На головну

Необхідні і достатні умови.

  1.  Exercise 6. Завершіть пропозиції, вставивши необхідні за змістом слова у відповідній формі (одне слово використовується двічі). Переведіть пропозиції на російську мову.
  2.  IV. Обмін в межах підрозділу II. Необхідні життєві засоби і предмети розкоші
  3.  XXVI. НЕОБХІДНІ ЕЛЕМЕНТИ, пояснює ВСЕ.
  4.  Білкові фактори, необхідні для біосинтезу ДНК.
  5.  Брови хлопця поповзли вгору, і він здивовано подивився на мене, але нічого не сказавши, він почав змішувати всі необхідні компоненти.
  6.  Вставте необхідні приводи, переведіть.
  7.  Вставте необхідні приводи.

В математиці затвердження, що виводяться з аксіом, визначень і раніше доведених тверджень, називаються теоремами. В алгебрі висловлювань теоремою називають справжнє висловлювання виду  . У теоремі  вислів  називається умовою теореми, висловлювання - укладенням теореми.

Розрізняють прості і складні теореми. теорема  називається простий, Якщо висловлювання и  є простими. теорема  називається складовою, Якщо хоча б одне з висловлювань  або  є складовим. Оскільки поняття простого (складеного) висловлювання є відносним, то і поняття простий (складеного) теореми є відносним.

Іноді доказ складовою теореми можна звести до доказу кількох простих теорем.

Теорема 4. нехай  - Теорема і  . тоді .

Доведення. Використовуючи рівносильні перетворення формул АВ, отримаємо . Теорема доведена.

Теорема 5. нехай  - Теорема і  . тоді .

Доведення. Використовуючи рівносильні перетворення формул АВ, отримаємо . Теорема доведена.

Взаємно обернені і взаємно протилежні теореми

Якщо в теоремі умова  замінити на висновок  , То отримаємо твердження, яке називається твердженням, зворотним теоремі , І позначається , Тобто . якщо твердження є теоремою, то вона називається теоремою, зворотної теоремі .

нехай - Теорема. Якщо в теоремі умова  замінити на висновок  , То отримаємо теорему , Тобто теорема є зворотної теоремі . Тому теореми и називають взаємно зворотними теоремами.

Якщо в теоремі умова  замінити його запереченням  , А висновок  замінити запереченням  , То отримаємо твердження, яке називається твердженням, протилежним теоремі , І позначається , Тобто . якщо твердження є теоремою, то вона називається теоремою, протилежної теоремі .

нехай - Теорема. Якщо в теоремі умова  замінити його запереченням  , А висновок  замінити запереченням  , То отримаємо теорему , Тобто теорема є протилежною теоремі . Тому теореми и називають взаємно протилежними теоремами.

Розглянемо твердження, зворотне протилежного і протилежне зворотному:

; .

Таким чином, .

Зауваження 1. оскільки , тобто затвердження и рівносильні, то твердження, зворотне протилежного теоремі , Завжди є істинним.

Зауваження 2. оскільки , то твердження, зворотне теоремі , Є істинним тоді і тільки тоді, коли твердження, протилежне теоремі , Є істинним.

Необхідні і достатні умови в теоремі

У теоремі вислів  називається достатньою умовою для  , Оскільки здійсненність  тягне здійсненність  (з и слід ). висловлювання  в теоремі називається необхідною умовою для  , Оскільки нездійсненність  тягне нездійсненність  (з и слід ).

Приклад 1. Сформулюємо теорему «Якщо ціле число a ділиться на 9, то число а ділиться на 3»З використанням слів« необхідно »і« досить »:

- «Для того, щоб ціле число а поділялося на 3, досить, щоб число а поділялося на 9»;

- «Для того, щоб ціле число а поділялося на 9, необхідно, щоб число а поділялося на 3».

Зауваження 3. якщо твердження є теоремою, то в теоремі вислів  також є і необхідною умовою для  (а  є достатньою умовою для  ), Тобто  - Необхідна і достатня умова для  (а також,  - Необхідна і достатня умова для  ). висловлювання  в цьому випадку називають критерієм  (для  ).

 



 Поняття висловлювання, операції над висловлюваннями |  Рівносильні предикати. Операції над предикатами
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати