На головну

 Властивості операції множення |  вправи |  Віднімання І РОЗПОДІЛ |  Правило віднімання числа від суми |  Правило віднімання суми від суми |  Поділ праці на число |  вправи |  Теорема 12. |  вправи |  Властивості МНОЖИН НАТУРАЛЬНИХ І цілих невід'ємних чисел кожного |

Порядковий І КІЛЬКІСНІ НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА.

  1.  II. Правило віднімаючи-я суми з числа.
  2.  Нескінченні множини. Рахункові і незліченні безлічі. Кардинальні числа.
  3.  У загальному вигляді можна позначити кількісні і якісні методи досліджень.
  4.  Види і етапи контролю. Кількісні та якісні показники, що застосовуються при контролі.
  5.  Всі ступені ладу мають свої порядкові номери, відповідні їх висотному положенню в ладі, і, крім того, спеціальні найменування, що відображають їх функціональне значення.
  6.  Єдине - це числа. Піфагор
  7.  Завдання 4. Заповніть пропуски в пропозиціях іменниками з правої колонки, вживши їх у формі множини.

В основу теорії покладено поняття кінцевого безлічі і взаємно-однозначної відповідності.

Два кінцевих безлічі А и В називаються рівнопотужними, або рівночисельний, якщо між ними можна встановити взаємно-однозначна відповідність.

А ~ ВU А <  > В.

Ставлення «Безліч А рівночисельний безлічі В » рефлексивно, симетрично і транзитивній. Отже, ставлення рівночисельний є відношенням еквівалентності і визначає розбиття сукупності всіх кінцевих множин на класи еквівалентності.

В одному класі містяться найрізноманітніші безлічі; загальним для всіх їх є те, що всі вони рівночисельний, тобто містять однакову кількість елементів. Наприклад, в класі, що містить безліч {А; b}, містяться такі безлічі, як безліч очей у людини, безліч крил у птиці, безліч діагоналей квадрата і так далі.

______________________________________________________________________

визначення 1. Натуральним числом називається загальне властивість класу непустих кінцевих, рівнопотужних (еквівалентних) один одному множин. Цим загальним властивістю є чисельність множин. Чисельність безлічі А позначається: п (А) або cАe

___________________________________________________________________________________________________

якщо А1~ А2~ Аз ~ ... ~ Аk, То п (А]) = N (А2) = ... = N (Аk) = а (Тобто все безлічі з одного класу). Отримується в цьому випадку число а є кількісне натуральне число.

Додаючи до будь-якого кінцевого безлічі один елемент, що не міститься в ньому, отримаємо нове безліч, що не еквівалентне вихідного. Продовжуючи цей процес, ми отримаємо нескінченну послідовність перестав еквівалентних один одному множин і визначений нею ряд натуральних чисел, зображений символами 1,2,3,4, ..., n, ....

Число «нуль» також має теоретико-множинне тлумачення - воно ставиться у відповідність «порожньому» безлічі: 0 = n (?), позначимо N0= N - безліч цілих невід'ємних чисел.

Розглянемо два кінцевих безлічі А та В. нехай n (А) = а; n (В) = b.

______________________________________________________________________

Визначення 2. Кажуть, що а = b тоді і тільки тоді, коли безлічі А і В належать одному і тому ж класу, тобто А ~ В;

___________________________________________________________________________________________________

А В


 a = bU А ~ В

Якщо А і В нееквівалентний, то безлічі А і В належать різним класам, а тому відповідні їм числа різні.

______________________________________________________________________

Визначення 3. Кажуть, що число а менше числа b тоді і тільки тоді, коли безліч А рівнопотужності власним подмножеству кінцевого безлічі В.

1, де В1IВ; В1?ВUВ1??)

___________________________________________________________________________________________________

Проілюструємо це визначення, використовуючи кола Ейлера-Венна

 А В

В1

або

           
 
     
 

 - А - В

__________________________________________________________________________________

Визначення 4. Відрізком натурального ряду Nа називається безліч натуральних чисел, що не перевершують натуральне число а.

___________________________________________________________________________________________________

Nа = {Х \ х I N, х ? а}.

Наприклад: N4 = {Х | х I N, х ? 4} = {1,2,3,4}.

______________________________________________________________________

Визначення 5. Безліч А називається кінцевим, якщо існує взаємно однозначна відповідність між елементами і деяким відрізком Na натурального ряду чисел.

___________________________________________________________________________________________________

число а є кількістю елементів безлічі А: а = п (А)

Теорема 1.Одне і те ж безліч А не може бути взаємно однозначно відображено на два різних відрізка натурального ряду чисел.

Взаємно однозначне відображення безлічі А на відрізок Na можна розуміти як нумерацію елементів безлічі А: А «Na

Цей процес нумерації називають РАХУНКОМ.

При перерахунку елементи кінцевого безлічі А не тільки розставляються в певному порядку (при цьому використовуються порядкові натуральні числа, що виражаються числами «перший» «другий», «третій» і так далі), але і встановлюється також, скільки елементів містить безліч А (При цьому використовуються кількісні натуральні числа, що виражаються числами «один» «два», «три» і так далі.).

Тісний зв'язок порядкового і кількісного натурального числа знайшла відображення і в початковому навчанні математики. З цими числами учні знайомляться вже при вивченні чисел першого десятка. Відбувається це за рахунку елементів різних множин.

Завдання 1.

Поясніть сенс рівності: п (А) = 3; n (B) = 0. Наведіть приклади множин А и В, задовольняють цим умовам.

Рішення.

n (A) = 3 - Число елементів (кількість елементів) множини А дорівнює трьом. Як безлічі А можна взяти безліч сторін трикутника, кутів трикутника, висот трикутника, п (В) = 0 - число (кількість) елементів безлічі В дорівнює нулю, В - порожня множина. наприклад, В - безліч дійсних рішень рівняння х2 +1 = 0.

Завдання 2.

Використовуючи теоретико-множинне трактування відносини «менше», покажіть, що 3 <5.

Рішення.

візьмемо безліч А, що містить 3 елемента, і безліч В, що містить 5 елементів. наприклад, А - безліч квадратиків, п (А) = 3; В - безліч гуртків, п (В) = 5. з безлічі В можна виділити підмножина В1, рівносильне безлічі А. Згідно з визначенням відносини «менше», останнє означає А ~ В1 I BUB1 ? B UB1 ? ?, а це значить 3 <5.

Контрольні питання

1. Сформулюйте визначення натурального числа.

2. Сформулюйте визначення відносини «рівності» на безлічі натуральних чисел.

3. Сформулюйте визначення відносини «менше» на безлічі натуральних чисел.

4. Сформулюйте властивості відносини «рівності» на безлічі натуральних чисел.

5. Сформулюйте властивості відносини «менше» на безлічі натуральних чисел.

6. Дайте визначення відрізка натурального ряду чисел і запишіть безлічі N3, N6.

7. Що означає порахувати елементи кінцевого безлічі? Сформулюйте умови, які повинні дотримуватися учні, ведучи рахунок предметів.

8. Чому на урок, де вивчається число «три», можна принести картинку із зображенням трьох яблук, трьох олівців і трьох зошитів, а чи можна скористатися й іншими прикладами трьохелементної множин?



 вправи |  вправи
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати