференціальне рівняння n -го порядку з безперервними коефіцієнтами має фундаментальну систему рішень, тобто систему з n лінійно незалежних рішень.
 Док-во. Візьмемо будь-який числовий визначник n -го порядку, що не рівний нулю

.  Візьмемо будь-яку точку  і сформулюємо для рівняння (21) n задач Коші, причому початкові умови в точці x0 для i-ої завдання візьмемо з i-го стовпця цього визначника:
Ln(y1) = 0; Ln(y2) = 0; Ln(yn) = 0;
         

 нехай y1(x), y2(x), ..., yn(x) - Вирішення цих завдань. Ця система лінійно незалежна на (a, b), Так як її визначник Вронського в точці x0 дорівнює взятому числовому определителю і відмінний від нуля, отже, це фундаментальна система рішень. Теорема доведена.

 Отже, ми довели, що розмірність лінійного простору приватних рішень однорідного рівняння з безперервними коефіцієнтами дорівнює n, І базисом в цьому просторі служить будь-яка фундаментальна система рішень. Загальне рішення такого рівняння одно лінійної комбінації функцій з фундаментальної системи рішень. Залишається питання - як знаходити фундаментальну систему рішень; виявляється, що в загальному випадку це можливо тільки в разі рівняння з постійними коефіцієнтами. Ми займемося цим далі; попередньо розглянемо ще ряд властивостей рішень однорідного рівняння.

 



 Рівняння, що допускають зниження порядку |  Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати