Головна

Глава 2 ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ.

  1.  BB.1.2 Елементи решітки з одиничних кутиків
  2.  I На шляху побудови єдиної теорії поля 6.1. Теорема Нетер і закони збереження
  3.  I. Основи молекулярно-кінетичної теорії
  4.  I. Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.
  5.  I. Елементи теорії ймовірностей
  6.  II. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ
  7.  jЕлементи математичної статистики - Спроба 1

Основними поняттями теорії ймовірності є поняття події и ймовірності подій.

під подією розуміють такий результат експерименту або спостереження, який при реалізації комплексу умов може відбутися або не відбутися.

Події можна поділити на три види:

1) достовірне - Якщо воно при здійсненні комплексу умов обов'язково

відбудеться;

2) неможливе - Якщо воно при випробуванні не може відбутися;

3) випадкове - Якщо при випробуванні воно може відбутися, а може і не відбутися.

- До л і з сек і ч е с ь к о е о п р е д е л е н і е в е р о я т н о с т і.

Ймовірністю події А називають відношення числа m сприяють результатів до числа n всіх можливих елементарних фіналів в даному випробуванні.

ймовірність будь-якої події А задовольняє нерівностям

Вивчіть поняття відносної частоти і статистичної ймовірності (див. §6,7 гл.I [1]).

- Т е о р е м и с л о ж е н і я і у м н о ж е н і я в е р о я т н о с т е й.

події  називаються спільними, Якщо поява однієї з них не виключає можливості появи інших.

Наприклад: 3 знаряддя стріляють в ціль і можливість попадання в ціль всіх 3-х гармат не виключається, отже вони сумісні.

події  називаються несумісними (несумісними), якщо поява однієї з них виключає можливість появи інших.

Наприклад: при киданні монети випадання «орла» виключає можливість появи "решки".

Сумою двох подій А и В називається подія С, Що складається в появі хоча б однієї з подій А або В.

Сумою декількох подій називається подія, яке у появу хоча б одного з цих подій.

Твором двох подій А и В називається подія С, Яке у спільному появу події А і події В.

Твором кількох подій називається подія, яке у спільному появу всіх цих подій.

Теорема додавання ймовірностей:

Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Р(А + В) =Р(А) +Р(В)

(Доказ см. §1 гл.II [1]).

У разі, коли події А и В сумісні, ймовірність їх суми виражається формулою:

Р(А + В) =Р(А) +Р(В) -Р(АВ), Де АВ - Твір подій А и В.

Теорема додавання ймовірностей для кількох подій:

Імовірність суми декількох несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей:

У разі, коли події  сумісні, ймовірність їх суми виражається формулою

,

де суми поширюються на всі можливі комбінації різних індексів i, j, k, ..., взятих по одному, по два, по три і т. д.

приклад 1. З колоди в 36 карт навмання виймають 3 карти. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться хоча б один туз.

Рішення. Позначимо події:

 - Поява хоча б одного туза,

А  - Поява одного туза,

А  - Поява двох тузів,

А  - Поява трьох тузів.

подія  відбудеться, якщо настане одна з несумісних подій А , А  або А .

Очевидно, що В = А  + А  + А ,

Р(В) = Р(А  ) + Р(А  ) + Р(А  ),

т. е. Р(В) = .

Можна вирішити інакше. подія  , Протилежне події  , Полягає в тому, що серед вийнятих з колоди карт немає жодного туза:

(  ) + (  ) = 1,

(  ) = 1 - (  ) = .

приклад 2. В урні знаходяться 5 білих і 4 чорних кулі. З урни виймають навмання 3 кулі.

Яка ймовірність того, що вони виявляться одного кольору?

Рішення. Позначимо події:

А - Поява трьох куль одного кольору,

А  - Поява трьох куль білого кольору,

А  - Поява трьох куль чорного кольору.

подія А настане, якщо відбудеться яка-небудь з двох несумісних подій А  або А :

А = А  + А ,

Р(А) = Р(А  ) +Р(А  ) =

зауваження. якщо подія А и В сумісні, то

р (А + В)  р (А) + р (В).

 
 

 якщо події  несумісні і утворюють повну групу, то сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:

подія  називається протилежним події  , Якщо воно складається в непояві події .

Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:

Р(  ) + Р(  ) = 1.

Умовною ймовірністю події А при наявності В називається ймовірність події А, Обчислена за умови, що подія В відбулося. Ця ймовірність позначається Р .

події А и В називаються незалежними, Якщо поява однієї з них не змінює ймовірності появи іншого. Для незалежних подій

Р = Р(  ); Р = Р(В ).

 Ухта 2005 |  Т е о р е м а у м н о ж е н і я в е р о я т н о с ті й


 Доведемо, що |  І ЇХ ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ. |  Приклад 14. Дана функція розподілу неперервної випадкової величини Х |  Глава 4 ЗАВДАННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ. |  Завдання № 1 - 20. |  Завдання № 21- 40 |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати