Головна |
Послідовності і їх межі.Якщо кожному значенню n з натурального ряду чисел 1,2, ..., n, ... ставиться у відповідність за певним законом деякий дійсне число xn, то безліч занумерованих дійсних чисел x1, x2, ..., xn, ... (1) ми і будемо називати числовою послідовністю або просто послідовністю. визначення. Послідовність {xn} називають обмеженої зверху (Знизу), якщо існує дійсне число М (дійсне число m) таке, що кожної елемент цієї послідовності xn задовольняє нерівності xn М (xn> m). При цьому число М (число m) називають верхньою межею (нижньою гранню) послідовності {xn}, а нерівність xn м (xn> m) називають умовним обмеженням цієї послідовності зверху (знизу). визначення. Послідовність {xn} називається обмеженою по обидва боки (або просто обмеженою), якщо вона обмежена і зверху, і знизу, тобто. е. якщо існують два дійсних числа M і m такі, що кожен елемент цієї послідовності xn задовольняє нерівностям m При цьому числа m і М називають відповідно нижньої і верхньої гранями послідовності {xn}, а нерівності (2) називають умовно обмеженою послідовністю. Послідовність {xn} є обмеженою тоді і тільки тоді, коли існує позитивне дійсне число А таке, що кожен елемент послідовності xn задовольняє нерівності: | xn|? А. (3) Послідовність {xn} називає необмеженої, якщо для будь-якого позитивного дійсного числа А * знайдеться хоча б один елемент послідовності xn, що задовольняє нерівності | xn|> А *. (4) 4. межа функції. властивості меж. Межа функції в заданій точці, граничної для області визначення функції, - така величина, до якої прагне розглянута функція при прагненні її аргументу до даного пункту. Межа функції є узагальненням поняття границі послідовності: спочатку, під межею функції в точці розуміли межа послідовності елементів області значень функції, складеної з образів точок послідовності елементів області визначення функції, що сходиться до заданої точки (межа в якій розглядається); якщо така межа існує, то говорять, що функція сходиться до зазначеного значенням; якщо такої межі не існує, то говорять, що функція розходиться. Якщо в деякій точці області визначення функції існує межа і ця межа дорівнює значенню в даній функції, то функція виявляється безперервної (в даній точці). види: Межа функції по Гейне Межа функції по Коші Окрестностное визначення по Коші Межа по базі множин Властивості меж числових функцій Нехай дано функції и . § Одна і та ж функція в одній і тій же точці може мати тільки один межа. Доведення[Показати] § Збіжна функція локально зберігає знак. Більш загально, де - Проколота околиця точки a. § Зокрема, функція, що сходиться до позитивного (негативного) межі, залишається позитивною (негативної) в деякому околі граничної точки: § Збіжна функція локально обмежена в околиці граничної точки: § віддільного від нуля функцій, що мають межу, відмінний від нуля. § Операція взяття межі зберігає несуворі нерівності. § Правило двох міліціонерів § Межа суми дорівнює сумі меж: § Межа різниці дорівнює різниці меж: § Межа твори дорівнює добутку меж: § Межа приватного дорівнює приватному меж. Числова, способи завдання, властивості. | Похідна функції.
Числові множини, операції над множинами. | | точки розриву | Диференціал функції. | Екстремуми функції. | еластичність функції | Первісна та невизначений інтеграл. Властивості. | Диференціальні рівняння вищих порядків, що допускають зниження порядку. | Рівняння, що допускають зниження порядку | Лінійні диференціальні рівняння другого порядку. фундаментальна система рішень. | |