загрузка...
загрузка...
На головну

 При цьому многочлен називається характеристичним многочленомдіфференціального рівняння. |  Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння |  Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними |  Нормальні системи лінійних однорідних диференціальних |  Лінійні однорідні диференціальні рівняння в приватних |  Класифікація основних типів рівнянь математичної |  Інтегрування статечних рядів. |  Додавання, віднімання, множення і ділення статечних рядів. |  Рішення диференціальних рівнянь за допомогою |

Визначення. Вираз називається головним значенням логарифма.

  1.  III. Що називається дидактикою? З наведених відповідей виберіть один правильний, обґрунтувавши помилковість інших.
  2.  А 31. Пошук в тексті фразеологізмів або слів з певним значенням
  3.  Арифметичним коренем ступеня n, n € N, n 2, з невід'ємного числа а 0. а € R, називається таке невід'ємне число, що позначається
  4.  Брія називається гуф, т. К. Отримує від світу Ацилут як гуф від нешама.
  5.  На початку 40-х років іноземним компаніям, головним чином американським, належало
  6.  У просторі, як і на площині, вектором називається спрямований відрізок.
  7.  В іншому випадку послідовність називається розходиться.

Логарифмічна функція комплексного аргументу має такі властивості:

1)

2)

3)

4)

Зворотні тригонометричні функції комплексного змінного мають вигляд:

Похідна функцій комплексного змінного.

Визначення. похідною від однозначної функції w = f (z) в точці z називається межа:

Визначення. функція f (z), Що має безперервну похідну в будь-якій точці області D називається аналітичної функцією на цій області.

Правила диференціювання функцій комплексного аргументу не відрізняються від правил диференціювання функцій дійсної змінної.

Аналогічно визначаються похідні основних функцій таких як синус, косинус, тангенс і котангенс, статечна функція і т. Д.

Похідні гіперболічних функцій визначаються за формулами:

Висновок правил інтегрування, значень похідних основних функцій нічим не відрізняється від аналогічних операцій з функціями дійсного аргументу, тому докладно розглядати їх не будемо.

Умови Коші - Рімана.

(Бернхард Ріман (1826 - 1866) - німецький математик)

Розглянемо функцію комплексної змінної  , Визначену на деякій області і має в будь - якої точки цієї області похідну

Прагнення до нуля Dz®0 може здійснюватися в наступних випадках:

1)

2)

В першому випадку:

У другому випадку:

Тоді повинні виконуватися рівності:

Ці рівності називаються умовами Коші - Рімана, хоча ще раніше вони були отримані Ейлером і Даламбером.

Теорема. якщо функція  має похідну в точці

z = x + iy, то її дійсні компоненти u і v мають в точці (х, у) приватні похідні першого порядку, що задовольняють умові Коші - Рімана.

Також справедлива і зворотна теорема.

На підставі цих теорем можна зробити висновок, що з існування похідної слід безперервність функції.

Теорема. Для того, щоб функція  була аналітичної на деякій області необхідно і достатньо, щоб приватні похідні першого прядка функцій u і v були безперервні на цій області і виконувалися умови Коші - Рімана.

Інтегрування функцій комплексної змінної.

нехай  - Безперервна функція комплексного змінного z, певна в деякій області і L - крива, що в цій галузі.

у

В

L

А

х

Крива L задана рівнянням

Визначення. інтегралвід функції f (z) вздовж кривої L визначається наступним чином:

Якщо врахувати, що  , то

Теорема. (Теорема Коші) Якщо f (z) - аналітична функція на деякій області, то інтеграл від f (z) з будь-якого кусково - гладкому контуру, що належить цій області дорівнює нулю.

Інтегральна формула Коші.

якщо функція f (z) - Аналітична в однозв'язної замкнутої області з кусково - гладкою межею L.

D

r

z0

тоді справедлива формула Коші:

де z0 - Будь-яка точка всередині контуру L, інтегрування по контуру проводиться в позитивному напрямку (проти годинникової стрілки).

Ця формула також називається інтегралом Коші.

Ряди Тейлора і Лорана.

(П'єр Альфонс Лоран (1813 - 1854) - французький математик)

Функція f (z), аналітична в колі  , Розкладається в збіжний до неї статечної ряд за ступенями (z - z0).

Коефіцієнти ряду обчислюються за формулами:

Статечної ряд з коефіцієнтами такого виду називається поруч Тейлора.

Розглянемо тепер функцію f (z), аналітичну в кільці  . Ця функція може бути представлена ??у вигляді сходиться ряду:

Ряд такого виду називається поруч Лорана. При цьому функція f (z) може бути представлена ??у вигляді суми:

Ряд, що визначає функцію f1(x), називається правильної частиною ряду Лорана, а ряд, який визначає функцію f2(X), називається головною частиноюряду Лорана.

Якщо припустити, що r = 0, То можна вважати, що функція аналітична в відкритому колі  за винятком центральної точки z0. Як правило, в цій точці функція буває не визначена.

Тоді точка z0 називається ізольованою особливою точкоюфункції f.

Розглянемо наступні окремі випадки:

1) Функція f (x) має вигляд:  . Т. к. Статечної ряд сходиться в усіх точках всередині кола, то його сума f1(X) визначена і неперервно диференційовна в усіх точках кола, а, отже, і в центрі кола z0.

У цьому випадку говорять, що особливість функції f в точці z0 усунена. Для усунення особливої ??точки досить доопределить функцію в центрі кола (f (z0) = C0) І функція буде аналітичної не тільки в околиці центру кола, а й в самому центрі.

В цьому випадку  для будь-якого контуру L, що містить точку z0 і належить до кола .

2) Функція f (x) має вигляд: .

У цьому випадку точка z0 називається полюсом функції f (z) порядку (кратності) m.При m = 1 точку z0 називають ще простим полюсом.

Порядок полюса може бути визначений за формулою:

z0 - Полюс порядку т.

3) Функція f (z) має вигляд  , Де в ряді  не дорівнює нулю нескінченну кількість коефіцієнтів с-k.

У цьому випадку говорять, що функція f (z) має в точці z0 істотно особливу точку.

Визначення. нехай z0 - Ізольована особлива точка функція f (z), т. Е. Нехай функція f (z) - аналітична в деякому колі  з якого виключена точка z0. тоді інтеграл

називається вирахуванням функції f (z) в точці z0, Де L - контур в колі  , Орієнтований проти годинникової стрілки і містить в собі точку z0.

Відрахування також позначають іноді .

якщо  є ряд Лорана функції f в точці z0, то .

Таким чином, якщо відомо розкладання функції в ряд Лорана, то відрахування легко може бути знайдений в разі будь-якої особливої ??точки.

В окремих випадках відрахування може бути знайдений і без розкладання в ряд Лорана.

Наприклад, якщо функція  , а  має простий нуль при z = z0  , То z = z0 є простим полюсом функції f (z).

Тоді можна показати, що відрахування знаходиться за формулою

 Якщо z = z0 - Полюс порядку m ? 1, то відрахування може бути знайдений за формулою:

Приклад. Знайти відрахування функції  щодо точки z = 2.

Ця точка є полюсом другого порядку. отримуємо:

Теорема про відрахування.

Теорема. Нехай функція f (z) - аналітична на всій площині z, за винятком кінцевого числа точок z1, z2, ..., ZN. Тоді вірно рівність:

А інтеграл від функції по контуру L, який містить в собі ці точки, дорівнює

Ці властивості застосовуються для обчислення інтегралів. Якщо функція f (z) аналітична в верхній півплощині, включаючи дійсну вісь, за винятком N точок, то справедлива формула

Приклад. Обчислити визначений інтеграл .

Підінтегральна функція є аналітичною в верхній півплощині за винятком точки 2i. Ця точка є полюсом другого порядку.

Знайдемо відрахування функції

отримуємо

Приклад. Обчислити визначений інтеграл

Підінтегральна функція є аналітичною в верхній півплощині за винятком точки i. Ця точка є полюсом другого порядку.

Знайдемо відрахування функції

отримуємо

При використанні комп'ютерної версії "Курсу вищої математики"Можливо запустити програму, яка знаходить відрахування задається функції.

 
 

 Для запуску програми двічі клацніть на значку

Примітка: Для запуску програми необхідно щоб на комп'ютері була встановлена ??програма Maple (O Waterloo Maple Inc.) будь-якої версії, починаючи з MapleV Release 4.

Операційне числення.

Перетворення Лапласа.

(П'єр Симон Лаплас (1749 - 1825) - французький математик)

Розглянемо функцію дійсної змінної t, певну при t ? 0. Будемо також вважати, що функція f (t) - кусочно - безперервна, т. Е. В будь-якому кінцевому інтервалі вона має кінцеве число точок розриву першого роду, і визначена на нескінченному інтервалі ( - ?, ?), але f (t) = 0 при t <0.

Будемо вважати, що функція обмежена умовою:

 Розглянемо функцію

де p = a + ib - комплексне число.

Визначення. Функція F (p) називається зображенням Лапласафункції f (t).

Також функцію F (p) називають L - зображеннямабо перетворенням Лапласа.

позначається

При цьому функція f (t) називається початкової функцієюабо оригіналом, А процес знаходження оригіналу за відомим зображенню називається операційним обчисленням.

Теорема. (Теорема єдиності) Якщо дві безперервні функції f (x) і g (x) мають один і той же L - зображення F (p), то вони тотожно рівні.

Визначення. функцією Хевисайда (Олівер Хевісайд (1850 - 1925) - англійський фізик) називається функція

Властивості зображень.

якщо  , То справедливі такі властивості:

1) Властивість подібності.

2) Властивість лінійності.

3) Зсув зображення.

4) Диференціювання зображення.

5) Диференціювання оригіналу.

6) Інтегрування зображення.

(Справедливо за умови, що інтеграл сходиться)

7) Інтегрування оригіналу.

Таблиця зображень деяких функцій.

Для більшості функцій зображення знаходиться безпосереднім інтегруванням.

Приклад. Знайти зображення функції f (t) = sint.

Для багатьох функцій зображення пораховані і наведені у відповідних таблицях.

 f (t)  F (p)  f (t)  F (p)
 sinat
 cosat
e-at
 shat
 chat
 
*

 * - за умови, що

Теореми згортки і запізнювання.

Теорема. (Теорема запізнювання) Якщо f (t) = 0 при t <0, то справедлива формула

де t0 - Деяка точка.

Визначення. вираз  називається сверткойфункцій f1(T) и f2(T) і позначається f1 * f2.

Теорема. (Теорема згортки) Перетворення Лапласа від згортки дорівнює добутку перетворень Лапласа від функцій f1(T) і f2(T).

Теорема. (Інтеграл Дюамеля (Дюамель (1797 - 1872) - французький математик)). якщо  , То вірно рівність

Для знаходження зображень різних функцій поряд з безпосереднім інтегруванням застосовуються наведені вище теореми і властивості.

Приклад. Знайти зображення функції .

З таблиці зображень отримуємо: .

По властивості інтегрування зображення отримуємо:

Приклад. Знайти зображення функції .

З тригонометрії відома формула .

тоді = .

Операційне числення використовується як для знаходження значень інтегралів, так і для рішення диференціальних рівнянь.

Нехай дано лінійне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами.

Потрібно знайти рішення цього диференціального рівняння, що задовольняє початковим умовам:

Якщо функція x (t) є вирішенням цього диференціального рівняння, то воно звертає вихідне рівняння в тотожність, це свідчить про те, що стоїть в лівій частині рівняння і функція f (t) має (по теоремі єдиності) одне і те ж зображення Лапласа.

З теореми про диференціюванні оригіналу {  } Можна зробити висновок, що

тоді

позначимо

отримуємо:

Це рівняння називається допоміжним (зображує)абоопераційним рівнянням.

Звідси отримуємо зображення  , А за ним і шукану функцію x (t).

Зображення отримуємо у вигляді:

де

 Цей многочлен залежить від початкових умов. Якщо ці умови нульові, то многочлен дорівнює нулю, і формула набуває вигляду:

Розглянемо застосування цього методу на прикладах.

Приклад. Вирішити рівняння

Зображення шуканої функції будемо шукати у вигляді:

Знаходимо оригінал, т. Е. Шукану функцію:

Приклад. Вирішити рівняння

Приклад. Вирішити рівняння:

Зображення шуканої функції

Для знаходження оригіналу необхідно розкласти отриману дріб на елементарні дроби. Скористаємося розподілом многочленів (знаменник ділиться без залишку на p - 1):

p3 - 6p2 + 11p - 6 p - 1

p3 - p2 p2 - 5p + 6

-5p2 + 11p

-5p2 + 5p

6p - 6

6p - 6

В свою чергу

отримуємо:

тоді:

Визначимо коефіцієнти А, В і С.

тоді

Прийоми операційного обчислення можна також використовувати для вирішення систем диференціальних рівнянь.

Приклад. Вирішити систему рівнянь:

позначимо  - Зображення шуканих функцій і вирішимо допоміжні рівняння:

Вирішимо отриману систему алгебраїчних рівнянь.

Якщо застосувати до отриманих результатів формули

 то відповідь можна представити у вигляді:

Як видно, гіперболічні функції у відповіді можуть бути легко замінені на показові.

Приклад. Вирішити систему рівнянь

 при x (0) = y (0) = 1

Складемо систему допоміжних рівнянь:

якщо позначити  то з отриманого приватного рішення системи можна записати і спільне рішення:

При розгляді нормальних систем диференціальних рівнянь цей приклад було вирішене традиційним способом (Див. Інший спосіб вирішення.). Як видно, результати збігаються.

Відзначимо, що операційний спосіб вирішення систем диференціальних рівнянь застосуємо до систем порядки вище першого, що дуже важливо, т. К. В цьому випадку застосування інших способів вкрай важко.

Криволінійні інтеграли.

Визначення. крива (  ) називається безперервної кусочно - гладкою, Якщо функції j, y і g безупинні на відрізку [a, b] і відрізок [a, b] можна розбити на кінцеве число часткових відрізків так, що на кожному з них функції j, y і g мають безперервні похідні, не рівні нулю одночасно.

Якщо визначено не тільки розбиття кривої на часткові відрізки точками, але порядок цих точок, то крива називається оріентірованннойкривої.

Оріетірованная крива називається замкнутої, Якщо значення рівняння кривої в початковій і кінцевій точках збігаються.

Розглянемо в пространсва XYZ криву АВ, в кожній точці якої визначена довільна функція .

Розіб'ємо криву на кінцеве число відрізків і розглянемо твір значення функції в кожній точці розбиття на довжину відповідного відрізка.

Склавши всі отримані таким чином твори, отримаємо так звану інтегральнусуму функції f (x, y, z).

Визначення. Якщо при прагненні до нуля кроку розбиття кривої на часткові відрізки існує межа інтегральних сум, то ця межа називається криволінійним інтегралом від функції f (x, y, z) по довжині дуги АВабо криволінійним інтегралом першого роду.

Властивості криволінійного інтеграла першого роду.

1) Значення криволінійного інтеграла по довжині дуги не залежить від напрямку кривої АВ.

2) Постійний множник можна виносити за знак криволінійного інтеграла.

3) Криволінійний ІНТЕРАН від суми функцій дорівнює сумі криволінійних інтегралів від цих функцій.

4) Якщо крива АВ розбита на дуга АС і СВ, то

5) Якщо в точках кривої АВ

то

6) Справедливо нерівність:

7) Якщо f (x, y, z) = 1, то

S - довжина дуги кривої, l - найбільша з усіх часткових дуг, на які розбивається дуга АВ.

8) Теорема про повну загальну середню.

Якщо функція f (x, y, z) неперервна на кривій АВ, то на цій кривій існує точка (x1, y1, z1) Така, що

Для обчислення криволінійного інтеграла по довжині дуги треба визначити його зв'язок зі звичайним визначеним інтегралом.

Нехай крива АВ задана параметрично рівняннями x = x (t), y = y (t), z = z (t),

a ? t ? b, де функції х, у, z - безперервно диференціюються функції параметра t, причому точці А відповідає t = a, а точці В відповідає t = b. Функція f (x, y, z) - безперервна на всій кривій АВ.

Для будь-якої точки м (х, у, z) кривої довжина дуги АМ обчислюється за формулою

(Див. Обчислення довжини дуги кривої.):

Довжина всієї кривої АВ дорівнює:

Криволінійний інтеграл по довжині дуги АВ буде знаходитися за формулою:

Таким чином, для обчислення криволінійного інтеграла першого роду (по довжині дуги АВ) треба, використовуючи параметричне рівняння кривої висловити підінтегральної функції через параметр t, замінити ds диференціалом дуги в залежності від параметра t і проинтегрировать отриманий вираз по t.

Приклад. обчислити інтеграл  по одному витку гвинтовий лінії

Якщо інтегрування проводиться по довжині плоскої кривої, заданої рівнянням  то отримуємо:

Криволінійні інтеграли другого роду.

Нехай АВ - безперервна крива в просторі XYZ (або на площині ХОY), а точка P (x, y, z) - довільна функція, певна на цій кривій. Розіб'ємо криву точками  на кінцеве число часткових дуг. І розглянемо суму творів значень функції в кожній точці на довжину відповідної часткової дуги.

;

Визначення. Якщо при прагненні до нуля кроку розбиття кривої АВ інтегральні суми мають кінцевий межа, то ця межа називається криволінійним інтегралом по змінної х від функції P (x, y, z) по кривій АВ в напрямку від А до В.

Криволінійний інтеграл другого роду, т. Е. Інтеграл по координатах відрізняється від криволінійного інтеграла першого роду, т. Е. По довжині дуги тим, що значення функції при складанні інтегральної суми множиться не так на довжину часткової дуги, а на її проекцію на належну вісь. (У розглянутому вище випадку - на вісь ОХ).

Взагалі кажучи, криволінійні інтеграли можуть вважатися також і по змінним у і z.

 Суму криволінійних інтегралів також називають криволінійним інтегралом другого роду.

Властивості криволінійного інтеграла другого роду.

1) Криволінійний інтеграл при зміні напрямку кривої змінює знак.

2)

3)

4)

5) Криволінійний інтеграл по замкнутій кривій L не залежить від вибору початкової точки, а залежить тільки від напрямку обходу кривої.

Напрямок обходу контура L задається додатково. Якщо L - замкнута крива без точок самопересеченія, то напрямок обходу контура проти годинникової стрілки називається позитивним.

6) Якщо АВ - крива, що в площині, перпендикулярній осі ОХ, то

Аналогічні співвідношення справедливі при інтегруванні по змінним у и z.

Теорема. Якщо крива АВ - кусочно- гладка, а функції P (x, y, z), Q (x, y, z) і

R (x, y, z) - неперервні на кривій АВ, то криволінійні інтеграли

існують.

Обчислення криволінійних інтегралів другого роду проводиться шляхом перетворення їх до певних интегралам за формулами:

У разі, якщо АВ - плоска крива, задана рівнянням y = f (x), то

Приклад. Обчислити криволінійний інтеграл  . L - контур, обмежений параболами  . Напрямок обходу контуру позитивне.

Уявімо замкнутий контур L як суму двох дуг L1 = x2 и

Формула Остроградського - Гріна.

(Остроградський Михайло Васильович (1861-1862) - російський математик,

академік Петерб. А. н.)

(Джордж Грін (1793 - 1841) - англійський математик)

Іноді цю формулу називають формулою Гріна, проте, Дж. Грін запропонував в 1828 році тільки окремий випадок формули.

Формула Остроградського - Гріна встановлює зв'язок між криволінійним інтегралом і подвійним інтегралом, т. Е. Дає вираз інтеграла по замкненому контуру через подвійний інтеграл по області, обмеженою цим контуром.

Будемо вважати, що розглянута область однозв'язна, Т. Е. В ній немає виключених ділянок.

y

y = y2(X)

D

A

C

B

y = y1(X)

0 x1 x2 x

Якщо замкнутий контур має вигляд, показаний на малюнку, то криволінійний інтеграл по контуру L можна записати у вигляді:

Якщо ділянки АВ і CD контуру прийняти за довільні криві, то, провівши аналогічні перетворення, отримаємо формулу для контуру довільної форми:

Ця формула називається формулою Остроградського - Гріна.

Формула Остроградського - Гріна справедлива і в разі многосвязной області, т. Е. Області, всередині якої є виключені ділянки. У цьому випадку права частина формули буде являти собою суму інтегралів по зовнішньому контуру області та інтегралів по контурах всіх виключених ділянок, причому кожен з цих контурів інтегрується в такому напрямку, щоб область D весь час залишалася по ліву сторону лінії обходу.

Приклад. Вирішимо приклад, розглянутий вище, скориставшись формулою Остроградського - Гріна.

Формула Остроградського - Гріна дозволяє значно спростити обчислення криволінійного інтеграла.

Криволінійний інтеграл не залежить від форми шляху, якщо він уздовж усіх шляхів, що з'єднують початкову та кінцеву точку, має одну і ту ж величину.

Умовою незалежності криволінійного інтеграла від форми шляху рівносильно рівності нулю цього інтеграла по будь-якому замкнутому контуру, який містить початкову і кінцеву точки.

Ця умова буде виконуватися, якщо підінтегральний вираз є повним диференціалом деякої функції, т. Е. Виконується умова тотальності.

Поверхневі інтеграли першого роду.

z

DSi

y

D

x

Поверхневий інтеграл є таким же узагальненням подвійного інтеграла, яким криволінійний інтеграл є по відношенню до певного інтеграла.

Розглянемо поверхню в просторі, яка довільно розбита на n частин.

Розглянемо добуток значення деякої функції F в довільній точці з координатами (a, b, g) на площу часткового ділянки DSi, Що містить цю точку.

Визначення. Якщо при прагненні до нуля кроку розбиття l поверхні існує кінцевий межа інтегральних сум, то ця межа називається поверхневим інтегралом першого роду інтегралом по площі поверхні.

Властивості поверхневого інтеграла першого роду.

Поверхневі інтеграли першого роду мають такі властивості:

1)  S - площа поверхні.

2)

3)

4) Якщо поверхня розділена на частини S1 і S2, то

5) Якщо  , то

6)

7) Теорема про повну загальну середню.

Якщо функція F (x, y, z) неперервна в будь-якій точці поверхні S, то існує точка (a, b, g) така, що

S - площа поверхні.

Провівши міркування, аналогічні тим, які використовувалися при знаходженні криволінійного інтеграла, одержимо формулу для обчислення поверхневого інтеграла першого роду через подвійний інтеграл по по площі проекції поверхні на площину XOY.

Поверхневі інтеграли другого роду.

Якщо на поверхні S є хоча б одна точка і хоча б один не перетинає кордон поверхні контур, при обході по якому напрямок нормалі в точці змінюється на протилежне, то така поверхня називається односторонньої.

Якщо при цих умовах напрямок нормалі не змінюється, то поверхня називається двосторонньої.

Будемо вважати позитивним напрямком обходу контуру L, що належить поверхні, такий напрямок, при русі по якому за обраною стороні поверхні сама поверхня залишається зліва.

Двостороння поверхню з встановленим позитивним напрямком обходу називається орієнтованоїповерхнею.

Розглянемо в просторі XYZ обмежену двосторонню поверхню S, що складається з кінцевого числа шматків, кожен з яких заданий або рівнянням виду z = f (x, y), або є циліндричною поверхнею з утворюючими, паралельними осі OZ.

Визначення. Якщо при прагненні до нуля кроку розбиття поверхні S інтегральні суми, складені як суми творів значень деякої функції на площу часткової поверхні, мають кінцевий межа, то ця межа називається поверхневим інтегралом другого роду.

- Поверхневий інтеграл другого роду.

Властивості поверхневого інтеграла другого роду аналогічні вже розглянутим нами властивостями поверхневого інтеграла першого роду.

Т. е. Будь-який поверхневий інтеграл другого роду змінює знак при зміні сторони поверхні, постійний множник можна виносити за знак інтеграла, поверхневий інтеграл від суми двох і більше функцій дорівнює сумі поверхневих інтегралів від цих функцій, якщо поверхня розбита на кінцеве число часткових поверхонь, інтеграл по всій поверхні дорівнює сумі інтегралів по частковим поверхонь.

Якщо S- циліндрична поверхня зутворюють, паралельними осі OZ, то  . У разі, якщо утворюють поверхні паралельні осях OX та OY, то дорівнюють нулю відповідні складові поверхневого інтеграла другого роду.

Обчислення поверхневого інтеграла другого роду зводиться до обчислення відповідних подвійних інтегралів. Розглянемо це на прикладі.

Приклад. обчислити інтеграл  по верхній стороні півсфери

Перетворимо рівняння поверхні до виду:

Задана поверхню проектується на площину XOY в коло, рівняння якого:

Для обчислення подвійного інтеграла перейдемо до полярних координат:

(Див. Подвійний інтеграл в полярних координатах.)

,

Зв'язок поверхневих інтегралів першого та другого роду.

Поверхневі інтеграли першого і другого роду пов'язані один з одним співвідношенням:

У цій формулі cosa, cosb, cosg - напрямні косинуси нормалі до поверхні S в обрану сторону поверхні.

Формула Гаусса - Остроградського.

Формула Гаусса - Остроградського є аналогом формули Гріна - Остроградського. Ця формула пов'язує поверхневий інтеграл другого роду по замкнутій поверхні з потрійним інтегралом по просторовій області, що обмежена цією поверхнею.

Для виведення формули Гаусса - Остроградського треба скористатися міркуваннями, подібними до тих, які використовувалися при знаходженні формули Гріна - Остроградського.

Розглядається спочатку поверхню, обмежена зверху і знизу деякими поверхнями, заданими відомими рівняннями, а збоку обмежену циліндричною поверхнею. Потім розглядається варіант коли поверхня обмежена циліндричною поверхнею з утворюючими, паралельними дум Доуг координатним осях.

Після цього отримані результати узагальнюються, приводячи до формули Гаусса - Остроградського:

Відзначимо, що ця формула може бути застосована для обчислення поверхневих інтегралів по замкнутій поверхні.

На практиці формулу Гаусса - Остроградського можна застосовувати для обчислення обсягу тіл, якщо відома поверхня, що обмежує це тіло.

Тіеют місце формули:

Приклад. Знайти формулу обчислення обсягу кулі.

У поперечних перетинах кулі (перетину паралельні площині XOY) виходять окружності.

Рівняння кулі має вигляд:

Знайти об'єм кулі можна за формулою:

Для вирішення цієї ж задачі можна скористатися перетворенням інтеграла до сферичних координат. (Див. Сферична система координат.) Це значно спростить інтегрування.

Елементи теорії поля.

Визначення. Якщо кожній точці простору М ставиться у відповідність деяка скалярна величина U, то таким чином задається скалярний полеU (M). Якщо кожної простору М ставиться у соотвтствіе вектор  , То задається векторне поле  (М).

Нехай в просторі М задана поверхня D. Будемо вважати, що в кожній точці Р визначається позитивний напрямок нормалі одиничним вектором .

У просторі М задамо векторне поле, постові у відповідність кожній точці точці простору вектор, визначений координатами:

Якщо розбити будь - яким чином поверхню на часткові ділянки Di і скласти суму  , де  - Скалярний добуток, то межа цієї суми при прагненні до нуля площ часткових ділянок розбиття (якщо ця межа існує) буде поверхневим інтегралом.

 



 Можна довести, що межа суми, що стоїть в правій частині рівності дорівнює інтегралу |  Визначення. Поверхневий інтеграл називається потоком векторного поля через поверхню D.
загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати