Головна

 окружність |  гіпербола |  парабола |  Квиток 13. ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІЇ |  Квиток 14. Межа послідовності і функції. Теореми про границі |  теорема 2 |  Перший чудовий межа |  Вигляді, нічого не переставляючи. |  Порівняння нескінченно малих |  Білет18. Безперервність і точки розриву функції |

визначення 10.8

  1.  E. підрахунку суми балів, визначення індексу ПМА за формулою.
  2.  I Розрахунок витрат для визначення повної собівартості вироби (роботи, послуги), визначення рентабельності його виробництва
  3.  I. Яке визначення найбільш повно виражає сутність програмованого навчання?
  4.  III. Визначення міри покарання
  5.  VI. Визначення напору на виході з підпірного насоса
  6.  А 6. ЗАМІНА ПРІДАТОЧОГО ПРОПОЗИЦІЇ Відокремлені означення.
  7.  А. Визначення сценарію

різницею векторів a и b називається сума .

різниця позначається  , тобто .

визначення 10.9 твором вектора a на

дійсне число  називається вектор b, Який визначається умовою

1)
 і якщо  , То ще двома умовами:

2) вектор b коллінеарен вектору a;

3) вектори b и a спрямовані однаково, якщо ,

і протилежно, якщо .

твір вектора a на число  позначається  (Рис 1.4).

квиток 6. Скалярним добутком двох векторів

и  називається ЧИСЛО, що дорівнює добутку

довжин цих векторів на косинус кута між ними:

Ось це ось уже цілком суворе визначення.

Акцентуємо увагу на суттєвої інформації:

позначення: скалярний добуток позначається

через  або просто .

Результат операції є ЧИСЛОМ: Збільшується

вектор на вектор, а виходить число. дійсно

якщо довжини векторів -

це числа, косинус кута - число, то

їх твір  теж буде числом.

Квиток 8. Нехай дана матриця  розмірів

і число  , Яке не перевищує найменшого з чисел

и :  . виберемо довільно

 рядків матриці и  стовпців (номери рядків

можуть відрізнятися від номерів стовпців). визначник

матриці, складеної з елементів, що стоять на

перетині вибраних  рядків і  стовпців,

називається мінор порядку  матриці .

приклад 14.9

Нехай.

Мінором першого порядку є будь-який елемент матриці.

Так 2, ,  - Мінори першого порядку.

Мінори другого порядку:

1. візьмемо рядки 1, 2, стовпці 1, 2, отримаємо

2. мінор ;

3. візьмемо рядки 1, 3, стовпчики 2, 4, отримаємо

4. мінор ;

5. візьмемо рядки 2, 3, стовпчики 1, 4, отримаємо

6. мінор

Мінори третього порядку:

рядки тут можна вибрати тільки одним способом,

1.  візьмемо стовпці 1, 3, 4,

2. отримаємо мінор;

3.  візьмемо стовпці 1, 2, 3,

4. отримаємо мінор.

Теорема Кронекера-Капеллі. Для того щоб

система була сумісна, необхідно і достатньо,

щоб ранг основної матриці системи дорівнював рангу

розширеної матриці.
 визначення.Якщо ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної

матриці, т. е.  , То ранг матриці називають рангом

системи.

Примітка. Якщо ранг системи дорівнює числу невідомих, то система

певна.
^ Теорема Крамера. Якщо матриця квадратної системи невироджена,

то система певна.

В цьому випадку рішення системи може бути знайдено за формулами

Крамера.

^ Формули Крамера. Рішення неоднорідної системи  рівнянь

с  невідомими, що має невироджених основну матрицю

системи, знаходиться за формулами

, i = 1, 2, ..., n

де  - Визначник системи;  - Визначник матриці,

одержуваної з основної матриці системи заміною її i-го стовпця

стовпцем вільних членів.

Квиток 10. 1) а (х - x0) + В (у - y0) + C (z - z0) = 0 -

рівняння площини, що проходить через точку M0(x0; y0; z0)

перпендикулярно нормальному вектору  = {А; В; С}.

2) Ах + By + Cz + D = 0 - загальне рівняння площини,

 = {А, В, С} - нормальний вектор цієї площини.

3)  - Рівняння площини у відрізках,

де а, b, с - величини спрямованих відрізків, що відсікаються

площиною  на координатних осях Ох, Оу, Oz відповідно;

4) Нехай дано дві площини ,

 = {А, в, з}, ,  = {А; В; З}.

В якості кута  між площинами и  приймають

кут між їх нормальними векторами:

або в координатній формі


 5) Умова перпендикулярності двох

площин и  : ( -  ) = 0 або в

координатної формі: А1А2 + В1В2 + C1C2 = 0.
 6) Умова паралельності двох площин

и :

7) Рівняння площини, що проходить через

три дані точки М11; у1; z1), M22; у2; z2),

M33; у3; z3):  = 0

або в координатній формі:


 8) Якщо площина  задана загальним рівнянням

Ах + By + Cz + D - 0, а M0(x0; y0; z0) - Деяка

точка простору, то

є формула відстані від точки M0 до площини .

9) Сукупність всіх площин, що проходять через

одну і ту ж пряму, називається пучком площин.
 якщо A1х + В1у + C1z + D1 = 0 і А2x + В2у + C2z + D2 = 0

є рівняння двох різних непаралельних площин,

перетином яких служить деяка пряма L, а

числа ,  - Будь-які нерівні одночасно нулю,

то  (A1х + В1у + C1z + D1) +  (А2x + В2у + C2z + D2) = 0

є рівняння площини, що проходить через пряму L.

Більш того, як і вона була проходить через

пряму L площину, вона може бути визначена з

пучка площин при певних значеннях , .

 



 Квиток 5. Операції над векторами |  Білет11. Пряма в просторі
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати