На головну

 Поняття про тертя. тертя ковзання |  тертя кочення |  Теореми динаміки точки |  Поняття про момент кількості руху |  Кінетична енергія |  Потенціальна енергія |  Закон збереження енергії |  Кінетична енергія матеріального тіла в різних видах руху |  Моменти інерції деяких простих однорідних тіл |  Вільні коливання без урахування сил опору |

затухаючі коливання

  1.  I. Коливання цін сировини, безпосередній вплив їх на норму прибутку
  2.  I. КОЛЕБАНИЯ ЦІН СИРОВИНИ, БЕЗПОСЕРЕДНЄ ВПЛИВ ЇХ НА НОРМУ ПРИБУТКУ
  3.  Автоколебания в САР. Визначення параметрів автоколивань за допомогою графічних побудов.
  4.  Автоколебания в фізичних, хімічних і біологічних системах. Якісне розгляд автоколивальних систем
  5.  Вплив постійної сили на вільні коливання точки
  6.  Внутрішні коливання систем з n ступенями свободи.
  7.  вимушені коливання

Нехай матеріальна точка Мрухається прямолінійно по осі x. На точку при її русі діють відновлює сила  і сила опору  (Рис. 9.3). Вважаючи, що сила опору пропорційна першого ступеня швидкості: ,  , Отримаємо диференціальне рівняння руху у вигляді

 (9.12)

Розділивши обидві частини рівняння на m і вводячи позначення и  , Наведемо рівняння до виду

 . (9.13)

 Рівняння (9.13) являє собою диференціальне рівняння вільних коливань при опорі пропорційному швидкості. Його рішення, як і рішення рівняння (9.3), шукають у вигляді  . Підставляючи це значення x в рівняння (9.13), отримаємо характеристичне рівняння  , Коріння якого будуть

 . (9.14)

Розглянемо випадок, коли k> b, Тобто коли опір мало в порівнянні з відновлювальної силою. введемо позначення

 , (9.15)

отримаємо з (9.14), що  , Тобто коріння характеристичного рівняння є комплексними. Тоді рішення рівняння (9.13) буде мати вигляд

 (9.16)

або, за аналогією з рівністю (9.5),

 . (9.17)

величини а и a є постійними інтегрування і визначаються за початковими умовами.

 Коливання, що відбуваються за законом (9.17), називають затухаючими, так як завдяки наявності множника е-bt величина x = ОМ з плином часу зменшується прагнучи до нуля. Графік цих коливань показаний на рис. 9.4.

Проміжок часу Т1, Що дорівнює періоду  називають періодом згасаючих коливань.

 , (9.18)

Якщо врахувати рівність (9.7), формулу (9.18) можна представити у вигляді

 . (9.19)

З отриманих залежностей видно, що Т1> Т, Тобто при наявності опору період коливань дещо збільшується. Але якщо опір мало (b << k), То величиною  в порівнянні з одиницею можна знехтувати і вважати Т1»Т.

Проміжок часу між двома послідовними відхиленнями хитається точки також дорівнює Т1. Отже, якщо перше максимальне відхилення x1 відбувається в момент часу t1, То друге відхилення x2 настане в момент t2 = t1+ Т1 і т. д. Тоді, враховуючи, що  , З формули (9.17) отримаємо:

Аналогічно для будь-якого відхилення xn+1 буде  . Таким чином, абсолютні значення відхилень хитається точки М від центру Озменшуються за законом геометричної прогресії. Знаменник цієї прогресії  називається декрементом згасаючих коливань, а натуральний логарифм декремента - величина bT1, Називається логарифмічним декрементом.

З отриманих результатів випливає, що малий опір майже не впливає на період коливань, але викликає їх поступове згасання.

У випадках, коли b> k або b = k рух точки є апериодическим, тобто воно вже не має характеру коливального руху.



 Вплив постійної сили на вільні коливання точки |  Поняття про вимушені коливання
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати