На головну

 Скалярний добуток. Координатна форма скалярного твори. |  Векторний витвір. Координатна форма векторного твори. |  властивості |  Загальне рівняння площини |  Рівняння прямої у відрізках |  Рівняння прямої, що проходить через дві точки |  Рівняння прямої по точці і направляючої вектору |  Відстань від точки до прямої і від точки до площини |  Зведемо це рівняння в квадрат |  Кут між прямими на площині. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих на площині. |

Рішення.

  1.  A) Сформулюйте задачу за критерієм «максимум прибутку», побудуйте модель і знайдіть рішення.
  2.  IV. Скласти диференціальне рівняння і знайти рішення.
  3.  Диференціальне рівняння затухаючих коливань і його рішення. Диференціальне рівняння вимушених коливань і його рішення.
  4.  ДУ Бернуллі і його рішення.
  5.  Міжособистісні конфлікти, їх конструктивне вирішення.
  6.  Міжособистісні конфлікти, їх конструктивне вирішення.
  7.  Знаходимо початкове опорне рішення.

Рішення.

Розглянемо ще один приклад

Приклад 2.Нехай дано матриці:

Рішення.

віднімання матриці = -

Множення матриці на число . Твором матриці Am?n? ? наз-ся число матриці Bm?n=Am?n? ? = ? ? Am?n елементи якої  = ? *  Загальний множник всіх елементів матриці можна виносити за знак цієї матриць

Наприклад, нехай

Знайти результат множення матриці А  на число 4.

Множення матриці на матрицю. Твором матриці Аm?k на матрицю Bk?n називається матриця Cm?n кожен елемент якої  дорівнює сумі добутків елементів і -ої (ітой) рядки матриціАна відповідні елементи j-го (жітого) стовпчика матриці В , Т. Е. Cij= ai1 * b1j+ ai2 * b2j+ ... + Aik * bkj = = aisbsj

Зауваження: Умножати можна тільки узгоджені матриці. Дві матриці А і В називаються узгодженими, якщо число стовпців в першій матриці А дорівнює числу рядків у другій матриці В

приклад.

А =  ; В =

 2'32?2

А ? В - не сущ-і, т. До м-ці А і В не узгоджені (3 ? 2)

В ? А - узгоджені

2'2 2'3

В ? А = ? = =

Квадратні матриці одного порядку завжди узгоджені

Транспонування матриці. Am?n матриця отримана з матриці А , Заміною її рядків стовпцями без зміни порядку їх слідування наз-ся транспонованою до матриці А і позначаєтьсяАт

А = Ат=

2?33?2

зауваження: Матриця А називається симетричной, Якщо А = А , и кососімметрічной, якщо А = -А .

Зведення матриці в ступінь(Тільки для квадратних м-ц) Ап= А * А * А * ... * А

Питання 2. Визначники 2-го і 3-го порядків. властивості визначників.

визначник- Це число, яке визначається за деякою формулою

Визначник м-ці Апозначається det A або ¦A¦, ічи?. Понятіе визна-ля має сенс тільки для квадр-х м-ц.

1.Визна-м м-ці А першого порядку А = [aij] Наз-ся число aij ¦A¦ = aij (А =¦5¦, ¦A¦ = 5); (А =¦-3¦, ¦A¦ = -3)

2.Визна-м м-ці другого порядку А=  наз-ся число визна-е за формулою = -

властивості:

1. Визначник не зміниться при заміні всіх його рядків відповідними стовпцями: = .

2. Знак визначника змінюється на протилежний при перестановці рядків (стовпців) визначника:

 = - ,  = - .

3. Загальний множник всіх елементів рядка (стовпця) визначника можна винести за знак визначника:

=  або = .

4. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

5. Визначник дорівнює нулю, якщо відповідні елементи його рядків (стовпців) пропорційні:

 = 0,  = 0.

6. Якщо елементи одного рядка (стовпця) визначника дорівнюють сумі двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників: = + , = + .

7. Значення визначника не зміниться, якщо до елементів його рядки (шпальти) додати (відняти) відповідні елементи іншого рядка (стовпчика), помножені на одне і теж число :

= + =  , так як  = 0 по властивості 5.

3.Визна-м м-ці третього порядку наз. число кіт-е обчислюється за формулою

? = = + + - - - ,

питання 3. Мінори та алгебраїчні доповнення. Обчислення визначників за допомогою формул розкладу.

мінором Мij елемента aij наз-ся визна-ль, м-ці (n-1) -го порядку отриманий з м-ці А викреслюванням ітой рядки і жітого стовпчика,

приклад:А = ¦  ¦;

М23= ¦  ¦ = 1 * 1 - 2 * 7 = 13; а23= 4.

М12= ¦  ¦ = -2 * (-5) - 4 * 7 = -18 ; а12 = 2.; М22= ¦  ¦ = -5-21 = 26; а22= 0.

Алгебраїчним доповненням елемента  визначника  називається його мінор  , Взятий зі знаком  . Алгебраїчне доповнення будемо позначати , тобто = * .

(8 св-во визна-ля) Теорема Лапласа. Визначник квадратної м-ці А пго порядку дорівнює сумі всіх творів елементів довільної рядки (шпальти) з їхньої алгебраїчні доповнення

Розкладання по ел-там ітой рядки -¦А¦ =аi1 * А i1+ аi2 * А i2+ ... + Аin * А in

Розкладання за елементами жітого стовпчика - ¦А¦ = а1j * А1j + а2j * А2j + ... + аnj * Аnj

(9 св-вовизначника)теорема анулювання:сума всіх творів елементів одного рядка (стовпця) визначника на відповідні алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпчика) дорівнює нулю, тобто + +  = 0,

Визна-ль твори двох квадратних м-ц дорівнює добутку визначників цих квадратних матриць:

питання 4. Зворотній матриця і її обчислення.

квадратна матриця А порядку n називається новонародженої (неособенной), якщо її визна-ль НЕ дорівнює 0 ( det A ? 0);

в іншому випадку матриця наз-ся виражденной (особливою) (Det A = 0)

Зворотною м-цейдля квадратної м-ці А порядку n наз-ся м-ца , Якщо виконуються рівності  , де Е - Одинична матриця того ж порядку n, що і м-ца А

Теорема: Необхідна і достатня умова існування м-ці. Для того, щоб квадр-я ??м-ца Амала зворотний, необхідне й досить, щоб вона була виражденной.

Алгоритм знаходження оберненої матриці:

1) Обчислюємо визна-ль м-ці А. Якщо визна-ль м-ці А = 0, то зворотної м-ці не ім-ет. Якщо А ? 0, то  сущ-ет.

2) Будуємо м-цу  складену з алгебраїчних доповнень до м-ці А: .

3) Будуємо приєднувальну м-цу  до м-ці :  - ( )т= .

4) Знаходимо зворотну м-цу за формулою:

Необхідно зробити перевірку:

А * = Е

*  А = Е

Св-ва зворотного м-ці

1. ;

2. ;

3. .

питання 5. Ранг матриці. Обчислення рангу за допомогою елементарних перетворень.

Рангом r (A) м-ці А наз-ся макс-ий порядок її мінорів, відмінних від нуля. Мінором k-го (факторіального) порядку м-ці А наз-ся визна-ль k-го (факторіального) порядку, побудований з ел-тов м-ці А, які перебувають на перетині k рядків і k стовпців м-ці А. Базовим мінор м-ціназ-ся всякий відмінний від нуля мінор, порядок кіт-го = рангу даної м-ці. Ранг м-ці = 0 тоді, коли А - нульова м-ца.

приклад:Визначити ранг матриці А =

Рішення: Матриця А має порядок 3 ? 4, отже, ранг матриці 0 ? r (A) ? 3. Для визна-ня рангу спочатку знайдемо всі можливі мінори 3-го порядку: якщо хоча б один з них відмінний від нуля, отже, ранг м-ці А дорівнює трьом. Всього маємо 4 мінору 3-го порядку: , , ,

Т. к. Досить знайти серед них хоча б один, відмінний від нуля, то виберемо той мінор, який містить більшу кількість нульових елементів:  = 1 * (-1)3 + 2  = - (9-4) = -5? 0 ? r (A) = 3 ..

Даний мінор буде базисним для вихідної м-ці. якби всі наведені в прикладі мінори 3-го порядку виявилися = -ми 0, то це призвело б до розгляду миноров 2-го порядку. В цьому випадку ранг м-ці був би менше трьох. М-ці А і В наз-ться еквівалентними (А ~ В), якщо одна з них виходить з іншої з допомогою елементарних перетворень.

До елементарним перетворенням відносять:

1) перестановку місцями будь-яких двох рядків (стовпців) матриці;

2) множення кожного елемента рядка (стовпчика) на один і той же множник ? ? 0;

3) Додам-ие (вич-і) до ел-там рядки (шпальти) соотв-щих ел-тів іншого рядка (стовпчика), помноживши-х на один і той же множник.

Ранги еквівалентних м-ц збігаються, т. Е. Ранг м-ці не змінюється, якщо до м-ці застосувати елементарні перетворення 1-3. Якщо хоча б один ел-нт м-ці А  0, то ранг м-ці більше нуля. Таким чином, ранг є ще однією важливою характеристикою матриці. Мають місце наступні твердження:

1) якщо ранг м-ці А = k, то сущ-ет рівно k лінійно-незалежних рядків (стовпців), від кіт-х лінійно залежать всі інші рядки (стовпці), т. Е. Все решта рядка виражаються ч-з ці k лінійно-незалежних рядків;

2) макс-е число лінійно-незалежна-х рядків м-ці збігається з макс-им числом лінійно-незалежна-х стовпців і = рангу м-ці.

Питання 6. системи лінійних алгебраїчних рівнянь (ЛАУ). Матричний спосіб вирішення систем ЛАУ.

Системою m лінійних алгебраїчних рівняньс n невідомими x1 , x2 , ..., xn називається система виду:

(1) Дана система може бути записана в матричному вигляді АХ =В, (2)

де А =  є м-ца сис-ми (1), або м-ца коеф-тів;

Х =  є м-ца стовпець невідомих; В =  є м-ца стовпець вільних членів.

якщо В = 0, То система (1) називається однорідної, якщо ж В ? 0, то неоднорідною.

рішеннямсис-ми (1) наз. всяка сукупність чисел  , Кіт-я, будучи підставленої в сис-му, перетворює кожне її рівнян-ня в тотожність. Однак не кожна сис-ма ЛАУ має рішення. Якщо не суще-ет жодної сукупності значень  , Що задовольняє заданим рівнян-ям сис-ми, то сис-ма (1) наз несумісною. В іншому випадку, сис-ма (1) наз спільної. Спільна сис-ма може мати єдине реш-ие, або нескінченне множ-во реш-й.

Матричний м-д рішення систем ЛАУ. Якщо в сис-ме (1) m = n и detA ? 0 (М-ца невироджена), то для неї сущ-ет зворотна м-ца . Помножимо обидві частини рівності (2) зліва на : ?А ? Х= ?В Е ? Х= ?В, звідси Х = ?В. (3) Формула (3) явл-ся матричної записом реш-я сис-ми ЛАУ. Т. к. Зворотна м-ца  єдина, то сис-ма (1) має єдине реш-е. Таким чином для реш-я сис-ми ЛАУ матріч-м м-дом необх-мо знайти зворотну м-цу до м-ці А і помножити її зліва на стовпець вільних членів В

правило Крамера: Якщо м-ца А сис-ми ЛАУ НЕ виражденная, то сис-ма має єдине реш-е отримане за формулами:

Хi = , де ?-визна-ль м-ці А ;?i-опред-ль получ-й з визна-ля м-ці А заміною i-го стовпчика на стовпець вільних членів В

М-д Гаусса:Цей м-д можна использ-ть для реш-я будь-яких сис-м ЛАУв тому числі і тих, у кіт-х число рівнян-ний ? числу невідомих (т ? п)

Вопрос7. Теорема Кронекера-Капеллі про спільності системи ЛАУ.

Нехай дана матриця загального вигляду порядку m 'n:

А = .

Позначимо рядки матриці через ,  , ..., : = , =  , ..., =

нехай: = , ; =

Тогдасумма +  + ... + ,  , Буде зв. лінійною комбінацієюрядків (  ) М-ці А.

Якщо сущ-ют числа  , Такі що = +  + ... + +  + ... +  , То кажуть, що рядок  виражається ч-з інші рядки ,  , ..., ,  , ...,  . рядки ,  , ...,  наз-ся лінійно залежними, Якщо існують числа

, В повному обсязі одночасно рівні нулю, що +  + ... +  = 0, де 0 = (0 0 ... 0). Якщо ж це рівність виконується лише коли всі числа = 0,  , То кажуть, що рядки , , лінійно незалежні. Зауважимо, що, якщо рядки лінійно залежні, то, по крайней мере, одна з них виражається ч-з решта. Якщо ж рядки лінійно незалежні, то жодна рядок не виражається ч-з решта. Аналогічно вводиться поняття лінійної залежності і незалежності стовпців.

Для того, щоб система лінійних алгебраїчних рівнянь була спільної (тобто мала рішення), необхідно і достатньо, щоб ранг вихідної матриці системи збігався з рангом розширеної матриці, тобто r (A) = r (С).

1) Якщо r (A) = r (С) = n, де n - число невідомих системи, то дана система має єдине рішення;

2) Якщо r (A) = r (С) = k

3) Якщо r (A) ? r (С), то система несумісна, тобто не має рішень.

Якщо число невідомих> числа рівнян-й, то сис-ма або не має реш-й, або має їх нескінченну множ-во (якщо r (A) = r (С) = k

питання 8. Формули Крамера рішення систем ЛАУ.

Розглянемо ще один метод вирішення системи (1)

Нехай, як і раніше, n = m.

Тоді з формули (3) маємо: Х =  ? В = = . (4)

У формулі (4)  = Det A - головний визначник системи (1),

(Розкладаємо по j-му стовпцю) = ;  , - Побічні визна-ли сис-ми (1).

Вони виходять з головного визначника заміною відповідного j-го стовпця стовпцем вільних членів. Формули (4) називаються формулами Крамера.

1. для матриці А системи рівнянь обчислити її головний визначник  = Det A.

2. послідовно, замінюючи кожен стовпець м-ці А стовпцем вільних членів, отримати побічні визна-ли ,

3. а) Якщо  ? 0, то за формулами (4) визначити єдине рішення системи (1): ,  , ...., .

б) Якщо  = 0, а хоча б один з побічних визна-лей  ? 0, то вихідна сис-ма (1) несумісна, т. Е. Не має рішень

в) Якщо = = 0,  , То вихідна система (1) має безліч рішень.

питання 9 Метод Гаусса рішення систем ЛАУ.

метод Гаусса застосуємо до будь-сис-ме ЛАУ. Іноді цей м-д наз-ють методом послідовного виключення невідомих. Зауважимо, що при використанні цього методу ми також автоматично будемо обчислювати ранг матриці системи.

Отже, нехай задана система m Лаус n невідомими:  (6)

У матріч-му виді сис-ма (6) запису-ся АХ = В, де А - прямоку-я м-ца розміру m'n: А =  , А,

Х і У - м-ці-стовпці: Х =  , В = .

Якщо в рез-ті преобраз-й м-ці сис-ми получ-я треуг-я м-ца, то сис-ма матиме вигляд:

де

З останнього рівнян-я можна знайти , А потім, підставляючи знайдене в передостаннє рівнян-е, знайти  і т. д. В результаті матимемо єдине Рішення ,  , ...,  . В цьому випадку ранг матриці А системи рівнянь дорівнює n.

Якщо в рез-ті преобраз-й м-ці сис-ми вийде трапеціевід-я м-ца, то сис-ма набуде вигляду:

де

В цьому випадку k , Следоват-но, сис-ма рівнян-й буде невизначеною, т. Е. Буде мати безліч рішень, т. к. вона містить n - k вільних змінних:

Надаючи вільним змінним ,  , ...,  довільні значення, будемо мати кожен раз нове реш-е вихідної сис-ми рівнян-й, т. е. реш-й буде нескінченне множ-во. В цьому випадку ранг матриці А системи дорівнює k.

Якщо в рез-ті перетворень отримано рівнян-е, в кіт. коеф-ти при всіх невідомих = 0, а вільний член відмінний від нуля, то така система буде несумісною, тобто не мати рішення.

Слід зазначити, що трикутна або трапецієподібна форма системи рівнянь виходила з огляду на припущення, що коефіцієнти  відмінні від нуля. Якщо ж який-небудь з цих коеф-в = 0, то система рівнянь набуде трикутну або трапецієподібну форму лише після належного зміни нумерації невідомих.

Метод Гаусса застосовується і для однорідних систем ЛАУ. У цьому випадку, якщо отримуємо трикутний вид сис-ми рівнян-й, то вона буде мати єдине (нульове) рішення = = ... = = 0, якщо ж отримуємо трапецієподібний вид системи, то будемо мати безліч рішень.

При вирішенні системи ЛАУметодом Гаусса зручно виписати розширену матрицю системи і все перетворення виконувати над рядками і стовпцями розширеної матриці.

питання 10. Скалярні і векторні величини. Лінійні операції з векторами.

скалярні величини - величини, які визначаються тільки числовими значеннями. Наприклад: маса, площа, довжина відрізка, температура.

Якщо величина, крім числового значення характеризується ще й напрямком, то вона називається векторною величиноюабо просто вектором. Наприклад: сила, швидкість, прискорення. Отже, вектор повністю визначається числом і напрямом. Геометрично вектор зображують відрізком, довжина якого відповідає його числовим значенням, а для вказівки напряму використовують стрілку.

В

А

позначають вектор  де А- Початок вектора, В- Кінець вектора, або просто  . Зауважимо, що т. К. Довжина відрізка відповідає числовому значенню вектора, то це числове значення наз-ют довжиною або модулемвектора і позначають  або .

Два вектора будемо називати рівними, Якщо вони мають один і той же напрямок і однакову довжину. вектор  називається протилежнимвектору . =  В цьому випадку пишуть  = - .

нульовим векторомназ-ся вік-р, початок і кінець кіт-го збігаються. його позначають  . Зауважимо, що модуль нульового вектора дорівнює 0, а напрямок не визначено.

одиничний вектор- Вектор, довжина кіт-го = одиниці.

2 Століття-ра наз-ют колінеарними , Якщо ОНТ лежать на одній і тій же прямій, або  х прямих

Вектори ? перші однієї і тієї ж площині, наз. компланарними.

Одним з найбільш важливих св-в вектора явл-ся те, що його можна перемещать?-но самому собі в будь-яку точку площини або простору. (Тому Колінеарні вектори завжди можна перенести на одну пряму, а компланарні на одну площину).

кутом = ( , ) між векторами и  називається кут при вершині  в ?  , де = = .

В

Отже, 0 ? ?

 А С

^

два вектора и  вважаються ортогональними (перпендикулярними), Якщо. ( , ) = .позначають .Зокрема ,де  - Будь-який вектор.

лінійними операціяминад векторами називають додавання, віднімання, множення вектора на число.

1) сумоювекторів и  називають третій вектор  , Початок якого збігається з початком вектора  , А кінець - з кінцем вектора  за умови, що вектор  відкладений кінця вектора  . вектор  виходить за правилом трикутника або паралелограма.



 Рішення |  Поняття базису на площині і в просторі. Ортонормированном базисі на площині і в просторі. Координати вектора в базисі.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати