На головну

 Правило віднімання числа від суми |  Правило віднімання суми від суми |  Поділ праці на число |  вправи |  Теорема 12. |  вправи |  Властивості МНОЖИН НАТУРАЛЬНИХ І цілих невід'ємних чисел кожного |  вправи |  Порядковий І КІЛЬКІСНІ НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА. |  вправи |

Властивості операції додавання

  1.  I. Будова і властивості металів.
  2.  II. Жири (ацілгліцероли). Їх структура, класифікація і властивості
  3.  III. Олігосахариди. Їх будова, властивості, представники
  4.  III. Психічні властивості особистості - типові для даної людини особливості його психіки, особливості реалізації його психічних процесів.
  5.  V2: 22. рівняння Шредінгера (загальні властивості) (A)
  6.  V2: 23. рівняння Шредінгера (конкретні властивості) (B)
  7.  А. Властивості і види рецепторів. Взаємодія рецепторів з ферментами і іонними каналами

1. ( "А, bI N0) А + b = b + а (коммутативность).

2. ( "А, b, cI N0) (А + b) + c = a + (b + c) = а + b + з (асоціативність).

3. ( "А, b, cI N0) (А + b = а + з ® b = с) U (а + b = з + b ® а = с) (Скоротність).

4. ( "А, b, cI N) (а + b <а + з ® b <с) U (а + b <з + b ® а <с) (Монотонність).

5. ( "А, bI N) А + b ? а U a + b ? b (Сума двох будь-яких натуральних чисел не дорівнює жодному з доданків).

6. ( "А, bI N) А + b> а U a + b> b (Сума двох будь-яких натуральних чисел більше будь-якого з доданків)

нехай а = п (А); b = п (В).

______________________________________________________________________

Визначення 7. Різницею чисел а і b називається кількість елементів різниці множин А і В за умови У I А.

___________________________________________________________________________________________________

a - b = п (А \ В), якщо В I А або а - b = п (В 'А).

А

______________________________________________________________________

Визначення 8. Різницею чисел а і b називають число с, якщо воно існує, таке, що а = b + с, а - в = з  а = в + с

___________________________________________________________________________________________________

Ці визначення рівносильні. Дійсно, нехай а = п (А); b = п (В); В I А, з = п (В 'А). В 'А = А \ В, якщо ВI А, А = В E В 'А, причому ВC В 'А = ?, п (А) = п (В E В 'А) = П (В) + п (В 'А), т. е. а = b + с.

______________________________________________________________________

Визначення 9. Операція по знаходженню різниці цілих невід'ємних чисел називається операцією віднімання.

___________________________________________________________________________________________________

різниця чисел а и b існує, коли а ? b.

Завдання 3.

1. Довести властивість асоціативності операції додавання.

2. Дати теоретико-множинне тлумачення правила віднімання числа від суми.

Рішення. 1. Доведемо, що ( "А, b, cI N) (а + b) + с = a + (b + с).

Дамо теоретико-множинне тлумачення числових виразів, записаних в лівій і правій частинах цього числового рівності. нехай

а = п (А); b = п (В); з = п (С); тоді а + b = п (АE В), якщо АC В = ?, (А + b) + з = п ((А E В) E С), якщо (АE В) C С = ?,

b + з = п (В E C), якщо В C С = ?, а + (b + с) = п (А E (В C С)), якщо А C (ВE С) = ?.

 Використовуючи діаграми Ейлера-Венна, безлічі А, В и С можна зобразити так:


Користуючись властивістю асоціативності операції об'єднання множин, отримуємо

( "A, B, С) (A E B) E C = А E (В E С) ? п ((АEB) E С) = п (АE (ВE С)) ? (а + b) + с = а + (b + с)

(Рівні безлічі мають і рівне число елементів).

2. Розглянемо один із способів віднімання, наприклад (А + b) -з = (а - с) + b, якщо а> с. нехай а = п (А); b = п (В); з = п (С). Дамо теоретико-множинне тлумачення числових виразів, записаних в лівій і правій частинах цього числового рівності. Для лівої частини рівності отримаємо:

а + b = п (А E В), якщо А C B = ?,

(А + b) - з = п ((АE В) \ С), якщо З I А E В.

Використовуючи діаграми Ейлера-Венна, безлічі А и В можна зобразити так:

безліч С може бути підмножиною А або В. Розглянемо випадок, коли З I А.

У правій частині рівності отримаємо:

а - з = п (А \ C, Т. К. З I А, (а - с) + b = п ((А \ С) E В), якщо (А \ С) C B = ?.

В цьому випадку безлічі зображуються так:

В

У лівій частині рівності коло для безлічі С розташований всередині кола для безлічі А.

Можна довести, що (А E В) \ С = (А \ С) E В. Так як рівні безлічі мають рівне число елементів, отримуємо:

п ((АE В) \ С) = п ((А \ С) E В) => (а + b) - з = (а - с) + b.

Завдання 4.

Вирішити завдання і обгрунтувати вибір дій.

1. Оля зібрала гриби: два білих і п'ять красноголовців. Скільки грибів зібрала Оля?

2. У Тані п'ять кульок, два з них вона віддала Олені. Скільки кульок залишилося у Тані?

Рішення.

Переведемо умова і питання завдань на мову теорії множин.

1. Нехай А - безліч білих грибів, які зібрала Оля, за умовою задачі п (А) = 2;

В - безліч красноголовців, які зібрала Оля, за умовою задачі п (В) = 5;

З - безліч всіх грибів, які зібрала Оля. Число елементів безлічі С невідомо, його треба знайти, т. е. п (С) - ?

C

A B

безліч С являетсяоб'едіненіем множин А и В; З = АE В, причому А C B = ?.

n (C) = п (А E В) = п (А) + п (В) = 2 + 5 = 7.

Оля зібрала 7 грибів.

Це завдання на з'ясування конкретного сенсу складання натуральних чисел.

2. Нехай А - безліч кульок, які були у Тані, за умовою задачі п (А) = 5;

В - безліч кульок, які Таня віддала Олені, за умовою задачі п (В) = 2;

З - безліч кульок, які залишилися у Тані, чисельність безлічі З невідома, її треба знайти, т. Е. п (С) - ?

висловимо безліч С через безлічі А и В.

А

 З У

А = ВE С, ВC С = ?

С - Різниця множин А и В, причому В I А. С = А \ В, тоді n (C) = п (А \ В) = п (А) - п (В) = 5 - 2 = 3, Т. Е. n (С) = 3.

У Тані залишилося три кульки.

Це завдання на з'ясування змісту дії віднімання натуральних чисел.

завдання 5

Вирішити і обгрунтувати вибір дій.

1. У Каті було 3 кулі, а у Тані на 1 куля більше. Скільки куль було у Тані?

2. У парку 7 берез, а єлей на 2 менше. Скільки ялин в парку?

3. На верхній полиці 9 книг, а на нижній 5. На скільки книг більше на верхній полиці, ніж на нижній?

Рішення.

Переведемо умова і питання завдань на мову теорії множин.

1. Нехай А - безліч куль у Каті, за умовою задачі п (А) = 3; В - безліч куль у Тані, число їх невідоме, т. е. п (В) - ? У Тані на 1 куля більше, ніж у Каті, це означає, що у Тані куль стільки ж, скільки у Каті, і ще один. Введемо в розгляд допоміжні безлічі: В1 - безліч куль у Тані, яких було стільки ж, скільки у Каті, т. е. В1 ~ А і тоді n (B1) = П (А) = 3; В2 - безліч куль у Тані, яких у Каті немає. За умовою завдання п (В2) = 1, Т. К. У Тані на 1 куля більше.

Зобразимо схематично безлічі і висловимо безліч В через допоміжні безлічі.


А -

В -

В1 В2

В - об'єднання множин B1 и В2, причому В1 C В2 = ?, В = В1 и В2, тоді п (В) = п (В1) + П (В2) = 3 + 1 = 4.

У Тані було 4 кулі.

Це завдання на сенс відносини «більше на ...».

2. Нехай А - безліч беріз у парку, число їх дорівнює 7, т. е. п (А) = 7;

В - Безліч ялин в парку, число їх треба знайти, т. Е. п (В) - ?

Ялин на три менше, ніж беріз, т. Е. Ялин стільки ж, скільки беріз, але без трьох. Введемо в розгляд допоміжні безлічі:

B1 - Безліч ялин в парку, яких було б стільки ж, скільки беріз, т. Е. В1 ~ А, і тоді n (B1) = п (А) = 7.

В2 - безліч ялин, яких в парку немає, т. к. їх на 3 менше, ніж беріз то п (В2) = 3, причому В2I B2.

Зобразимо схематично безлічі і висловимо безліч В через допоміжні безлічі.

А -

В1 -

В В2

В - різницю множин В1 и В2, причому В2 I В1, т. е. В = В1\ В2, тоді п (В) = п (В1\ В2) = П (В1) - П (В2) = 7 - 3 = 4.

У парку 4 їли.

Це завдання на сенс відносини «менше на ...».

3. Нехай А - безліч книг на верхній полиці, число їх дорівнює 9, т. е. п (А) = 9;

В - безліч книг на нижній полиці, число їх дорівнює 5, т. е. п (В) = 5;

Введемо в розгляд допоміжні безлічі:

А1 - безліч книг на верхній полиці, в якому їх стільки ж, скільки на нижній, т. е. A1 ~ B, і тоді п (А1) = п (В) = 5;

А2 - безліч книг на верхній полиці, яких немає в А1. Число елементів безлічі А2 треба знайти, т. е. п (А2) - ?

Зобразимо схематично безлічі і висловимо безліч А2 через інші безлічі.

А -

А1 А2

В -

А2 - різницю множин А и А1, причому А1 I А;

А2 = А \ А1, тоді п (А2) = П (А \ А1) = П (А) - п (А1) = 9 - 5 = 4.

На верхній полиці на чотири книги більше, ніж на нижній.

Завдання 6.

Вирішити і пояснити вибір дій.

1. У парку 9 кленів. Їх на три більше, ніж лип. Скільки лип в парку?

2. На столі 6 чашок, їх на 2 менше, ніж ложок. Скільки ложок на столі?

Рішення.

1. Перший спосіб. нехай А - безліч лип в парку, число їх треба знайти, т. е. п (А) - ? В - безліч кленів в парку, число кленів дорівнює 9, т. е. п (В) = 9. Кленов на три більше, ніж лип, це означає, що кленів стільки ж, скільки лип, і ще три. Введемо в розгляд допоміжні безлічі:

B1 - Безліч кленів, яких стільки ж скільки було б лип, тоді В1 ~ А и n (B1) = П (А);

B2 - безліч кленів з безлічі В, які не увійшли до В1, Т. Е. В2 I В, В1 C В2 = ? і В = В1 E В2, причому п (В2) = 3.

Треба знайти п (А); п (А) = п (В1). Зобразимо безлічі схематично і висловимо безліч В1 через інші безлічі.

А -

В -

В1 В2

В1 - різницю множин В и В2, В1 = В \ В2, причому В2 I В, тоді п (В1) = п (В \ У2) = П (В) - п (В2) = 9 - 3 = 6, п (В1) = 6, тоді п (А) = 6. У парку 6 лип.

Другий спосіб. нехай A - Безліч лип в парку, число їх треба знайти, т. Е. п (А) - ? В - безліч кленів в парку, число їх дорівнює 9, т. е. п (В) = 9. Так як кленів на три більше, ніж лип, то лип на 3 менше, ніж кленів. Введемо в розгляд допоміжні безлічі:

А1 - безліч лип, в якому лип було б стільки ж, скільки кленів, т. е. А1~ У и п (А1) = п (В) = 9;

А2 - безліч лип з А1, які не увійшли до А, т. е. п (А2) = 3, А2 I А1, А2= ?, тоді A1 = А E А2.

Зобразимо схематично безлічі і висловимо безліч А через інші.

А1 -

А А2

В -

А - різницю множин А1 и А2, А = А1\ A2, причому, А2 I А1, тоді п (А) = п (А1\ А2) = П (А2) -п (А2) = 9 - 3 = 6.

У парку 6 лип.

2. Перший спосіб. нехай А - Безліч чашок на столі, число чашок 6, т. Е. п (А) = 6; В - безліч ложок на столі, число ложок треба знайти, т. е. п (В) - ? Чашок на 2 менше, ніж ложок, це означає чашок стільки ж, скільки ложок, але без 2. Введемо в розгляд допоміжні безлічі:

А1 - Безліч чашок, в якому чашок було б стільки ж, скільки ложок, тоді А1 ~ У и n (A1) = П (В);

А2 - безліч чашок, які не ввійшли в безліч А, т. е. п (А2) = 2; А2I А1, А C А2 = ?, Причому A1 = АE А2.

Треба знайти п (В); п (В) = п (А1). Зобразимо безлічі схематично і висловимо безліч А1 через інші.

А1 -

А А2

В -

А1 - об'єднання множин А и А2, причому А C А2 = ?. А1= АE А2, тоді п (А1) = П (АE А2) = П (А) + п (А2) = 6 + 2 = 8. т. к. п (В) = п (А1), то вісім ложок на столі.

Другий спосіб. нехай А - безліч чашок на столі, число чашок 6, т. е. п (А) = 6; В - безліч ложок на столі, число ложок треба знайти, т. е. п (В) - ? Чашок на дві менше, ніж ложок, тоді ложок на дві більше, ніж чашок. Введемо в розгляд допоміжні безлічі:

В1 - Безліч ложок, в якому ложок стільки ж, скільки чашок, тоді В1~ А и п (В1) = П (А) = 6;

В2 - безліч ложок з В, які не увійшли до В1, т. е. п (В2) = 2, причому В1 C В2= ?, В = В1 и В2.

Зобразимо схематично безлічі і висловимо безліч В через інші.

А -

В -

В1 В2

В - об'єднання множин B1 и В2, В = В1 E В2, причому В1 C B2 = ?, тоді п (В) = n (B1E B2) = N (B1) + П (В2) = 6 + 2 = 8. На столі 8 ложок.


Завдання 7.

Знайти значення виразу і пояснити, какіесвойства були прицьому використані:

53 + 119 + 47 + 31.

Перший спосіб.

Можна знаходити значення числового вираженіяв порядкевиполненія дій, т. Е.

1. 53 + 119 = 172;

2. 172 + 47 = 219;

3. 219 + 31 = 250.

Другий спосіб.

Можна знайти значення цього виразу, використовуючи властивості операції додавання.

Контрольні питання

1. Дайте теоретико-множинне тлумачення суми двох цілих невід'ємних чисел. Поясніть, чому суму чисел пов'язують з об'єднанням непересічнихмножин, а не множин взагалі.

2. Запишіть властивості операції додавання.

3. Дайте визначення різниці через додаток підмножини і через суму, доведіть їх рівнозначність.

4. Запишіть, використовуючи символи, правила:

а) вирахування числа з суми;

б) віднімання суми з числа;

в) віднімання суми від суми.

Наведіть приклади на застосування цих правил.

5. Запишіть, використовуючи символи, правила:

а) збільшення числа до суми;

б) додавання суми до числа;

в) додавання суми до суми.

Наведіть приклади на застосування цих правил.



 ДОДАВАННЯ І віднімання цілих невід'ємних чисел кожного. |  вправи
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати