На головну

 В результаті освоєння дисципліни навчається повинен |  Критерії оцінювання рівня освоєння дисципліни |  Навчально-методичне забезпечення |  Інформаційні технології та ресурси (г) |  аксіоматичної теорії |  Поняття аксіоматичної теорії |  Як виникають аксіоматичні теорії |  Приклади аксіоматичних теорій |  Інтерпретації та моделі аксіоматичної теорії |  Властивості аксіоматичних теорій |

Формулювання аксіоматичної теорії

  1.  I На шляху побудови єдиної теорії поля 6.1. Теорема Нетер і закони збереження
  2.  I. Основи молекулярно-кінетичної теорії
  3.  I. Елементи теорії ймовірностей
  4.  VIII. ПАТОЛОГІЧНІ синдроми, ВИЯВЛЕНІ У ХВОРОГО, ФОРМУЛИРОВКА КЛІНІЧНОГО ДИАГНОЗА, ОБГРУНТУВАННЯ
  5.  А. Нормативне застосування теорії раціонального вибору
  6.  Абсолютні величини в теорії відносності. Швидкість світла, інтервал і власний час
  7.  аксіоматичної теорії

У цьому параграфі вводиться поняття формулювання теорії і незалежності системи аксіом.

Як вже говорилося, неформальна теорія T включає в себе деякий список T0 невизначених термінів, список T1 визначених термінів, список P0 аксіом і список P1 всіх інших висловлювань, які можна вивести з P0 по деяким фіксованим логічним правилам. призначення безлічі T0 полягає в тому, щоб отримати з нього безліч T0 E T1 всіх використовуваних в теорії T термінів; аналогічно, безліч P0 потрібно для отримання безлічі P0 E P1 всіх теорем теорії T. Впорядковану пару <T0, P0 > Зазвичай називають формулюванням теорії T.

вивчення теорії T може привести нас до виявлення найрізноманітніших і корисних інших її формулювань. Завдання будь-якої з цих формулювань рівносильно завданням деякого підмножини  безлічі T0 E T1 і підмножини  безлічі P0 E P1, Що складається з висловлювань, виразність в термінах елементів безлічі  , Причому з висловлювань, що входять в  , Можна вивести всі інші теореми даної теорії. Щоб пара виду < T0, P0> Була формулюванням теорії T, Досить, очевидно, щоб терміни з T0 могли бути визначені через терміни з  і щоб висловлювання з P0 могли бути виведені з висловлювань з .

Для багатьох загальновідомих аксіоматичних теорій є різні формулювання. Різні формулювання будь-якої теорії - це ні що інше, як різні можливі підходи до однієї і тієї ж математичної структурі. Залежно від прийнятих критеріїв можна віддати перевагу тій чи іншу з таких різних формулювань. Підставами для такого переваги можуть, наприклад, служити міркування естетичного характеру; важливу роль може тут грати і бажання мати якомога легше безліч аксіом, а також можливість більш витончених доказів теорем. Одні дослідники вважають за краще якусь конкретну формулювання теорії, знаходячи її більш «природної», ніж інші. Інші прагнуть мати у своєму розпорядженні формулюванням, що включає мінімальну кількість первинних термінів або аксіом.

Здавалося б, від формулювання аксіоматичної теорії нічого не залежить. Дві різні формулювання <T0, P0 > І < ,  > Одній теорії T визначають, очевидно, одне і те ж безліч теорем. Однак, дослідники, відштовхуючись від різних формулювань, часто розвивають теорію в різних напрямках. При цьому безліч теорем, доведених дослідниками, які взяли за основу формулювання <T0, P0 >, Може значно відрізнятися від безлічі теорем, доведених дослідниками, які взяли за основу формулювання < ,  >. Різні формулювання теорії в багатьох випадках визначають різні напрямки досліджень. Так, наприклад, теорія графів і теорія бінарних відносин значно відрізняються один від одного наборами доведених теорем, хоча по суті вони є різними формулюваннями однієї і тієї ж теорії.

Формулювання неформальній теорії можна характеризувати за допомогою такого поняття, як незалежність безлічі аксіом.

Визначення 6.1. Безліч аксіом називається незалежним, Якщо виключення будь-якої аксіоми з цього безлічі призводить до зменшення запасу теорем; в іншому випадку безліч аксіом називають залежним.

Окрема аксіома (розглянута як елемент безлічі аксіом деякої формулювання) незалежна, якщо її виключення з цього безлічі зменшує запас теорем, і залежна в іншому випадку. Ясно, що незалежна аксіома не може бути виведена з інших аксіом. Зрозуміло, незалежність якого-небудь безлічі аксіом рівнозначна тому, що незалежна кожна аксіома з цієї множини.

Розглянемо несуперечливу теорію T з формулюванням <T0, P0 >, І нехай A - Одна з її аксіом. Щоб переконатися в незалежності аксіоми A від інших аксіом  , Треба довести, що ні A, ні  не можна вивести з  . Для цього досить побудувати дві моделі теорії  з формулюванням <T0,  > Так, щоб в одній з них виконувалося пропозицію A (Це буде модель теорії T), А в іншій -  . Так як несуперечливість теорії T вважається встановленої раніше, то першу модель вже фактично будувати не треба. Досить побудувати другу модель - модель теорії з формулюванням .

Наприклад, незалежність системи аксіом A1, A2, A3 теорії афінних площин може бути доведена за допомогою побудови трьох інтерпретацій теорії, для кожної з яких не виконується одна з аксіом A1, A2, A3, А дві інші виконуються (рис. 6.1).

Мал. 6.1. Три інтерпретації для доказу незалежності
 аксіом A1, A2, A3 відповідно

Незалежність не є обов'язковою вимогою для системи аксіом. Незалежність системи аксіом свідчить в даному разі про витонченість містить цю систему формулювання теорії. Не завжди для тієї чи іншої аксіоматичної теорії доцільно вибирати незалежну систему аксіом: витонченість системи аксіом може привести до громіздкості доказів теорем теорії.



 вправи |  Список навчально-методичних розробок для студента (в)
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати