Головна |
Розв'язанняЗобразимо заданий трикутник на малюнку. Позначимо його вершини О(0,0), А(5,0), В(0,5). Знайдемо частинні похідні першого порядку . Прирівняемо їх до нуля Дістанемо стаціонарну точку М(1,3), що лежить у заданому трикутнику. Дослідимо функцію на безумовний екстремум всередині області. Знайдемо похідні другого порядку: . Дослідимо на знаковизначеність квадратичну форму з матрицею . Квадратична форма є напів додатно визначеною, бо , . Отже, не можна зробити висновок про існування екстремуму у точці . Дослідимо функцію на умовний екстремум на кожні границі області. Розглянемо сторону ОА нашого трикутника. Враховуючи, що для точок цієї сторони виконується умова , знайдемо . Обчислимо похідну та, прирівнюючи її до нуля, знайдемо стаціонарну точку . Точка N(4,0) лежить на стороні ОА заданого трикутника. Розглянемо сторону ОВ нашого трикутника. Враховуючи, що для точок цієї сторони виконується умова , знайдемо . Обчислимо похідну . Оскільки похідна не дорівнює нулю, функція не має стаціонарних точок. Розглянемо сторону АВ нашого трикутника, в усіх точках якої . Знайдемо . Обчислимо похідну та, прирівнюючи її до нуля, зайдемо стаціонарну точку . Точка P(2,3) лежить на стороні АВ заданого трикутника. Знайдемо значення функції у точках М(1,3), N(4,0), P(2,3), О(0,0), А(5,0), В(0,5): , , , , , . Функція досягає свого найбільшого та найменшого значень в одній з цих точок. Найбільшого значення функція досягає у точці О(0,0), найменшого значення функція досягає у точці N(4,0). Розв'язання | Заключна частина. Розв'язання | Розв'язання | Розв'язання | Розв'язання | Розв'язання | Розв'язання | Розв'язання | Розв'язання | Розв'язання. | Розв'язання | |