Головна

Приклади аксіоматичних теорій

  1.  III. Приклади фізіологічного будови тварин
  2.  Адитивні проектні методики і інтерпретаційні. Приклади.
  3.  АЛЬТЕРНАТИВИ ТЕОРІЙ МОДЕРНІЗАЦІЇ
  4.  Аналіз преформістской теорій розвитку особистості
  5.  Архітектура СУБД. Логічна і фізична незалежність. Види СУБД. Локальні і серверні СУБД. Коротка характеристика. Приклади.
  6.  Б. Перенесення теорій через дисциплінарні кордону
  7.  Квиток №11. Кінематичний аналіз механізмів (плоских одноподвіжних). Аналоги швидкостей і прискорень. Приклади механізмів із зовнішнім і внутрішнім входом.

Наведемо два приклади аксіоматичних теорій.

Приклад 3.1. Теорія афінних площин. Первинними поняттями цієї теорії є крапка и пряма, Що характеризують приналежність об'єктів аксіоматичної теорії деяким множинам (безлічі точок і безлічі прямих). Третім первинним поняттям теорії є инцидентность, Що характеризує певну відповідність між точками і прямими. якщо точка A пов'язана відповідністю инцидентности з прямою a, То кажуть, що точка A инцидентна прямий a, І пишуть A I a.

Всі властивості прямих, точок і відносини інцидентності описуються трьома аксіомами.

A1. Існують три крапки не інцидентні одній прямій.

A2. Будь-які дві різні точки інцідентни єдиною прямою.

Перш ніж сформулювати третю аксіому, введемо визначення.

визначення D1. дві прямі l и m, Що не мають жодної спільної точки або повністю збігаються, називаються паралельними (Позначення: l m).

A3 (Аксіома паралельних). Для будь-якої точки A і прямий l існує єдина пряма m така, що A I m и m l.

Вражаюче, що така бідна аксіоматика призводить до змістовної теорії.

Приклад 3.2. теорія еквівалентності. Як простий приклад аксіоматичної теорії розглянемо теорію, що описує відношення еквівалентності. Ця теорія має справу з одним типом об'єктів, безліч яких будемо позначати буквою X. Для цих об'єктів не вводиться спеціальну назву (але можна було б, звичайно, назвати їх як завгодно). Об'єкти пов'язані єдиним бінарним відношенням a. При цьому слід дотримуватися трьох аксіом B1-B3.

B1. ставлення a транзитивно, Тобто для будь-яких трьох об'єктів  з a a b и b a c слід a a c.

B2. ставлення a симетрично, Тобто для будь-яких двох об'єктів  з a a b слід b a a.

B3. ставлення a рефлексивно, Тобто для будь-якого об'єкта  виконується умова a a a.

Для читачів, не знайомих з бінарними відносинами, нижче наводяться необхідні визначення і приклади. Більш докладний виклад питань, пов'язаних з бінарними відносинами, можна знайти в одній з попередніх лекцій [1].

Визначення 3.1. бінарним відношенням на безлічі X називається будь-яка сукупність упорядкованих пар (x, y), Де x, y I X.

Наприклад, нехай X = {a, b, c, d, e}. Тоді безліч кортежів a = {(a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e, e), (e, b)} Є відношенням на множині X.

Зазвичай стосунки задаються не перерахуванням елементів безлічі a, а шляхом вказівки властивості пар (x, y), Що належать цій множині. Наприклад, ставлення a = {(4, 4), (3, 3), (2, 2), (4, 2)} На множині X = {4, 3, 2} Можна визначити як властивість «ділиться» на цьому підмножині цілих чисел.

Добре відомими прикладами відносин зі шкільного курсу математики є:

- На множині цілих чисел Z відносини «ділиться», «ділить», «дорівнює», «більше», «менше», «взаємно прості»;

- На безлічі прямих простору відносини «паралельні», «взаємно перпендикулярні», «схрещуються», «перетинаються», «збігаються»;

- На безлічі кіл площині «перетинаються», «стосуються», «концентричні».

Факт приналежності кортежу (x, y) Стосовно a, часто позначають за допомогою так званої інфіксной форми запису: x a y. Типовими прикладами таких записів з курсу математики є: x > y, a = b, 8 4, m l, a b і т.п.

Широко поширений спосіб представлення відносин, заснований на використанні орієнтованих графів. При такому поданні елементи безлічі X зображуються вершинами графа (точками площини), а елементи (x, y) Відносини a дугами (стрілками), що з'єднують першу компоненту x відносини з другої компонентою y. Граф бінарного відносини a з наведеного вище прикладу зображено на малюнку 3.1.

Мал. 3.1. Граф бінарного відносини
 на множині {a, b, c, d, e}

Очевидно, що довільні бінарні відносини вивчати в загальному плані не особливо цікаво, про них можна сказати дуже мало. Однак, якщо відносини задовольняють деяким додатковим умовам, щодо них можна робити більш змістовні твердження. У аксіомах були перераховані три властивості бінарних відносин: транзитивність, рефлексивність і симетричність.

Прикладами транзитивних відносин служать:

- Відношення «ділиться» на множині дійсних чисел;

- Відношення «більше» на множині дійсних чисел;

- Відношення «старше» на безлічі людей іграшок;

- Відношення «мати однаковий колір» на безлічі дитячих іграшок;

- Відношення «бути нащадком» на безлічі людей.

Ставлення «бути схожим» на безлічі людей не має властивість транзитивності.

Прикладами симетричних відносин є:

- Відношення перпендикулярності на безлічі прямих;

- Відношення торкання на безлічі кіл;

- Відношення «бути схожим» на безлічі людей;

- Відношення «мати однаковий підлогу» на безлічі тварин.

ставлення «x брат y»На безлічі всіх людей не є симетричним. У той же час відношення «x брат y»На безлічі чоловіків симетричним є.

У графі симетричного відносини для кожної дуги з вершини x в вершину y є дуга з y в x.

У графі рефлексивного ставлення в кожній вершині графа обов'язково є петля.

Визначення 3.2. Бінарне відношення a на X називається антирефлексивне, Якщо ні для одного  одна з вимог a a a.

Визначення 3.3. Бінарне відношення a на безлічі X називається антисиметричних, Якщо для будь-яких різних елементів  умови a a b и b a a не виконуються одночасно.

Наприклад, ставлення «ділиться» на безлічі натуральних чисел є антисиметричних, так як з  випливає, що a = b. Однак на множині цілих чисел відношення «ділиться» антисиметричних не є, так як  , але -2 ? 2.

Відносини «вище», «важче», «старше» антисиметричного на безлічі людей. Ставлення «бути сестрою» на безлічі всіх людей антисиметричних не є.

У графі антисиметричного відносини дві різні вершини можуть бути з'єднані не більше ніж однією дугою.

Визначення 3.4. Бінарне відношення a на безлічі X називається зв'язковим, Якщо для будь-яких двох різних елементів a и b має місце a a b, або b a a.

Прикладом зв'язкового відносини є відношення «більше» на множині дійсних чисел. Ставлення «ділиться» на множині цілих чисел зв'язковим не є.

 Як виникають аксіоматичні теорії |  Інтерпретації та моделі аксіоматичної теорії


 Місце дисципліни в структурі ООП |  Компетенції того, хто навчається, що формуються в результаті освоєння дисципліни (модуля). |  В результаті освоєння дисципліни навчається повинен |  Критерії оцінювання рівня освоєння дисципліни |  Навчально-методичне забезпечення |  Інформаційні технології та ресурси (г) |  аксіоматичної теорії |  Поняття аксіоматичної теорії |  Властивості аксіоматичних теорій |  вправи |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати