Головна |
Глава 2 ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ.Основними поняттями теорії ймовірності є поняття події и ймовірності подій. під подією розуміють такий результат експерименту або спостереження, який при реалізації комплексу умов може відбутися або не відбутися. Події можна поділити на три види: 1) достовірне - Якщо воно при здійсненні комплексу умов обов'язково відбудеться; 2) неможливе - Якщо воно при випробуванні не може відбутися; 3) випадкове - Якщо при випробуванні воно може відбутися, а може і не відбутися. - До л і з сек і ч е с ь к о е о п р е д е л е н і е в е р о я т н о с т і. Ймовірністю події А називають відношення числа m сприяють результатів до числа n всіх можливих елементарних фіналів в даному випробуванні. ймовірність будь-якої події А задовольняє нерівностям Вивчіть поняття відносної частоти і статистичної ймовірності (див. §6,7 гл.I [1]). - Т е о р е м и с л о ж е н і я і у м н о ж е н і я в е р о я т н о с т е й. події називаються спільними, Якщо поява однієї з них не виключає можливості появи інших. Наприклад: 3 знаряддя стріляють в ціль і можливість попадання в ціль всіх 3-х гармат не виключається, отже вони сумісні. події називаються несумісними (несумісними), якщо поява однієї з них виключає можливість появи інших. Наприклад: при киданні монети випадання «орла» виключає можливість появи "решки". Сумою двох подій А и В називається подія С, Що складається в появі хоча б однієї з подій А або В. Сумою декількох подій називається подія, яке у появу хоча б одного з цих подій. Твором двох подій А и В називається подія С, Яке у спільному появу події А і події В. Твором кількох подій називається подія, яке у спільному появу всіх цих подій. Теорема додавання ймовірностей: Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій: Р(А + В) =Р(А) +Р(В) (Доказ см. §1 гл.II [1]). У разі, коли події А и В сумісні, ймовірність їх суми виражається формулою: Р(А + В) =Р(А) +Р(В) -Р(АВ), Де АВ - Твір подій А и В. Теорема додавання ймовірностей для кількох подій: Імовірність суми декількох несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей: У разі, коли події сумісні, ймовірність їх суми виражається формулою , де суми поширюються на всі можливі комбінації різних індексів i, j, k, ..., взятих по одному, по два, по три і т. д. приклад 1. З колоди в 36 карт навмання виймають 3 карти. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться хоча б один туз. Рішення. Позначимо події: - Поява хоча б одного туза, А - Поява одного туза, А - Поява двох тузів, А - Поява трьох тузів. подія відбудеться, якщо настане одна з несумісних подій А , А або А . Очевидно, що В = А + А + А , Р(В) = Р(А ) + Р(А ) + Р(А ), т. е. Р(В) = . Можна вирішити інакше. подія , Протилежне події , Полягає в тому, що серед вийнятих з колоди карт немає жодного туза: ( ) + ( ) = 1, ( ) = 1 - ( ) = . приклад 2. В урні знаходяться 5 білих і 4 чорних кулі. З урни виймають навмання 3 кулі. Яка ймовірність того, що вони виявляться одного кольору? Рішення. Позначимо події: А - Поява трьох куль одного кольору, А - Поява трьох куль білого кольору, А - Поява трьох куль чорного кольору. подія А настане, якщо відбудеться яка-небудь з двох несумісних подій А або А : А = А + А , Р(А) = Р(А ) +Р(А ) = зауваження. якщо подія А и В сумісні, то р (А + В) р (А) + р (В). якщо події несумісні і утворюють повну групу, то сума їх ймовірностей дорівнює одиниці: подія називається протилежним події , Якщо воно складається в непояві події . Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці: Р( ) + Р( ) = 1. Умовною ймовірністю події А при наявності В називається ймовірність події А, Обчислена за умови, що подія В відбулося. Ця ймовірність позначається Р . події А и В називаються незалежними, Якщо поява однієї з них не змінює ймовірності появи іншого. Для незалежних подій Р = Р( ); Р = Р(В ). Ухта 2005 | Т е о р е м а у м н о ж е н і я в е р о я т н о с ті й Доведемо, що | І ЇХ ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ. | Приклад 14. Дана функція розподілу неперервної випадкової величини Х | Глава 4 ЗАВДАННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ. | Завдання № 1 - 20. | Завдання № 21- 40 | |