Головна

Криволінійні інтеграли першого роду. Визначення. Властивості. Обчислення.

  1.  II. Обчислити певні інтеграли.
  2.  III. Обчислити невласні інтеграли або довести їх розбіжність.
  3.  VII. Що говорить найдавніша писемна традиція про початок людського роду. завершення
  4.  А. Дослідження першого типу
  5.  А. Ланцюг першого порядку.
  6.  Абсолютно збіжні інтеграли другого роду. Теореми про збіжність.
  7.  Абсолютно збіжні інтеграли першого роду. Теореми про збіжність.

Нехай на площині xOy задана гладка незамкнутая крива L з початком в точці A і кінцем в точці B, Яка не має самоперетинів. Припустимо, що на цій кривій визначено безперервна функція  Розіб'ємо зазначену криву L довільним чином на елементарні дуги  довжини яких будемо вважати відповідно рівними  На кожній з елементарних дуг  виберемо довільну точку  позначимо через  і складемо інтегральну суму

 спрямуємо  так щоб  Якщо існує межа інтегральних сум, який не залежить ні від способу розбиття кривої L на частини, ні від вибору точок  то ця межа називається криволінійним інтегралом 1-го роду від функції f(x; y) Вздовж кривої L:

dl називають диференціалом довжини дуги, А саму криву L - лінією інтегрування. При цьому говорять, що функція f(x; y) интегрируемапо кривій L.

якщо L - Гладка крива в тривимірному просторі без самоперетинів, а f(x; y; z) - Безперервна функція в точках цієї кривої, то криволінійний інтеграл 1-го роду по цій кривій визначається рівністю

 в разі існування границі і при аналогічних плоскої кривої умовах.

якщо крива L являє собою замкнутий контур (т. е. початок кривої і її кінець збігаються), використовують спеціальне позначення: Достатня умова інтегрованості функції: якщо функція визначена і неперервна в точках гладкою, що не має самоперетинів, кривої, то вона інтегровна по цій кривій.

якщо функції f(x; y), f1(x; y) і f2(x; y) Інтегровними по гладкої кривої L, То справедливі такі властивості:

1) лінійність:

 де

2) адитивність: Якщо гладка або кусково-гладка крива L складається з кінцевого числа гладких дуг  то

 3) незалежність від напрямку шляху інтегрування: Якщо крива L з'єднує точки A и B, то

4) оцінка модуля інтеграла:

 Обчислення потрійного інтеграла в сферичних координатах. |  Криволінійні інтеграли другого роду. Обчислення.


 Диференціали вищих порядків. |  Екстремум функції кількох змінних. Необхідна умова існування екстремуму. |  Достатня умова екстремуму функції двох змінних. |  Похідна поля у напрямку. Градієнт функції. |  Подвійний інтеграл. Визначення та основні властивості. |  Якобіан і його геометричний сенс. |  Подвійний інтеграл в полярних координатах. |  Потрійний інтеграл. Властивості потрійних інтегралів. |  Обчислення потрійного інтеграла в декартових координатах. |  Обчислення потрійного інтеграла в циліндричних координатах. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати