На головну

 Момент інерції |  Кінетична енергія обертання |  Вільні осі. гіроскоп |  Неінерційні системи відліку. сили інерції |  Перетворення Галілея. Механічний принцип відносності |  Постулати спеціальної (приватної) теорії відносності |  перетворення Лоренца |  Інтервал між подіями |  Релятивістське вираз для енергії. |  Тиск в рідині і газі |

Рівняння Бернуллі і слідства з нього

  1.  II. Економічні наслідки безробіття
  2.  III. Хрестові походи та їх наслідки
  3.  IV. Скласти диференціальне рівняння і знайти рішення.
  4.  V2: 03. Рівняння хвилі, енергія хвилі (В)
  5.  V2: 22. рівняння Шредінгера (загальні властивості) (A)
  6.  V2: 23. рівняння Шредінгера (конкретні властивості) (B)
  7.  VI. Загальні міркування і слідства

Виділимо в стаціонарно поточної ідеальної рідини (Фізична абстракція, т. е. уявна рідина, в якій відсутні сили внутрішнього тертя) трубку струму, обмежену перерізами S1 и S2, По якій зліва направо тече рідина (рис. 47). Нехай в місці перетину S1 швидкість течії v1, тиск р1і висота, на якій це перетин розташоване, h1. Аналогічно, в місці перетину S2 швидкість про-

ня v2, тиск р2 і висота перетину h2. За малий проміжок часу Dt рідина переміщається від перетинів S1 и S2 до перетинів S '1и S'2.

Відповідно до закону збереження енергії, зміна повної енергії E2-Е1ідеальної нестисливої ??рідини має дорівнювати роботі А зовнішніх сил по переміщенню маси від рідини:

E2-E1= A, (30.1)

де E1 и Е2 - Повні енергії рідини масою m в місцях перетинів S1и S2 відповідно.

З іншого боку, А - Це робота, що здійснюються при переміщенні всієї рідини, укладеної між перетинами S1 и S2, За аналізований малий проміжок часу Dt. Для перенесення маси т від S1 до S '1рідина повинна переміститися на відстань l1 = v1Dt і от S2 до S '2 - на відстань l2= v2Dt. Відмітимо, що l1 и l2 настільки малі, що всі точки обсягів, зафарбованих на рис. 47, приписують постійні значення швидкості v, тиску р і висоти h. отже,

A = F1l1+ F2l2, (30.2)

де F1=p1S1 и f2= -р2S2 (Негативна, так як спрямована в бік, протилежний течії рідини; ріс.47).

повні енергії Е1и e2складатимуться з кінетичної і потенційної енергій маси m рідини:

Підставляючи (30.3) і (30.4) в (30.1) і прирівнюючи (30.1) і (30.2), отримаємо

Відповідно до рівняння нерозривності для нестисливої ??рідини (29.1), обсяг, яку він обіймав рідиною, залишається постійним, т. Е.

Розділивши вираз (30.5) на DV, отримаємо

де r - щільність рідини. Але так як перетину вибиралися довільно, то можемо записати

Вираз (30.6) виведено швейцарським фізиком Д. Бернуллі (1700-1782; опубліковано в 1738 р) і називається рівнянням Бернуллі. Як видно з його виведення, рівняння Бернуллі - вираз закону збереження енергії стосовно до сталого перебігу ідеальної рідини. Воно добре виконується і для реальних рідин, внутрішнє тертя яких не дуже велике.

величина р у формулі (30.6) називається статичним тиском(Тиск рідини на поверхню обтічного нею тіла), величина rv2/ 2 - динамічним тиском.Як вже зазначалося вище (див. § 28), величина rgh являє собою гідростатичний тиск.

Для горизонтальної трубки струму (h1=h2) Вираз (30.6) набирає вигляду

де р+ rv2/ 2 називається повним тиском.

З рівняння Бернуллі (30.7) для горизонтальної трубки струму і рівняння нерозривності (29.1) випливає, що при те-

ченіі рідини по горизонтальній трубі, що має різні перетину, швидкість рідини більше в місцях звуження, а статичний тиск більше в більш широких місцях, т. е. там, де швидкість менше. Це можна продемонструвати, встановивши уздовж труби ряд манометрів(Рис.48). Відповідно до рівняння Бернуллі досвід показує, що в манометричної трубці В, прикріпленою до вузької частини труби, рівень рідини нижче, ніж в манометрических трубках А та С, прикріплених до широкої частини труби.

Так як динамічний тиск пов'язано зі швидкістю руху рідини (газу), то рівняння Бернуллі дозволяє вимірювати швидкість потоку рідини. Для цього застосовується трубка Піто - Прандтля (ріс.49). Прилад складається з двох вигнутих під прямим кутом трубок, протилежні кінці яких приєднані до манометру. За допомогою однієї з трубок вимірюється повний тиск (р0), За допомогою іншої - статичне (Р). Манометром вимірюється різниця тисків:

p0-p = r0gh, (30.8)

де r - щільність рідини в манометрі. З іншого боку, відповідно до рівняння Бернуллі, різниця повного і статичного тисків дорівнює динамічному тиску:

p0-p=pv2/ 2. (30.9)

З формул (30.8) і (30.9) отримуємо шукану швидкість потоку рідини:

Зменшення статичного тиску в точках, де швидкість потоку більше, покладено в основу роботи водострумного насоса(Рис. 50). Струмінь води подається в трубку, відкриту в атмосферу, так що тиск на виході з трубки дорівнює атмосферному. У трубці є звуження, по якому вода тече з більшою швидкістю. У цьому місці тиск менше атмосферного. Це тиск встановлюється і в відкачали посудині, який пов'язаний з трубкою через розрив, який є в її вузькій частині. Повітря захоплюється витікає з великою швидкістю водою з вузького кінця. Таким чином можна відкачувати повітря з посудини до тиску 100 мм рт. ст. (1 мм рт. Ст. = 133,32 Па).

Рівняння Бернуллі використовується для знаходження швидкості витікання рідини через отвір в стінці або дні посудини. Розглянемо циліндричну посудину з рідиною, в боковій стінці якого на певній глибині нижче рівня рідини є маленький отвір (ріс.51).

Розглянемо два перетину (на рівні h1 вільної поверхні рідини в посудині і на рівні h2виходу її з отвору). Напишемо для них рівняння Бернуллі:

Так як тиску р1и р2в рідини на рівнях першого і другого перетинів рівні

атмосферному, т. е. p1=p2, То рівняння матиме вигляд

З рівняння нерозривності (29.1) випливає, що v2/ v1= S1/ S2, де S1 і S2 - Площі поперечних перерізів судини і отвори. якщо S1>> S2, То членом v21/ 2 можна знехтувати і

Цей вислів отримало назву формули Торрічеллі.



 рівняння нерозривності |  Досвідчені закони ідеального газу
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати