Ряди Тейлора і Маклорена. Приклади
Для функції , яка має всі похідні до -го порядку включно, в околі точки має місце вже відома нам формула Тейлора:
де залишковий член обчислюється за формулою:
Припустимо, що і
1) функція має похідні всіх порядків в околі точки ;
2)
Представимо формулу у вигляді
,
де
Перейдемо до границі у формулі (6):
звідки одержуємо:
Отже,
Нескінченний ряд називається рядом Тейлора (при - рядом Маклорена).
Так, якщо | Наведемо кілька важливих рядів Маклорена
Знаходження довжини дуги | Об'єм тіла обертання | Економічні застосування інтегралів | З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах. | Поняття про ряд та його суму. | Властивості збіжних рядів | Дійсно, якщо - - на частинна сума ряду (1), а - - на частинна сума ряду (2), то , і . | Якщо ряд (1) збігається, то його - ний член прямує до нуля при необмеженому зростанні . | Степеневим рядом називають також функціональний ряд виду | Інтервал і радіус збіжності. |
|