Головна |
Криволінійні інтеграли першого роду. Визначення. Властивості. Обчислення.Нехай на площині xOy задана гладка незамкнутая крива L з початком в точці A і кінцем в точці B, Яка не має самоперетинів. Припустимо, що на цій кривій визначено безперервна функція Розіб'ємо зазначену криву L довільним чином на елементарні дуги довжини яких будемо вважати відповідно рівними На кожній з елементарних дуг виберемо довільну точку позначимо через і складемо інтегральну суму спрямуємо так щоб Якщо існує межа інтегральних сум, який не залежить ні від способу розбиття кривої L на частини, ні від вибору точок то ця межа називається криволінійним інтегралом 1-го роду від функції f(x; y) Вздовж кривої L: dl називають диференціалом довжини дуги, А саму криву L - лінією інтегрування. При цьому говорять, що функція f(x; y) интегрируемапо кривій L. якщо L - Гладка крива в тривимірному просторі без самоперетинів, а f(x; y; z) - Безперервна функція в точках цієї кривої, то криволінійний інтеграл 1-го роду по цій кривій визначається рівністю в разі існування границі і при аналогічних плоскої кривої умовах. якщо крива L являє собою замкнутий контур (т. е. початок кривої і її кінець збігаються), використовують спеціальне позначення: Достатня умова інтегрованості функції: якщо функція визначена і неперервна в точках гладкою, що не має самоперетинів, кривої, то вона інтегровна по цій кривій. якщо функції f(x; y), f1(x; y) і f2(x; y) Інтегровними по гладкої кривої L, То справедливі такі властивості: 1) лінійність: де 2) адитивність: Якщо гладка або кусково-гладка крива L складається з кінцевого числа гладких дуг то 3) незалежність від напрямку шляху інтегрування: Якщо крива L з'єднує точки A и B, то 4) оцінка модуля інтеграла: Обчислення потрійного інтеграла в сферичних координатах. | Криволінійні інтеграли другого роду. Обчислення. Диференціали вищих порядків. | Екстремум функції кількох змінних. Необхідна умова існування екстремуму. | Достатня умова екстремуму функції двох змінних. | Похідна поля у напрямку. Градієнт функції. | Подвійний інтеграл. Визначення та основні властивості. | Якобіан і його геометричний сенс. | Подвійний інтеграл в полярних координатах. | Потрійний інтеграл. Властивості потрійних інтегралів. | Обчислення потрійного інтеграла в декартових координатах. | Обчислення потрійного інтеграла в циліндричних координатах. | |